2017年05月21日数学（因式分解难题）2
一．填空题（共10小题）
1．已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为 ．
2．两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来： ．
3．若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是 ．
4．分解因式：4x2﹣4x﹣3= ．
5．利用因式分解计算：2022+202×196+982= ．
6．△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是 ．
7．计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012= ．
8．定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①2★（﹣2）=3
②a★b=b★a
③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab
④若a★b=0，则a=1或b=0．
其中正确结论的序号是 （填上你认为正确的所有结论的序号）．
9．如果1+a+a2+a3=0，代数式a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= ．
10．若多项式x2﹣6x﹣b可化为（x+a）2﹣1，则b的值是 ．
二．解答题（共20小题）
11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．
12．因式分解：4x2y﹣4xy+y．
13．因式分解
（1）a3﹣ab2
（2）（x﹣y）2+4xy．
14．先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0
∴（m+n）2+（n﹣3）2=0
∴m+n=0，n﹣3=0
∴m=﹣3，n=3
问题：
（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．
（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？
15．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．
（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？
（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为 ．
16．如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．
（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．
（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．
（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．
17．（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．
①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；
②由此，你可以得出的一个等式为： ．
（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．
①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；
②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．
18．已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，sn=an+bn
（1）计算s2；
（2）请阅读下面计算s3的过程：
因为a+b=1，ab=﹣1，
所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1=
你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．
（3）试写出sn﹣2，sn﹣1，sn三者之间的关系式；
（4）根据（3）得出的结论，计算s6．
19．（1）利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04
（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）
20．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．
（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c= ．
21．仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴n+3=﹣4
m=3n解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：
（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a= ；
（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b= ；
（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．
22．分解因式：
（1）2x2﹣x；
（2）16x2﹣1；
（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；
（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．
23．已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．
24．分解因式
（1）2x4﹣4x2y2+2y4
（2）2a3﹣4a2b+2ab2．
25．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）图②中的阴影部分的面积为 ；
2、2、（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）（m﹣n）mn之间的等量关系是 ．
