高中数学题型全面归纳10.3抛物线及其性质44改

第三节 抛物线及其性质

考纲解读

掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形和及其简单几何性质. 命题趋势探究

抛物线是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查抛物线的方程、焦点、准线及其几何性质，题形上，选择、填空、解答题都有可能出现，以考查学生的运算、数形结合和分析能力为主. 预测2019年高考主要考查抛物线标准方程和性质的应用，焦点弦是重点考查的内容. 知识点精讲

一、抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点

F叫抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.

注 若在定义中有Fl，则动点的轨迹为l的垂线，垂足为点F.

二、抛物线的方程、图形及性质

抛物线的标准方程有4种形式：y22px,y22px,x22py,x22py(p0)，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示）

表10-3 标准方程 y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) y y F O y x l F O y O F l 图形 O F x l x l x 对称轴 顶点 焦点坐标 准线方程 x轴 原点(0,0) y轴 p(,0) 2px 22(p,0) 2px 2p(0,) 2py 2p(0,) 2py 2三、抛物线中常用的结论

1. 点P(x0,y0)与抛物线y2px(p0)的关系

2（1）P在抛物线内（含焦点）y02px0. 2（2）P在抛物线上y02px0. 2（3）P在抛物线外y02px0.

2. 焦半径

抛物线上的点P(x0,y0)与焦点F的距离称为焦半径，若y22px(p0)，则焦半径

PFx0p，PF2maxp. 23. p(p0)的几何意义

p为焦点F到准线l的距离，即焦准距，p越大，抛物线开口越大.

4. 焦点弦

若AB为抛物线y22px(p0)的焦点弦，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有以下结论：

p2（1）x1x2.

4（2）y1y2p2.

（3）焦点弦长公式1：ABx1x2p，x1x22x1x2p，当x1x2时，焦点弦取最小值2p，即所有焦点弦中通径最短，其长度为2p.

焦点弦长公式2：AB2p（为直线AB与对称轴的夹角）. 2sin（4）AOB的面积公式：SAOB5.抛物线的弦

p2（为直线AB与对称轴的夹角）. 2sin若AB为抛物线y2px(p0) 的任意一条弦，A(x1,y1),B(x2,y2) ，弦的中点为

2M(x0,y0)(y00) ，则

（1） 弦长公式：AB1k2x1x211y1y2(kABk0) 2k（2） kABp y0p(xx0) y0y0(xx0) p（3） 直线AB的方程为yy0（4） 线段AB的垂直平分线方程为yy0

A法） 4AA （1）y2Ax(A0), 焦点为(,0) ，准线为x

44AA(2) x2Ay(A0), 焦点为(0,) ，准线为y

44y112如y4x2，即x，焦点为(0,) ，准线方程为y

416166．求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（7．参数方程

x2pt2 y2px 的参数方程为 （参数tR） (p0)y2pt28．切线方程和切点弦方程

抛物线y2px(p0)的切线方程为y0yp(xx0),(x0,y0)为切点 切点弦方程为y0yp(xx0),点(x0,y0)在抛物线外

与中点弦平行的直线为y0yp(xx0),此直线与抛物线相离，点(x0,y0)（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果。

题型归纳及思路提示

2题型143；抛物线的定义与方程

思路提示

求抛物线的标准方程的步骤为：

(1) 先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置： (2) 根据题目条件列出P的方程 (3) 解方程求出P，即得标准方程

例10．23 已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切,求的值为

（ ） A．

1 B． 1 C． 2 D．4 2

变式1 【2016高考浙江理数】若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_______．

变式2 设M(x0,y0) 为抛物线C:x8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，

2FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是（ ）

A．0,2 B． 0,2 C．2, D．2,

例10.24 若点p到直线x1的距离比它到点2,0的距离小1 ，则点p的轨迹为

（ ）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

变式1 设圆C 与圆x2(y3)21 外切，与直线y0 相切，则C的圆心轨迹为（ ） A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆

x2pt2变式2 【2016高考天津理数】设抛物线，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为

y2ptl.过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（

7p,0），AF与BC相交于点E.若2|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为32，则p的值为_________.

