2020-2021学年上海市静安区八年级(下)期末数学试卷

2020-2021学年上海市静安区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题(本大题共6题,每题3分,满分18分)【每题只有一个正确选项,在答题纸相应位置填涂】

1．（3分）下列方程属于二项方程的是( ) A．x10

B．x50

C．x10 xD．x3x1

2．（3分）直线y2x1的截距是( ) A．1

B．1

C．2

D．2

3．（3分）下列方程中有实数解的方程是( ) A．x22x30

B．xx

C．

1x x1x1D．x10

4．（3分）下列关于向量的运算中，错误的是( ) A．abba C．a(a)0

5．（3分）下列说法正确的是( ) A．随机事件发生的概率大于0且小于1

B．“顺次联结四边形四条边的中点，得到的四边形是矩形”，这是不可能事件 C．不确定事件发生的概率为0.5

D．“取两个非零实数，它们的积为正数”，这是必然事件 6．（3分）下列命题为假命题的是( ) A．四个内角相等的四边形是矩形

B．aba(b) D．a(bc)(ab)c

B．对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形 C．一组邻边相等的矩形是正方形

D．两组邻边分别相等的四边形是平行四边形

二、填空题(本大题共12题,每题3分,满分36分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．（3分）(a2)3 ．

8．（3分）已知一次函数y(k1)x1的图象经过第一、二、三象限，那么常数k的取值范围是 ． 9．（3分）函数y1x1的定义域是 ．

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10．（3分）方程x42x的根是 ． 11．（3分）已知方程x2方程，该方程是 ．

12．（3分）已知一次函数ykxb的图象如图所示，当x1时，y的取值范围是 ．

12yx2x，那么原方程可化为关于y的，如果设2x2x22x

13．（3分）现有分别画有等边三角形、正方形、平行四边形、等腰梯形的四张相同的卡片，从中任选两张，选出的卡片上的图形恰好同为中心对称图形的概率是 ．

14．（3分）某市某年的绿化面积是20万亩，第二、三年的年增长率相同．已知第三年的绿化面积达到了25万亩，求第三年的年增长率，如果设该年增长率为x，那么可列关于x的方程： ．

15．（3分）如果从多边形的一个顶点出发，共可画出两条对角线，那么这个多边形的内角和是 度．

16．（3分）在等腰梯形ABCD中，AD//BC，BC30，AD的长为3，高AH的长为3，那么梯形的中位线长为 ．

17．（3分）过平行四边形ABCD的对角线交点O作直线l，分别交直线AB、CD于点E、F，

AE3AB，如果ABa，那么DF的长是 ．（用含有a的代数式表示）

AB90，AD//BC，ABBC10，18．（3分）如图，在四边形ABCD中，且ADBC，

点P在BC边上，点B关于直线AP的对称点为Q，CQ的延长线交边AD于点R，如果

ARCP，那么线段AP的长为 ．

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三、解答题(本大题共8题,满分66分)【将下列各题的解答过程,做在答题纸上】 19．（6分）解方程：

214x． 1x2x24x2x22xyy2420．（6分）解方程组：2．

xxyx021．（8分）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升)与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系．当汽车加满油后，行驶120千米时，油箱中还剩油40升；行驶180千米时，油箱中还剩油35升．

（1）求出y与x之间的函数解析式，并写出定义域；

（2）已知当油箱中的剩余油量为10升时，该车仪表盘会亮灯提示加油．在距离出发点500千米处有一加油站，该车在加满油后，请判断司机能否在亮灯提示前行驶至此加油站，并说明理由．

22．（8分）如图，点E、F在平行四边形ABCD的对角线BD上，且EBFD，设BCa，BAb，ECc．

（1）试用向量a、b、c表示下列向量：AC ，BE ，FB ； （2）求作：abc．（请在原图上作图，保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）

23．（8分）我国水资源人均占有量远低于世界平均水平．某小区居民响应号召节约用水，现在日均用水量比原来减少了3吨，300吨的水比原来400吨还可多用10天，求该小区原日均用水量多少吨．

