数学试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．计算30的结果为（ ） A．﹣3
B．0
C．1
D．3
2．下列计算结果为6a3的是（ ） A．2a•3a3 3．下列分式与A．﹣
B．2a•4a2 相等的是（ ）
B．﹣
C．
D．
C．2a•3a2
D．2a•4a3
4．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于x轴的对称点的坐标为（ ） A．（﹣1，﹣2）
B．（1，2）
C．（2，﹣1）
D．（﹣2，1）
5．已知多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是（ ） A．2ab
B．﹣2ab
C．3b2
D．﹣5b2
6．如图，△ABC≌△BDE，AC和BC对应边分别是BE和DE，则下列与∠BFC相等的是（ ）
A．∠BCF B．∠ABC C．∠DBC D．∠E
7．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，则△P1OP2是（ ） A．含30°角的直角三角形 B．顶角是30°的等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
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8．某工程队在改造一条长1600米的人行步道，为尽量减少施工对交通的影响，施工时_____，若实际施工每天改造x米，可列方程
＝
+15，则横线上的信息可以是（ ）
A．每天比原计划多铺设18米，结果提前15天完成 B．每天比原计划多铺设18米，结果延期15天完成 C．每天比原计划少铺设18米，结果延期15天完成 D．每天比原计划少铺设18米，结果提前15天完成
9．如图，正方形ABCD的边长为a，点O为对角线AC中点，点M，N分别为对角线AC的三等分点，则图中的两个小正方形面积之和为（ ）
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
10．在平面直角坐标系中，点M（m+2n，﹣3）和N（﹣m﹣n，6），其中m＞﹣2n，点M与点N关于直线（直线ll上各点的横纵坐标相等） 对称，则m与n的数量关系为（ ）A．m+3n＝6
B．m＝﹣n
C．m+2n＝﹣3
D．m+2n＝6
二、填空题（本大题有6小题，第11题8分，其余每小题8分，共28分） 11．计算：
（1）2a+3a＝ ； （2）（2x）3＝ ； （3）6m3÷2m3＝ ； （4）12．分式
+与
＝ ．
的最简公分母是 ．
13．如图，将一副三角板如图叠放，且EF∥BC，则∠BFD＝ 度．
14．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AD是角平分线，CD＝3cm，点P在边AB
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上运动（不与端点A，B重合），则线段DP的长度范围为 ．
15．若a＝2021×589﹣588×2021，b＝2019×2018﹣2017×2020，则a与b的大小关系为 ．
16．如图，有一条笔直的河流，两岸EF∥GH，在河岸EF的同侧有一个管理处A和物资仓库B，管理人员每天需要从管理处A出发，先到物资仓库B领取物资，接着到达河岸EF上的C点，乘坐停放在C点的快艇，把物资送到对岸GH的对接点D，然后调头返回河岸EF上的C点，再返回管理房A．请你设计一条线路，使得管理员每天经过的路程最短．若用作图的方式来确定点C和点D，则确定点C和点D的步骤是： ．
三、解答题（本大题有9小题，共82分） 17．计算：
（1）（x+2）（x﹣1）； （2）（2x+y）2． 18．化简并求值：（1﹣
）÷
，选择一个合适的m值代入求出分式的值．
19．如图，在△ABC中，点D在边BC上，BC＝DE，AC＝DC，AB＝EC，∠ACB＝45°．求∠CFE的度数．
20．解方程：．
21．如图，已知△ABC，点D在边BC上，∠ADB＝2∠C． （1）尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹）
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（2）若∠A＝∠B+∠C，求证：点D是BC中点．
22．厦门市山海健康步道全长约23公里，起于邮轮码头，终于观音山梦幻沙滩．某周末，张华和李涛同学在此健康步道上同时向同一个方向散步，且张华在李涛的前方300米处．已知李涛走3步的距离，张华要走5步；李涛走4步的时间，张华能走3步．问李涛能否追上张华？如果能，他要走多远的路才能追上张华？