（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）2= ．
（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．
如图③，它表示了 ．
（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．
26．已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值．
27．已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，
求：这个长方体的体积．
28．（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．
29．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次．
2+…+x2004，（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）（x+1）则需应用上述方法 次，
结果是 ．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
30．对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式．
2017年05月21日数学（因式分解难题）2
参考答案与试题解析
一．填空题（共10小题）
1．（2016秋?望谟县期末）已知x+y=10，xy=16，则x2y+xy2的值为 160 ．
【分析】首先提取公因式xy，进而将已知代入求出即可．
【解答】解：∵x+y=10，xy=16，
∴x2y+xy2=xy（x+y）=10×16=160．
故答案为：160．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
2．（2016秋?新宾县期末）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2（x﹣1）（x﹣9）；另一位同学因看错了常数项分解成2（x﹣2）（x﹣4），请你将原多项式因式分解正确的结果写出来： 2（x﹣3）2 ．
【分析】根据多项式的乘法将2（x﹣1）（x﹣9）展开得到二次项、常数项；将2（x﹣2）（x﹣4）展开得到二次项、一次项．从而得到原多项式，再对该多项式提取公因式2后利用完全平方公式分解因式．
【解答】解：∵2（x﹣1）（x﹣9）=2x2﹣20x+18；
2（x﹣2）（x﹣4）=2x2﹣12x+16；
∴原多项式为2x2﹣12x+18．
2x2﹣12x+18=2（x2﹣6x+9）=2（x﹣3）2．
【点评】根据错误解法得到原多项式是解答本题的关键．二次三项式分解因式，看错了一次项系数，但二次项、常数项正确；看错了常数项，但二次项、一次项正确．
3．（2015春?昌邑市期末）若多项式x2+mx+4能用完全平方公式分解因式，则m的值是 ±4 ．
【分析】利用完全平方公式（a+b）2=（a﹣b）2+4ab、（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab计算即可．
【解答】解：∵x2+mx+4=（x±2）2，
即x2+mx+4=x2±4x+4，
∴m=±4．
故答案为：±4．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟记有关完全平方的几个变形公式是解题关键．
4．（2015秋?利川市期末）分解因式：4x2﹣4x﹣3= （2x﹣3）（2x+1） ．
【分析】ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解，这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1?a2，把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1?c2，并使
a1c2+a2c1正好是一次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2），进而得出答案．
【解答】解：4x2﹣4x﹣3=（2x﹣3）（2x+1）．
故答案为：（2x﹣3）（2x+1）．
【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确分解各项系数是解题关键．
5．（2015春?东阳市期末）利用因式分解计算：2022+202×196+982= 90000 ．
【分析】通过观察，显然符合完全平方公式．
【解答】解：原式=2022+2x202x98+982
=（202+98）2
=3002
=90000．
【点评】运用公式法可以简便计算一些式子的值．
6．（2015秋?浮梁县校级期末）△ABC三边a，b，c满足a2+b2+c2=ab+bc+ca，则△ABC的形状是 等边三角形 ．
【分析】分析题目所给的式子，将等号两边均乘以2，再化简得（a﹣b）2+（a﹣c）
2+（b﹣c）2=0，得出：a=b=c，即选出答案．
【解答】解：等式a2+b2+c2=ab+bc+ac等号两边均乘以2得：
2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac，
即a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0，
即（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，
解得：a=b=c，
所以，△ABC是等边三角形．
故答案为：等边三角形．
【点评】此题考查了因式分解的应用；利用等边三角形的判定，化简式子得a=b=c，由三边相等判定△ABC是等边三角形．
7．（2015秋?鄂托克旗校级期末）计算：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012= 5151 ．
【分析】通过观察，原式变为1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002），进一步运用高斯求和公式即可解决．
【解答】解：12﹣22+32﹣42+52﹣62+…﹣1002+1012
=1+（32﹣22）+（52﹣42）+（1012﹣1002）
=1+（3+2）+（5+4）+（7+6）+…+（101+100）
=（1+101）×101÷2
=5151．
故答案为：5151．
【点评】此题考查因式分解的实际运用，分组分解，利用平方差公式解决问题．