24．（8分）如图，在直角坐标平面中，点A(2,m)和点B(6,2)同在一个反比例函数的图象上．

第3页（共23页）

（1）求直线AB的表达式；

（2）求AOB的面积及点A到OB的距离AH．

25．（10分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AOBOCO，

BACACD．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）如果点E在边AB上，DE平分ADB，BD2AB，求证：BDADAE．

26．（12分）已知：如图，平行四边形ABCD中，AB5，BD8，点E、F分别在边BC、

CD上（点E、F与平行四边形ABCD的顶点不重合），CECF，AEAF．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）设BEx，AFy，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（3）如果AE5，点P在直线AF上，ABP是以AB为腰的等腰三角形，那么ABP的底边长为 ．（请将答案直接填写在空格内）

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参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共6题,每题3分,满分18分)【每题只有一个正确选项,在答题纸相应位置填涂】

1．（3分）下列方程属于二项方程的是( ) A．x10

B．x50

C．x10 xD．x3x1

【解答】解：B选项未知数x的次数不是正整数，所以不符合．

C选项除了含有x的1次项还含有1次项，所以不符合．

D选项除了常数项以外，含有x的3次项和1次项，所以不符合．

根据定义可以判断x10是符合的，故选：A． 2．（3分）直线y2x1的截距是( ) A．1

B．1

C．2

D．2

【解答】解：当x0时，y2x11， 直线y2x1的截距为1．

故选：B．

3．（3分）下列方程中有实数解的方程是( ) A．x22x30

B．xx

C．

1x x1x1D．x10

【解答】解：A．x22x30， △2241380，

所以方程无实数解，故本选项不符合题意；

B．xx，

xx2， x2x0， x(x1)0，

解得：x0或1，

经检验x0或1都是原方程的解，即方程有实数解，所以方程有实数解，故本选项符合题意；

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C．

1x， x1x1去分母，得1x， 即x1，

当x1时，x10，所以x1是增根， 即原方程无实数根，故本选项不符合题意；

D．x10，

x1，

，即方程无实数解，故本选项不符合题意； 方程无解（算术平方根是非负数）故选：B．

4．（3分）下列关于向量的运算中，错误的是( ) A．abba C．a(a)0

B．aba(b) D．a(bc)(ab)c

【解答】解：A、abba，正确，本选项不符合题意．

B、aba(b)，正确，本选项不符合题意．

C、a(a)0，错误应该等于0，本选项符合题意．

D、a(bc)(ab)c，本选项不符合题意．

故选：C．

5．（3分）下列说法正确的是( ) A．随机事件发生的概率大于0且小于1

B．“顺次联结四边形四条边的中点，得到的四边形是矩形”，这是不可能事件 C．不确定事件发生的概率为0.5

D．“取两个非零实数，它们的积为正数”，这是必然事件

【解答】解：A、随机事件发生的概率大于0，小于1，故本选项正确，符合题意； “顺次联结四边形四条边的中点，得到的四边形不能确定”，这是随机事件，故本选项B、

错误，不符合题意；

C、不确定事件发生的概率为大于0且小于1，故本选项错误，不符合题意；

“取两个非零实数，它们的积为正数”，这是随机事件，故本选项错误，不符合题意； D、

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故选：A．

6．（3分）下列命题为假命题的是( ) A．四个内角相等的四边形是矩形

B．对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形 C．一组邻边相等的矩形是正方形

D．两组邻边分别相等的四边形是平行四边形

【解答】解：A、四个内角相等的四边形是矩形，正确，是真命题，不符合题意；

B、对角线的交点到各边距离都相等的四边形是菱形，正确，是真命题，不符合题意；

C、一组邻边相等的矩形是正方形，正确，是真命题，不符合题意；

D、两组邻边分别相等的四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，符合题意，

故选：D．

二、填空题(本大题共12题,每题3分,满分36分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．（3分）(a2)3 a6 ． 【解答】解：原式a6． 故答案为a6．

