巧算求和

五 巧算求和

德国有一位世界著名的数学家叫高斯（公元1977年～1855年）．他上小学时，老师出了一道数学题：1+2+3+…+100=？小高斯看了看题目，想了一下，很快说出了结果是5050．他的同学无不为之惊奇，甚至还有的同学以为他在瞎说．但小高斯得出的结果被确定是正确的．同学们，你们知道他是怎么算出来的吗？原来小高斯在认真审题的基础上，根据题的特点，发现了这样的有趣现象：1+100=101，2+99=101，3+98=101，…，50+51=101．一共有多少个101呢？100个数，每两个数是一对，共有50对，即共有50个101，所以 1+2+3+…+100

=101×50，

也就是：（1+100）×（100÷2）=101×50=5050．

高斯的老师所出的题目，实际上是数列的求和问题．那么什么是数列呢？

按照一定次序排列的一列数叫做数列．数列中的数叫做数列的项，第一个数叫做第一项，又叫做首项；第二个数叫做第二项；……；最后一个数叫做末项．

高斯的老师所出的题目，实际上是求数列：1，2，3，4，…，99，100的和．这个数列有什么特点呢？可以发现：2-1=3-2=4-3=…=100-99=l，即从第二项起，每一项与它前一项的差都相等，像这样的数列叫做等差数列，这个相等的差叫做这个等差数列的公差．如： 1，2，3，4，…是等差数列，公差为1； 1，3，5，7，…是等差数列，公差为2； 2，5，8，11，…是等差数列，公差为3． 由高斯的巧算可以得到：

1+2+3+…+98+99+100=（1+10O）×（100÷2），

即（1+100）×100÷2．由此可以得出等差数列的求和公式：

总和=（首项+末项）×项数÷2．

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我们利用这个公式，可以很迅速地求出等差数列的前n项的和． 问题5.1 计算下列各题：

（1）1+3+5+…+99；（2）1+4+7+…+100； （3）1949+1959+1969+1979+1989+1999+2009．

分析（1）这是一个公差为2的等差数列，首项是1，末项是99，项数是50，所以

1+3+5+…+97+99=（1+99）×50÷2 =100×25=2500．

（2）这是一个公差为3、首项是1、末项是100、项数是34的等差数列，所以

1+4+7+…+97+100=（1+100）×34÷2 =101×17=1717．

（3）这是一个公差是10、首项是1949、末项是2009、项数是7的等差数列，所以

1949+1959+1969+1979+1989+1999+2009 =（1949+2009）×7÷2=1979×7=13853．

在上面的解题过程中，怎样根据等差数列的首项、末项及公差来确定项数呢？同学们经过分析完全可以得出下面的计算公式：

项数=（末项-首项）÷公差+1．

另外，当这个等差数列是奇数个项时，总和=中间项×项数． 同学们想一想这是为什么？ 问题5.2 计算下列各题：

（1）6000-1-2-3-…-99-100；

（2）（1+3+5+7+…+1993）-（2+4+6+8+…+1992）。 分析（1）可先利用减法的性质，把原题变为

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6000-（1+2+3+…+100），

然后再利用等差数列的求和公式计算．（2）可分别利用等差数列的求和公式计算。

解（1）6000-1-2-3-…-99-100 =6000-（1+2+3+…+99+100） =6000-（1+100）×100÷2 =6000-5050=950．

（2）（1+3+5+…+1993）-（2+4+6+…+1992） =（1+1993）×997÷2-（2+1992）×996÷2 =9972-997×996=997×（997-996） =997×1=997． （2）也可以这样解：

（1+3+5+7+…+1993）-（2+4+6+8+…+1992）

=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（9-8）+…+（1993-1992）

问题5.3 计算

1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99．

分析 把原题作适当的变形，然后再利用等差数列的求和公式计算． 解1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99

=（1+2+3+4+…+97+98+99）-2×（3+6+9+…+99） =（1+99）×99÷2-2×（3+99）×33÷2 =4950-3366=1584。 问题5.4 计算

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997+995+993+1009+1004+1011．

分析 当许多大小不同但彼此又比较接近的数相加时，可选择其中一个数，最好是整十、整百、整千、……的数作为计数的基础，再找出每一个加数与这个数（基准数）的差．大于基准数的作为加数，小于基准数的作为减数，把这些差累计起来，再用基准数乘以加数的个数，加上累计差，就是这些数的和．本题选1000作为基准数较合适． 解 997+995+993+1009+1004+1011 =（1000-3）+（1000-5）+（1000-7） +（1000+9）+（1000+4）+（1000+11） =1000×6+（9+4+11）-（3+5+7） =6000+24-15=6009． 问题5.5 求平均数：

199，202，195，201，196，201

分析 选200作基准数，先求和，再求平均数． 解[200×6+（2+1+1）-（1+5+4）]÷6 =[1200+4-10]÷6=199

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