23．经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”． 例如，如图，△ABC中，点D在AB边上，若AD＝DC＝CB，则称△ABC是“钻石三角形”，直线CD是△ABC的“钻石分割线”．
（1）已知Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，则Rt△ABC “钻石三角形”（填“是”或者“不是”）；
（2）已知，△ABC是“钻石三角形”，∠A＞∠B＞∠C，直线BD是△ABC的“钻石分割线”，探求∠ABC与∠C之间的关系．
24．已知一些两数和的算式：1+7；2+6；4+4；3.5+4.5；2+5；… （1）观察上述算式，你能发现什么规律；
（2）通过计算上面各算式中两个加数的乘积，请你提出一个合理的猜想；
n是正数）（3）我们知道，任意一个正整数x都可以分解两个正数的和，即x＝m+n（m，，在x的所有这种分解中，当分解所得两数m，n的乘积最大时，我们称正数m，n是正整
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数x的最佳分解，记为：Jmax（x）＝mn．
①填空：Jmax（8）＝ ；Jmax（10）＝ ；
②若x＝a，求Jmax（x）的值（用含a的式子表示），并说明理由．
25．如图，等边△ABC中，过顶点A在AB边的右侧作射线AP，∠BAP＝α（0°＜α＜180°）．点B与点E关于直线AP对称，连接AE，BE，且BE交射线AP于点D，过C，E两点作直线交射线AP于点F．
（1）当α＝40°时，求∠AEC的度数；
（2）在α变化过程中，∠AFE的大小是否发生变化？如果变化，写出变化的范围；如果不变化，求∠AFE的大小；
（3）探究线段AF，CF，DF之间的数量关系，并证明．
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参考答案
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）
1．计算30的结果为（ ） A．﹣3
B．0
C．1
D．3
【分析】根据零指数幂的运算法则进行计算． 解：原式＝1， 故选：C．
2．下列计算结果为6a3的是（ ） A．2a•3a3
B．2a•4a2
C．2a•3a2
D．2a•4a3
【分析】根据单项式乘单项式的运算法则进行计算，从而作出判断． 解：A、原式＝6a4，故此选项不符合题意； B、原式＝8a3，故此选项不符合题意； C、原式＝6a3，故此选项符合题意； D、原式＝8a4，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．下列分式与A．﹣
相等的是（ ）
B．﹣
C．
D．
【分析】根据分式的基本性质进行计算即可． 解：＝﹣
＝，
故选：B．
4．在平面直角坐标系中，点P（﹣1，2）关于x轴的对称点的坐标为（ ） A．（﹣1，﹣2）
B．（1，2）
C．（2，﹣1）
D．（﹣2，1）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 解：点P（﹣1，2）关于x轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2）．
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故选：A．
5．已知多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式，则单项式M可以是（ ） A．2ab
B．﹣2ab
C．3b2
D．﹣5b2
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 解：多项式a2+b2+M可以运用平方差公式分解因式， 则单项式M可以是﹣5b2． 故选：D．
6．如图，△ABC≌△BDE，AC和BC对应边分别是BE和DE，则下列与∠BFC相等的是（ ）
A．∠BCF B．∠ABC C．∠DBC D．∠E
【分析】根据全等三角形的性质得到∠A＝∠DBE，根据三角形的外角性质解答即可． 解：∵△ABC≌△BDE，AC和BC对应边分别是BE和DE， ∴∠A＝∠DBE，
∴∠BFC＝∠A+∠ABF＝∠DBE+∠ABF＝∠ABC， 故选：B．