8．（3分）已知一次函数y(k1)x1的图象经过第一、二、三象限，那么常数k的取值范围是 k1 ．

【解答】解：一次函数y(k1)x1(k为常数，k0)的图象经过第一、二、三象限，

k10．

解得：k1， 故答案为：k1． 9．（3分）函数y1x1的定义域是 x1 ．

【解答】解：根据题意得到：x10， 解得x1．

10．（3分）方程x42x的根是 x0 ． 【解答】解：x42x， 两边平方，得x4(2x)2， 整理得：x25x0，

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解得：x0或5，

经检验x0是原方程的解，x5不是原方程的解， 故答案为：x0． 11．（3分）已知方程x212x2，如果设yx22x，那么原方程可化为关于y的2x2x方程，该方程是 y22y10 ．

112，即方程2x2x2x20，

x22xx22x11，原方程可变为， 设yx22x，则2x2xy【解答】解：方程x2y120， y去分母得，y22y10， 故答案为：y22y10．

12．（3分）已知一次函数ykxb的图象如图所示，当x1时，y的取值范围是 y2 ．

【解答】解：一次函数ykxb的图象与y轴交于点(0,4)，

b4，与x轴点(2,0)，

02k4， k2，

ykxb2x4， x(y4)21， y2．

故答案为y2．

13．（3分）现有分别画有等边三角形、正方形、平行四边形、等腰梯形的四张相同的卡片，从中任选两张，选出的卡片上的图形恰好同为中心对称图形的概率是

1 ． 6【解答】解：等边三角形、正方形、平行四边形、等腰梯形分别用1、2、3、4表示， 列表如下：

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1 2 3 4 1  2 (2,1)  3 (3,1) (3,2)  4 (4,1) (4,2) (4,3)  (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4) 所有等可能情况数为12种，其中两张卡片上图形都是中心对称图形的有2种， 则P两个都为中心对称图形故答案为：

1． 621． 12614．（3分）某市某年的绿化面积是20万亩，第二、三年的年增长率相同．已知第三年的绿化面积达到了25万亩，求第三年的年增长率，如果设该年增长率为x，那么可列关于x的方程： 20(1x)225． ．