8．（2015秋?乐至县期末）定义运算a★b=（1﹣a）b，下面给出了关于这种运算的四个结论：
①2★（﹣2）=3
②a★b=b★a
③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=2ab
④若a★b=0，则a=1或b=0．
其中正确结论的序号是 ③④ （填上你认为正确的所有结论的序号）．
【分析】根据题中的新定义计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：①2★（﹣2）=（1﹣2）×（﹣2）=2，本选项错误；
②a★b=（1﹣a）b，b★a=（1﹣b）a，故a★b不一定等于b★a，本选项错误；
③若a+b=0，则（a★a）+（b★b）=（1﹣a）a+（1﹣b）b=a﹣a2+b﹣b2=﹣a2﹣b2=﹣2a2=2ab，本选项正确；
④若a★b=0，即（1﹣a）b=0，则a=1或b=0，本选项正确，
其中正确的有③④．
故答案为③④．
【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
9．（2015春?张掖校级期末）如果1+a+a2+a3=0，代数式
a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= 0 ．
【分析】4项为一组，分成2组，再进一步分解因式求得答案即可．
【解答】解：∵1+a+a2+a3=0，
∴a+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，
=a（1+a+a2+a3）+a5（1+a+a2+a3），
=0+0，
=0．
故答案是：0．
【点评】此题考查利用因式分解法求代数式的值，注意合理分组解决问题．
10．（2015春?昆山市期末）若多项式x2﹣6x﹣b可化为（x+a）2﹣1，则b的值是 ﹣8 ．
【分析】利用配方法进而将原式变形得出即可．
【解答】解：∵x2﹣6x﹣b=（x﹣3）2﹣9﹣b=（x+a）2﹣1，
∴a=﹣3，﹣9﹣b=﹣1，
解得：a=﹣3，b=﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】此题主要考查了配方法的应用，根据题意正确配方是解题关键．
二．解答题（共20小题）
11．已知n为整数，试说明（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．
【分析】用平方差公式展开（n+7）2﹣（n﹣3）2，看因式中有没有20即可．
【解答】解：（n+7）2﹣（n﹣3）2=（n+7+n﹣3）（n+7﹣n+3）=20（n+2），
∴（n+7）2﹣（n﹣3）2的值一定能被20整除．
【点评】主要考查利用平方差公式分解因式．公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．
12．（2016秋?农安县校级期末）因式分解：4x2y﹣4xy+y．
【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
【解答】解：4x2y﹣4xy+y
=y（4x2﹣4x+1）
=y（2x﹣1）2．
【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13．（2015秋?成都校级期末）因式分解
（1）a3﹣ab2
（2）（x﹣y）2+4xy．
【分析】（1）原式提取a，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式=a（a2﹣b2）=a（a+b）（a﹣b）；
（2）原式=x2﹣2xy+y2+4xy=x2+2xy+y2=（x+y）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．（2015春?甘肃校级期末）先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．
解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0
∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0
∴（m+n）2+（n﹣3）2=0
∴m+n=0，n﹣3=0
∴m=﹣3，n=3
问题：
（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求xy的值．
（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，请问△ABC是怎样形状的三角形？
【分析】（1）首先把x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，配方得到（x﹣y）2+（y+2）2=0，再根据非负数的性质得到x=y=﹣2，代入求得数值即可；
2+2+|3﹣c|=0，（2）先把a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，配方得到（a﹣3）（b﹣3）
根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可．
【解答】解：（1）∵x2+2y2﹣2xy+4y+4=0
∴x2+y2﹣2xy+y2+4y+4=0，
∴（x﹣y）2+（y+2）2=0
∴x=y=﹣2
∴；
（2）∵a2+b2﹣6a﹣6b+18+|3﹣c|=0，
∴a2﹣6a+9+b2﹣6b+9+|3﹣c|=0，
∴（a﹣3）2+（b﹣3）2+|3﹣c|=0
∴a=b=c=3
∴三角形ABC是等边三角形．
【点评】此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．
15．（2015秋?太和县期末）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20这三个数都是和谐数．
（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？
（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为 2500 ．
【分析】（1）利用36=102﹣82；2016=5052﹣5032说明36是“和谐数”，2016不是“和谐数”；
（2）设两个连续偶数为2n，2n+2（n为自然数），则“和谐数”=（2n+2）2﹣（2n）
2，利用平方差公式展开得到（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）=4（2n+1），然后利用整除性可