7．已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，则△P1OP2是（ ） A．含30°角的直角三角形 B．顶角是30°的等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【分析】根据轴对称的性质，结合等边三角形的判定求解．
解：∵P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2， ∴OP＝OP1＝OP2且∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，
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∴故△P1OP2是等边三角形． 故选：C．
8．某工程队在改造一条长1600米的人行步道，为尽量减少施工对交通的影响，施工时_____，若实际施工每天改造x米，可列方程
＝
+15，则横线上的信息可以是（ ）
A．每天比原计划多铺设18米，结果提前15天完成 B．每天比原计划多铺设18米，结果延期15天完成 C．每天比原计划少铺设18米，结果延期15天完成 D．每天比原计划少铺设18米，结果提前15天完成
【分析】根据题意和题目中的方程可知，实际每天改造人行步道x米，则原计划每天改造人行步道（x﹣18）米，实际比原计划提前25天，从而可以选出符合题意的选项． 解：由题意可得，
题中用“_____”表示的缺失的条件应补为：每天比原计划多铺设18米，结果提前15天完成， 故选：A．
9．如图，正方形ABCD的边长为a，点O为对角线AC中点，点M，N分别为对角线AC的三等分点，则图中的两个小正方形面积之和为（ ）
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
【分析】根据正方形的性质得到∠FAM＝∠EAO＝45°，得到△AFM与△AEO是等腰直角三角形，求得AC＝
a，根据正方形的面积公式即可得到结论．
解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
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∴∠FAM＝∠EAO＝45°，
∴△AFM与△AEO是等腰直角三角形， ∵正方形ABCD的边长为a， ∴AC＝
a，
∵点M，N分别为对角线AC的三等分点， ∴AM＝MN＝CN＝×∴AM＝FM＝
a＝
a，
a，AE＝EO＝AD＝a，
a）2+（a）2＝
a2，
∴图中的两个小正方形面积之和＝FM2+OE2＝（故选：D．
10．在平面直角坐标系中，点M（m+2n，﹣3）和N（﹣m﹣n，6），其中m＞﹣2n，点M与点N关于直线（直线ll上各点的横纵坐标相等） 对称，则m与n的数量关系为（ ）A．m+3n＝6
B．m＝﹣n
C．m+2n＝﹣3
D．m+2n＝6
【分析】直线l上各点的横纵坐标相等，于是得到直线l的解析式为y＝x，即直线l为第一和第三象限的角平分线，推出点M（m+2n，﹣3）在第四象限，得到N（﹣m﹣n，6）在第二象限，且点M到y轴的距离与点N到x轴的距离相等，于是得到结论． 解：∵直线l上各点的横纵坐标相等， ∴直线l的解析式为y＝x，
即直线l为第一和第三象限的角平分线， ∵m＞﹣2n， ∴m+2n＞0，
∴点M（m+2n，﹣3）在第四象限，
∵点M与点N关于直线l（直线l上各点的横纵坐标相等）对称，
∴N（﹣m﹣n，6）在第二象限，且点M到y轴的距离与点N到x轴的距离相等，
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∴m+2n＝6， 故选：D．
二、填空题（本大题有6小题，第11题8分，其余每小题8分，共28分） 11．计算：
（1）2a+3a＝ 5a ； （2）（2x）3＝ 8x3 ； （3）6m3÷2m3＝ 3 ； （4）
+
＝ 1 ．
【分析】（1）根据合并同类项法则化简； （2）根据幂的乘方和积的乘方化简； （3）根据单项式除以单项式的法则化简； （4）根据分式的加减法法则化简． 解：（1）2a+3a＝5a； （2）（2x）3＝8x3； （3）6m3÷2m3＝3； （4）
+
＝
＝1．
故答案为：（1）5a；（2）8x3；（3）3；（4）1． 12．分式
与
的最简公分母是 6a2 ．
【分析】确定最简公分母的方法是： （1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式； （3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 解：分式
与
的最简公分母是：2×3•a2＝6a2．
故答案为：6a2．