【解答】解：设每年增长率为x，则第二年绿化面积20(1x)万亩，第三年绿化面积20(1x)万亩，

根据题意得出：20(1x)225． 故答案为：20(1x)225．

15．（3分）如果从多边形的一个顶点出发，共可画出两条对角线，那么这个多边形的内角和是 540 度．

【解答】解：多边形的边数是235， 则内角和是(52)180540． 故答案是：540．

16．（3分）在等腰梯形ABCD中，AD//BC，BC30，AD的长为3，高AH的长为3，那么梯形的中位线长为 6 ．

2

【解答】解：过点D作DGBC于G，

第10页（共23页）

AHBC， AH//DG， AD//BC，

四边形AHGD为平行四边形，

DGBC，

平行四边形AHGD为矩形，

HGAD3，

在RtABH中，B30，AH3， AB2AH23，

由勾股定理得：BHAB2AH2(23)2(3)23， 同理可得：GC3，

BCBHHGGC9，

梯形的中位线长1(39)6， 2故答案为：6．

17．（3分）过平行四边形ABCD的对角线交点O作直线l，分别交直线AB、CD于点E、F，

AE3AB，如果ABa，那么DF的长是 4a或2a ．（用含有a的代数式表示）

【解答】解：分两种情况：

①如图1所示，当点E在BA的延长线上时，AE3AB3a，

BEABAE4a，

四边形ABCD是平行四边形，

BODO，AB//CD，

EF，

在BOE和DOF中， EFBOEDOF， BODO第11页（共23页）

BOEDOF(AAS)，

DFBE4a；

②如图2所示，当点E在AB的延长线上时，AE3AB3a，

BEAEAB2a，

四边形ABCD是平行四边形，

BODO，AB//CD，

EF，

在BOE和DOF中， EFBOEDOF， BODOBOEDOF(AAS)，

DFBE2a；

综上所述，DF的长为4a或2a． 故答案为：4a或2a．

AB90，AD//BC，ABBC10，18．（3分）如图，在四边形ABCD中，且ADBC，

点P在BC边上，点B关于直线AP的对称点为Q，CQ的延长线交边AD于点R，如果

ARCP，那么线段AP的长为 55 ．

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【解答】解：如图，连接BQ交AP于O．

PCAR，PC//AR，

四边形APCR是平行四边形，

AP//CR，

B，Q关于AP对称，

OBOQ，

BPCP5，

在RtABP中，ABP90，AB10，BP5，

APAB2BP21025255．

故答案为：55．

三、解答题(本大题共8题,满分66分)【将下列各题的解答过程,做在答题纸上】 214x． 12x2x24x214x1【解答】解：原方程化为：， x2x2(x2)(x2)19．（6分）解方程：

方程两边都乘以(x2)(x2)，得2(x2)(x2)(x2)x24x， 整理，得x23x20， 解得：x12，x21，

经检验x12是增根，舍去，x21是原方程的解，

第13页（共23页）

所以原方程的解是x1．

x22xyy2420．（6分）解方程组：2．

xxyx0【解答】解：先对方程①进行因式分解得：

(xy)24， (xy)240， (xy)2220，

(xy2)(xy2)0， xy20或xy20．

由方程②得： x(xy1)0，

x0或xy10．

所以原方程转化为：

xy20xy20xy20xy20或者或者或者． x0x0xy10xy1013xxx0x022所以原方程组的解：或者或者或者．

31y2y2yy2221．（8分）一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y（升)与行驶路程x（千米）之间是一次函数关系．当汽车加满油后，行驶120千米时，油箱中还剩油40升；行驶180千米时，油箱中还剩油35升．

（1）求出y与x之间的函数解析式，并写出定义域；

（2）已知当油箱中的剩余油量为10升时，该车仪表盘会亮灯提示加油．在距离出发点500千米处有一加油站，该车在加满油后，请判断司机能否在亮灯提示前行驶至此加油站，并说明理由．

【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为ykxb(k0)，根据题意得： 120kb40， 180kb35第14页（共23页）

1k解得12，

b50y1x50(0x600)； 12（2）不能在亮灯提示前行驶至此加油站，理由如下： 当y10时，解得x480，

即当油箱中的剩余油量为10升时，该车行驶路程为480千米，

因为480500，所以该车在加满油后，不能在亮灯提示前行驶至此加油站．

22．（8分）如图，点E、F在平行四边形ABCD的对角线BD上，且EBFD，设BCa，BAb，ECc．

1x5010， 12（1）试用向量a、b、c表示下列向量：AC ab ，BE ，FB ； （2）求作：abc．（请在原图上作图，保留作图痕迹，写出结果，不要求写作法）

【解答】解：（1）如图，设AC交BD于点O． 四边形ABCD是平行四边形，

OAOC，OBOD，

BEDF，

OEOF，

四边形AECF是平行四边形，

ECAF，AF//EC，

ACABBCab， BEBCCEac， FBFAABcb，

第15页（共23页）

故答案为：ab，ac，cb，

（2）如图，作CT//EB，且CTBE，连接BT，DT，则DT即为所求．

23．（8分）我国水资源人均占有量远低于世界平均水平．某小区居民响应号召节约用水，现在日均用水量比原来减少了3吨，300吨的水比原来400吨还可多用10天，求该小区原日均用水量多少吨．

