25．（10分）空地上有一段长为am的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为120m．
（1）已知a＝30，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了120m木栏，且围成的矩形菜园而积为1000m2．如图1，求所利用旧墙AD的长；
（2）已知0＜a＜60，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园ABCD的面积最大，并求面积的最大值．
【解答】解：（1）设AD＝x米，则AB=120−𝑥
2， 依题意得，
𝑥(120−𝑥)
2
=1000，
解得x1＝100，x2＝20， ∵a＝30，且x≤a， ∴x＝100舍去，
∴利用旧墙AD的长为20米；
（2）设AD＝x米，矩形ABCD的面积为S平方米， ①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意得， S=
𝑥(120−𝑥)2=−1
2(𝑥−60)2+1800（0＜x＜a）， ∵0＜a＜60，
∴x＜a＜60时，S随x的增大而增大， 当x＝a时，S1
最大＝60a−2𝑎2，
②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得，
2
S=𝑥(120+𝑎−2𝑥)2=−(𝑥−120+𝑎4)2+(120+𝑎)16（a≤x＜120+𝑎
2），
当a＜120+𝑎4＜120+𝑎
2时，即0＜a＜40时， 120+𝑎(120+𝑎)14400+240𝑎+𝑎2
则x=时，S最大== 416162
当
120+𝑎4
≤a，即40≤a＜60时，S随x的增大而减小，
2
120+𝑎(120+𝑎)12
∴x＝a时，S最大=−(𝑎−4)2+=60𝑎−𝑎， 162综合①②，当0＜a＜40时，
14400+240𝑎+𝑎2
16
−(60𝑎−
12
𝑎)=
2
9(𝑎−40)2
16
＞0，
14400+240𝑎+𝑎2
16
此时，按图2方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为平方米，
当40≤a＜60时，两种方案围成的矩形菜园面积最大值相等． ∴当0＜a＜40时，围成长和宽均为
14400+240𝑎+𝑎2
16
120+𝑎4
米的矩形菜园面积最大，最大面积为
平方米；
120−𝑎2
当40≤a＜60时，围成长为a米，宽为平方米．
米的矩形菜园面积最大，最大面积为（60−𝑎2）
1
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