13．如图，将一副三角板如图叠放，且EF∥BC，则∠BFD＝ 15 度．
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【分析】首先根据两直线平行，内错角相等得到∠BFE＝45°，再利用角的和差可得答案．
解：由题意得，∠ABC＝45°，∠DFE＝30°， ∵EF∥BC，
∴∠BFE＝∠ABC＝45°， ∴∠BFD＝45°﹣30°＝15°． 故答案为：15．
14．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AD是角平分线，CD＝3cm，点P在边AB上运动（不与端点A，B重合），则线段DP的长度范围为 3≤DP＜6 ．
【分析】根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠BAD＝30°，根据直角三角形的性质得到AD＝2CD＝6（cm），过D作DP⊥AB于P，PD＝AD＝3（cm），于是得到结论． 解：如图，∵∠CAB＝60°，AD是角平分线， ∴∠CAD＝∠BAD＝30°， ∵∠ACB＝90°，CD＝3cm， ∴AD＝2CD＝6（cm）， 过D作DP⊥AB于P， ∴∠APD＝90°， ∴PD＝AD＝3（cm），
∴线段DP的长度范围为3≤DP＜6， 故答案为：3≤DP＜6．
15．b＝2019×2018﹣2017×2020，若a＝2021×589﹣588×2021，则a与b的大小关系为 a＞b ．
【分析】先把a提取公因式进行因式分解求出a，再把b利用乘法分配律化简得出b的值，最后比较大小．
解：∵a＝2021×589﹣588×2021 ＝2021×（589﹣588）
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＝2021×1 ＝2021．
b＝2019×2018﹣2017×2020
＝2019×（2017+1）﹣2017×（2019+1） ＝2019×2017+2019﹣2017×2019﹣2017 ＝2019﹣2017 ＝2．
故答案为：a＞b．
16．如图，有一条笔直的河流，两岸EF∥GH，在河岸EF的同侧有一个管理处A和物资仓库B，管理人员每天需要从管理处A出发，先到物资仓库B领取物资，接着到达河岸EF上的C点，乘坐停放在C点的快艇，把物资送到对岸GH的对接点D，然后调头返回河岸EF上的C点，再返回管理房A．请你设计一条线路，使得管理员每天经过的路程最短．若用作图的方式来确定点C和点D，则确定点C和点D的步骤是： 作点A关于EF的对 称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求 ．
【分析】作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求． 解：如图，点C，点D即为所求．
故答案为：作点A关于EF的对称点T，连接BT交EF于点C，作CD⊥GH于点D，连接AC，点C，点D即为所求．
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三、解答题（本大题有9小题，共82分） 17．计算：
（1）（x+2）（x﹣1）； （2）（2x+y）2．
【分析】（1）根据多项式乘多项式的运算法则求出即可； （2）根据完全平方公式解答即可． 解：（1）原式＝x2﹣x+2x﹣2 ＝x2+x﹣2；
（2）原式＝4x2+2•2x•y+y2 ＝4x2+4xy+y2． 18．化简并求值：（1﹣
）÷
，选择一个合适的m值代入求出分式的值．
【分析】先将原式小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后根据分式有意义的条件选取合适的m的值，代入求值即可． 解：原式＝（＝＝
；
）
∵m≠±2且m≠3， ∴当m＝1时，原式＝
＝﹣．
19．如图，在△ABC中，点D在边BC上，BC＝DE，AC＝DC，AB＝EC，∠ACB＝45°．求∠CFE的度数．
【分析】证明△ABC≌△CED（SSS）．由三角形外角的性质得出∠ACB＝∠CDE＝45°，则可得出答案．
解：在△ABC和△CED中，
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，
∴△ABC≌△CED（SSS）． ∴∠ACB＝∠CDE＝45°， ∴∠CFE＝∠ACB+∠CDE＝90°． 20．解方程：
．
【分析】本题的最简公分母是3（x+1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．
解：方程两边都乘3（x+1）， 得：3x﹣2x＝3（x+1）， 解得：x＝﹣，