【解答】解：设该小区原日均用水量为x吨，则现在日均用水量为(x3)吨， 根据题意得：

30040010， x3x解得：x8或x15（舍去）， 经检验x8是原方程的解， 答：该小区原日均用水量为8吨．

24．（8分）如图，在直角坐标平面中，点A(2,m)和点B(6,2)同在一个反比例函数的图象上． （1）求直线AB的表达式；

（2）求AOB的面积及点A到OB的距离AH．

【解答】解：（1）设反比例函数为y点A(2,m)和点B(6,2)在y

k， xk

的图象上 x

第16页（共23页）

k2m62

解得m6，，

点A的坐标为(2,6)，

设直线AB的表达式为yaxb， 2ab6把A(2,6)和B(6,2)代入得，

6ab2a1解得，

b8直线AB的表达式为yx8；

（2）设直线AB与x轴的交点为C，

在直线AB为yx8中，令y0，则x8， C(8,0)，

11SAOBSAOCSBOC868216，

22B(6,2)，

OB6222210，

1SAOBOBAH16，

2AH162210810． 5

25．（10分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AOBOCO，

BACACD．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）如果点E在边AB上，DE平分ADB，BD2AB，求证：BDADAE．

第17页（共23页）

【解答】证明：（1）在AOB和COD中， BAOOCD， AOCOAOBCODAOBCOD(ASA)，

BODO， AOCO，

四边形ABCD是平行四边形，

AOBOCO，BODO， AOBOCODO， ACBD，

平行四边形ABCD是矩形；

（2）过点E作EFBD于F，如图所示： 由（1）得：四边形ABCD是矩形，

BAD90，

BD2AB，

ABD是等腰直角三角形，

ABD45，

EFBD，

EFBEFD90，

BEF是等腰直角三角形，

FEFB， DE平分ADB， ADEFDE，

第18页（共23页）

在ADE和FDE中， EADEFD90， ADEFDEDEDEADEFDE(AAS)，

ADFD，AEFE， AEFB， BDFDFB， BDADAE．

26．（12分）已知：如图，平行四边形ABCD中，AB5，BD8，点E、F分别在边BC、

CD上（点E、F与平行四边形ABCD的顶点不重合），CECF，AEAF．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）设BEx，AFy，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

（3）如果AE5，点P在直线AF上，ABP是以AB为腰的等腰三角形，那么ABP的底边长为 8或

14或6 ．（请将答案直接填写在空格内） 5

【解答】（1）证明：如图1，连结AC，

AEAF，CECF，ACAC，

第19页（共23页）

ACEACF(SSS)，

ACEACF，

即ACBACD；

四边形ABCD是平行四边形，

AB//CD， ACDCAB， ACBCAB， ABCB，

四边形ABCD是菱形.

（2）如图2，连结AC，交BD于点H，作AGBC于点G，则AGBAGE90， 由（1）得，四边形ABCD是菱形，

ACBD， AHB90， AB5，BH11BD84， 22AH52423，

AC2AH236，

1S菱形ABCD8624，

2由BCAG24，且BCAB5，得5AG24， 解得AG24； 22427)， 55BG52(7EG|x|，

572414由AEEG2AG2，且AEAFy，得y(x)2()2x2x25，

555点E在BC边上且不与点B、C重合，

0x5，

y关于x的函数解析式为yx214x25(0x5)， 5（3）如图3，ABAP，且点P在FA的延长线上，

AFAE5，ABAD5，

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AFAD，

AFDADC， ADCABC， AFDABC， AB//CD，

BAFAFD，

BAFABC， AD//BC，

BADABC180， PABBAF180，

PABBAD， APAB，ABAD，

APBABD(SAS)，

PBBD8，

即等腰三角形ABP的底边长为8；

如图4，ABPB，作BMAF于点M，AGBC于点G，则AMBBGA90，

BAFABC， BAMABG，

ABBA，

BAMABG(AAS)，

AMBG，

由（2）得，BGAMBG7， 57， 5AP2AM2714， 5514； 5即等腰三角形ABP的底边长为

如图5，APAB，点P与点F重合，连结AC，

BAFABC，AFAB，ABBC，

BAFABC(SAS)，

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FBAC6，

即BP6，

等腰三角形ABP的底边长为6．

综上所述，以AB为腰的等腰三角形ABP的底边长为8或故答案为：8或

14或6． 514或6， 5

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