例10.25 设抛物线y28x上一点P 到y 轴的距离是4 ，则点P抛物线焦点的距离是

（ ）

A．4 B．6 C．8 D．12

变式1 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0) ，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM（ ） A．22 B．23 C．4 D．25

变式2 已知F是抛物线y2x的焦点，A,B 是该抛物线上的两点，AFBF3 则线段AB的中点到y轴的距离为（ ） A．

2变式3 设F为抛物线y4x的焦点，A,B,C 为该抛物线上三点，若

357 B．1 C． D． 444FAFBFC0 ，则FAFBFC（ ）

A．9 B．6 C．4 D．3

例10.26 过抛物线y22px(p0) 的焦点F作倾斜角为60的直线与抛物线分别交于

，则A,B两点（点A 在x轴上方）

变式 1 已知F是抛物线C:y24x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A,B 两点，设FAFB，则FA与FB的比值等于

变式2 【2016年高考四川理数】设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF,则直线OM的斜率的最大值为( )

2AFBF

（A）

232（B）（C）（D）1

332

题型144 与抛物线有关的距离和最值问题

思路提示

抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解。

例10.27已知直线l1:4x3y60 和直线l2:x1，抛物线y24x上一动点P 到直

线l1和l2的距离之和的最小值是（ ） A．2 B．3 C．

变式 1 已知点P是抛物线y22x 上的一个动点，则点P到点M(0,2)与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） A．

变式2 已知点P在抛物线y4x上，那么当点P到点Q(2,1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）

A．(,1) B．(,1) C．(1,2) D．(1,2)

21137 D． 516917 B．3 C．5 D．

221414

变式3 【2017课标1，理10】已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的

直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16

B．14

C．12

D．10

题型145 抛物线中三角形，四边形的面积问题

思路提示

解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比。

例10.28 在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y24x的焦点F，且与该抛物线相交于

A,B两点，其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60，则OAF的面积为

变式1 过抛物线y24x 的焦点F的直线交抛物线于A,B 两点，点O是坐标原点，若

AF3，则AOB的面积为（ ）

A．

变式2 【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线y4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与

222 B．2 C．3 D．22 22ACF的面积之比是（ ）

A.

BF1AF1 B.

BF1AF122 C.

BF1AF1 D.

BF1AF122

例10.29 抛物线y24x的焦点为F，准线为l ，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是（ ） A．4 B．33 C．43 D．8

变式1 已知抛物线C;y28x的焦点为F，准线与x 轴的交点为K，点A在C 上且

AK2AF，则AKF的面积为（ ）

A．4 B．8 C．16 D．32

x2y2变式2 【2017天津，理19】设椭圆221(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，

ab离心率为

112.已知A是抛物线y2px(p0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为. 22（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D.若△APD的面积为

6，求直线AP的方程. 2

最有效训练题44（限时45分钟）

1．抛物线y224ax(a0)上有一点M，它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为( )

A．y28x B．y212x C．y216x D．y220x 2.若点P到直线x2 的距离比它到点(1,0) 的距离大1,则点P的轨迹为( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

3.已知抛物线y22px ,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定

x2y24. 已知双曲线C1:221(a0,b0)的离心率为2,若抛物线C2:x22py(p0)

ab的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2 的方程为( ) A．x283163y B．x2y C．x28y D．x216y 335. 等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上, C与抛物线y216x的准线交于A,B两点,AB43 ,则C的实轴长为( )

A．2 B．22 C．4 D．8

6. 已知P,Q 为抛物线x2y 上两点,点P,Q的横坐标分别为4,2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A的纵坐标为( )

A．1 B．3 C．4 D．8

7. 已知以F为焦点的抛物线y24x 上的两点A,B 满足AF3FB，则弦AB 的中点到准线的距离为

8．若点3,1是抛物线y22px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p

29．已知点A2,0,B4,0 ，动点P在抛物线y4x上运动，则APBP取得最小值时

2的点P的坐标是

10．已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点

（1）若有点A3,2，求的最小值，并PAPF求出取最小值时P点的坐标 （2）若点A的坐标为2,3，求PAPF的最小值 （3）若P点在y轴上的射影是M，点A的坐标是

11．已知抛物线方程y2mxmR，且m0 （1）若抛物线焦点坐标为1，0，求抛物线的方程

7,4，求PAPM的最小值. 2（2，0） （2）若动圆M过A，且圆心M在该抛物线上运动，E，F是圆M和y轴

的交点，当m满足什么条件时，EF是定值？

12．如图10-14所示，已知点A2,8，Bx1,y1,Cx2,y2均在抛物线y22pxp0上，ABC的重心与此抛物线的焦点F重合。

（1）写出该抛物线的方程及焦点F的坐标 ； （2）求线段BC的中点M的坐标； （3）求BC所在直线的方程.