经检验x＝﹣是方程的解， ∴原方程的解为x＝﹣．
21．如图，已知△ABC，点D在边BC上，∠ADB＝2∠C． （1）尺规作图：作出点D；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若∠A＝∠B+∠C，求证：点D是BC中点．
【分析】（1）法一：作线段AB的垂直平分线，交BC于点D．法二：作∠CAD＝∠C，边AD交BC于点D即可；
（2）法一：根据线段的垂直平分线的性质即可证明；法二：根据∠CAD＝∠C，利用三角形内角和定理即可证明． 解：（1）如图，点D即为所求；
法一：作线段AB的垂直平分线，交BC于点D．
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法二：作∠CAD＝∠C，边AD交BC于点D．
（2）连接AD，
∵∠ADB＝2∠C，∠ADB＝∠CAD+∠C， ∴∠C＝∠CAD， ∴AD＝CD． 法一：
∵∠BAC＝∠B+∠C，∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∴∠A＝90°．
∵∠DAB＝90°﹣∠CAD， ∠B＝90°﹣∠C， ∴∠DAB＝∠B， ∴AD＝BD．
∴CD＝BD，即点D是BC中点． 法二：
∵∠BAC＝∠B+∠C＝∠BAD+∠CAD， ∴∠BAD＝∠B， ∴AD＝BD．
∴CD＝BD，即点D是BC中点．
22．厦门市山海健康步道全长约23公里，起于邮轮码头，终于观音山梦幻沙滩．某周末，张华和李涛同学在此健康步道上同时向同一个方向散步，且张华在李涛的前方300米处．已知李涛走3步的距离，张华要走5步；李涛走4步的时间，张华能走3步．问李
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涛能否追上张华？如果能，他要走多远的路才能追上张华？
【分析】若李涛一步走a米，一步走t秒，则张华一步走a米，一步走t秒．故V＝m/s，V张＝a÷t＝并解答．
解：若李涛一步走a米，一步走t秒，则张华一步走a米，一步走t秒． 所以，V李＝m/s，V张＝a÷t＝设李涛走x米可追上张华．则 ＝
．
m/s．
李
m/s．设李涛走x米可追上张华．由散步时间相等列出方程
解得x＝答：李涛走
．
米可追上张华．
23．经过三角形一个顶点及其对边上一点的直线，若能将此三角形分割成两个等腰三角形，称这个三角形为“钻石三角形”，这条直线称为这个三角形的“钻石分割线”． 例如，如图，△ABC中，点D在AB边上，若AD＝DC＝CB，则称△ABC是“钻石三角形”，直线CD是△ABC的“钻石分割线”．
（1）已知Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，则Rt△ABC 是 “钻石三角形”（填“是”或者“不是”）；
（2）已知，△ABC是“钻石三角形”，∠A＞∠B＞∠C，直线BD是△ABC的“钻石分割线”，探求∠ABC与∠C之间的关系．
【分析】（1）如图，取BC的中点D连接AD，根据直角三角形的性质得到AD＝CD＝BD，求得△ACD和△ABD是等腰三角形，于是得到结论；
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（2）根据题意得到△BCD与△ABD是等腰三角形，且腰相等，求得CD＝BD，设∠C＝x，则∠DBC＝∠C＝x，∠ADB＝∠C+∠DBC＝2x．在△ABD当AB＝BD时，如图1，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ADB＝2x．求得∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3x，于是得到结论，在△ABD当AB＝AD时，如图2，推出△ADB是等边三角形，得到∠ADB＝∠ABD＝2x＝60°，∠C＝x＝30°，求得∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，在△ABD当AD＝BD时，如图3，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ABD＝＝90°﹣x，求得∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°，于是得到结论． 解：（1）是，
理由：如图，取BC的中点D连接AD，
∵∠A＝90°， ∴AD＝CD＝BD，
∴△ACD和△ABD是等腰三角形， ∴Rt△ABC“钻石三角形”， 故答案为：是；
（2）∵△ABC是钻石三角形，直线BD是钻石分割线， ∴△BCD与△ABD是等腰三角形，且腰相等， ∵BC＞AC＞AB，
∴在△BCD中，BC最大，不可能为腰． ∴CD＝BD，
设∠C＝x，则∠DBC＝∠C＝x，∠ADB＝∠C+∠DBC＝2x． 在△ABD当AB＝BD时，如图1，
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∴∠A＝∠ADB＝2x．
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3x， 即3∠C+∠ABC＝180°，且45°＞∠C＞36°； 在△ABD当AB＝AD时，如图2，
∵△BCD与△ABD的腰相等， ∴AB＝AD＝BD＝CD， ∴△ADB是等边三角形，
∴∠ADB＝∠ABD＝2x＝60°，∠C＝x＝30°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°， ∴AC是最大边，这与BC是最大边矛盾， ∴不合题意，舍去；
在△ABD当AD＝BD时，如图3，
∴∠A＝∠ABD＝＝90°﹣x，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°， ∴AC是最大边，这与BC是最大边矛盾， ∴不合题意，舍去；
综上所述，3∠C+∠ABC＝180°，且45°＞∠C＞36°． 解法二：∵△ABC是钻石三角形，直线BD是钻石分割线， ∴△BCD与△ABD是等腰三角形，且腰相等， ∵BC＞AC＞AB，
∴在△BCD中，BC最大，不可能为腰．
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∴CD＝BD，
∴△ABD的一条腰为BD．
设∠C＝x，则∠DBC＝∠C＝x，∠ADB＝∠C+∠DBC＝2x．
①在△ABD的另一条腰为AB时，即AB＝BD，如图1， ∴∠A＝∠ADB＝2x．
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3x， 即3∠C+∠ABC＝180°，且45°＞∠C＞36°， ②在△ABD的另一条腰为AD时，即AD＝BD，如图3， ∴∠A＝∠ABD＝
＝90°﹣x，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝90°， ∴AC是最大边，这与BC是最大边矛盾， ∴不合题意，舍去．
综上所述，3∠C+∠ABC＝180°，且45°＞∠C＞36°． 24．已知一些两数和的算式：1+7；2+6；4+4；3.5+4.5；2+5；… （1）观察上述算式，你能发现什么规律；
（2）通过计算上面各算式中两个加数的乘积，请你提出一个合理的猜想；
n是正数）（3）我们知道，任意一个正整数x都可以分解两个正数的和，即x＝m+n（m，，在x的所有这种分解中，当分解所得两数m，n的乘积最大时，我们称正数m，n是正整数x的最佳分解，记为：Jmax（x）＝mn．
①填空：Jmax（8）＝ 16 ；Jmax（10）＝ 25 ；
②若x＝a，求Jmax（x）的值（用含a的式子表示），并说明理由． 【分析】（1）根据题意总结规律即可； （2）先计算，然后总结规律得出猜想； （3）①由（2）的猜想得出即可； ②由（2）的猜想得出的规律计算即可．
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解：（1）规律：①每个算式的两个加数都是正数；②每个算式的计算结果都为8； （2）1×7＝7； 2×6＝12； 4×4＝16； 3.5×4.5＝15.75； 2×5＝14…，
猜想：当两个数和相等时，两个数相差越少积越大； （3）①由（2）知，当m＝n时有Jmax（x）， ∴Jmax（8）＝4×4＝16，Jmax（10）＝5×5＝25， 故答案为：16，25； ②若x＝a，Jmax（x）＝理由如下：
由（2）知当m＝n时有Jmax（x），
即若x＝a，则当m＝n＝a时有Jmax（x）， ∴Jmax（x）＝
＝
．
＝
，
；
25．如图，等边△ABC中，过顶点A在AB边的右侧作射线AP，∠BAP＝α（0°＜α＜180°）．点B与点E关于直线AP对称，连接AE，BE，且BE交射线AP于点D，过C，E两点作直线交射线AP于点F．
（1）当α＝40°时，求∠AEC的度数；
（2）在α变化过程中，∠AFE的大小是否发生变化？如果变化，写出变化的范围；如果不变化，求∠AFE的大小；
（3）探究线段AF，CF，DF之间的数量关系，并证明．
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【分析】根据等边三角形的性质得到∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC，根据轴对称的性质得到BD＝DE，BE⊥AP，求得AB＝BC＝AC＝AE，得到∠AEC＝∠ACE＝
；
（1）当∠BAP＝α＝40°时，如图1．得到∠BAD＝∠EAD＝40°，求得∠CAE＝∠BAD+∠EAD﹣∠BAC＝20°，于是得到∠AEC＝∠ACE＝80°；
（2）①当30°＜α≤90°时，60°＜2α≤180°，D，F在射线AP上，如图1．得到∠BAD＝∠EAD＝α，求得∠CAE＝∠BAD+∠EAD﹣∠BAC＝2α﹣60°，于是得到∠AFE＝180°﹣∠AEC﹣∠EAD＝60°；②当90°＜α＜120°时，180°＜2α＜240°，D，FBE⊥AP，在点A的两侧，如图2．根据轴对称的性质得到BD＝DE，求得∠BAD＝∠EAD，AB＝AE，根据等边三角形的性质得到∠EAP＝∠BAP＝α，AB＝AC，求得∠CAE＝2α﹣60°，于是得到∠AFE＝180°﹣∠AEC﹣∠EAP＝60°；
（3）连接BF，在FA上截取FH＝FC，连接CH．由（2）知∠AFE＝60°，根据等边三角形的性质得到∠HFC＝∠FHC＝∠HCF＝60°，HF＝FC＝HC，根据线段垂直平分线的性质得到BF＝EF，∠FDE＝90°，于是得到EF＝2DF＝BF；①当30°＜α≤60°时，如图3．根据全等三角形的性质得到AH＝BF．求得AF＝AH+HF＝2DF+CF；②当60°＜α＜120°时，如图4．得到∠ACB+∠ACF＝∠HCF+∠ACF，根据全等三角形的性质得到AH＝BF．求得AF＝AH﹣HF＝2DF﹣CF． 解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝BC＝AC， ∵点B与点E关于直线AP对称，且BE交射线AP于点D， ∴BD＝DE，BE⊥AP，
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∴AB＝AE，∠BAD＝∠EAD， ∴AB＝BC＝AC＝AE， ∴∠AEC＝∠ACE＝
；
（1）当∠BAP＝α＝40°时，如图1．
∴∠BAD＝∠EAD＝40°，
∴∠CAE＝∠BAD+∠EAD﹣∠BAC＝20°， ∴∠AEC＝∠ACE＝80°；
（2）①当30°＜α≤90°时，60°＜2α≤180°，D，F在射线AP上，如图1． ∴∠BAD＝∠EAD＝α，
∴∠CAE＝∠BAD+∠EAD﹣∠BAC＝2α﹣60°， ∴∠AEC＝∠ACE＝120°﹣α，
∴∠AFE＝180°﹣∠AEC﹣∠EAD＝60°；
②当90°＜α＜120°时，180°＜2α＜240°，D，F在点A的两侧，如图2．
∵点B与点E关于直线AP对称，且BE交射线AP于点D， ∴BD＝DE，BE⊥AP， ∴∠BAD＝∠EAD，AB＝AE，
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∵等边△ABC，∠BAP＝α， ∴∠EAP＝∠BAP＝α，AB＝AC， ∴∠CAE＝2α﹣60°， ∴∠AEC＝∠ACE＝120°﹣α，
∴∠AFE＝180°﹣∠AEC﹣∠EAP＝60°；
∴综上所述，当30°＜α＜120°时，∠AFE＝60°； （3）连接BF，在FA上截取FH＝FC，连接CH． 由（2）知∠AFE＝60°， ∴△HFC是等边三角形，
∴∠HFC＝∠FHC＝∠HCF＝60°，HF＝FC＝HC， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，BC＝AC． ∵点B与点E关于直线AP对称， 且BE交射线AP于点D， ∴AP为BE中垂线， ∴BF＝EF，∠FDE＝90°， 又有∠AFE＝60°，
∴∠DEF＝90°﹣∠AFE＝30°， ∴EF＝2DF＝BF；
①当30°＜α≤60°时，如图3．
∴∠ACB﹣∠HCB＝∠HCF﹣∠HCB，
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∴∠ACH＝∠BCF，
∴△ACH≌△BCF （SAS）， ∴AH＝BF．
∴AH＝BF＝EF＝2DF， ∴AF＝AH+HF＝2DF+CF； ②当60°＜α＜120°时，如图4．
∴∠ACB+∠ACF＝∠HCF+∠ACF， ∴∠BCF＝∠ACH，
∴△BCF≌△ACH （SAS）， ∴AH＝BF．
∴AH＝BF＝EF＝2DF， ∴AF＝AH﹣HF＝2DF﹣CF，
综上所述，①当30°＜α≤60°时，AF＝2DF+CF；②当60°＜α＜120°时，AF＝2DF﹣CF．
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