说明“和谐数”一定是4的倍数；
（3）介于1到200之间的所有“和谐数”中，最小的为：22﹣02=4，最大的为：502﹣482=196，将它们全部列出不难求出他们的和．
【解答】解：（1）36是“和谐数”，2016不是“和谐数”．理由如下：
36=102﹣82；2016=5052﹣5032；
（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（n为自然数），
∵（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）
=（4k+2）×2
=4（2k+1），
∵4（2k+1）能被4整除，
∴“和谐数”一定是4的倍数；
（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和，
S=（22﹣02）+（42﹣22）+（62﹣42）+…+（502﹣482）=502=2500．
故答案是：2500．
【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解把所求的代数式进行变形，从而
达到使计算简化．
16．（2015春?兴化市校级期末）如图1，有若干张边长为a的小正方形①、长为b宽为a的长方形②以及边长为b的大正方形③的纸片．
（1）如果现有小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，请你将它们拼成一个大长方形（在图2虚线框中画出图形），并运用面积之间的关系，将多项式a2+3ab+2b2分解因式．
（2）已知小正方形①与大正方形③的面积之和为169，长方形②的周长为34，求长方形②的面积．
（3）现有三种纸片各8张，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），求可以拼成多少种边长不同的正方形．
【分析】（1）根据小正方形①1张，大正方形③2张，长方形②3张，直接画出图形，利用图形分解因式即可；
（2）由长方形②的周长为34，得出a+b=17，由题意可知：小正方形①与大正方形③的面积之和为a2+b2=169，将a+b=17两边同时平方，可求得ab的值，从而可求得长方形②的面积；
（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）由完全平方公式可知：（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．因为现有三种纸片各8张，
n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m为正整数）从而可知n≤2，m≤2，从而可得出答案．
【解答】解：（1）如图：
拼成边为（a+2b）和（a+b）的长方形
∴a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b）；
（2）∵长方形②的周长为34，
∴a+b=17．
∵小正方形①与大正方形③的面积之和为169，
∴a2+b2=169．
将a+b=17两边同时平方得：（a+b）2=172，整理得：a2+2ab+b2=289，
∴2ab=289﹣169，
∴ab=60．
∴长方形②的面积为60．
（3）设正方形的边长为（na+mb），其中（n、m为正整数）
∴正方形的面积=（na+mb）2=n2a2+2nmab+m2b2．
∵现有三种纸片各8张，
∴n2≤8，m2≤8，2mn≤8（n、m为正整数）
∴n≤2，m≤2．
∴共有以下四种情况；
①n=1，m=1，正方形的边长为a+b；
②n=1，m=2，正方形的边长为a+2b；
③n=2，m=1，正方形的边长为2a+b；
④n=2，m=2，正方形的边长为2a+2b．
【点评】此题考查因式分解的运用，要注意结合图形解决问题，解题的关键是灵活运用完全平方公式．
17．（2014秋?莱城区校级期中）（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示，用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2．
①用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；
②由此，你可以得出的一个等式为： a2+2a+1 = （a+1）2 ．
（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示．
①请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图；
②请你用拼图等方法推出2a2+5ab+2b2因式分解的结果，画出你的拼图．
【分析】（1）要能根据所给拼图运用不同的计算面积的方法，来推导公式；
（2）要能根据等式画出合适的拼图．
【解答】解：（1）①长方形的面积=a2+2a+1；长方形的面积=（a+1）2；
②a2+2a+1=（a+1）2；
（2）①如图，可推导出（a+b）2=a2+2ab+b2；
②2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）．
【点评】本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解．
18．（2013秋?海淀区校级期末）已知a+b=1，ab=﹣1，设s1=a+b，s2=a2+b2，s3=a3+b3，…，sn=an+bn
（1）计算s2；
（2）请阅读下面计算s3的过程：
因为a+b=1，ab=﹣1，
所以s3=a3+b3=（a+b）（a2+b2）﹣ab（a+b）=1×s2﹣（﹣1）=s2+1= 4
你读懂了吗？请你先填空完成（2）中s3的计算结果，再用你学到的方法计算s4．
（3）试写出sn﹣2，sn﹣1，sn三者之间的关系式；
（4）根据（3）得出的结论，计算s6．
【分析】（1）（2）利用完全平方公式进行化简，然后代入a+b，ab的值，即可推出结论；
（3）根据（1）所推出的结论，即可推出Sn﹣2+Sn﹣1=Sn；
（4）根据（3）的结论，即可推出a6+b6=S6=S4+S5=2S4+S3．
【解答】解：（1）S2=a2+b2=（a+b）2﹣2ab=3；
（2）∵（a2+b2）（a+b）=a3+ab2+a2b+b3=a3+b3+ab（a+b），
∴3×1=a3+b3﹣1，
∴a3+b3=4，即S3=4；
∵S4=（a2+b2）2﹣2（ab）2=7，
∴S4=7；
（3）∵S2=3，S3=4，S4=7，
∴S2+S3=S4，
∴Sn﹣2+Sn﹣1=Sn；
（3）∵Sn﹣2+Sn﹣1=Sn，S2=3，S3=4，S4=7，
∴S5=4+7=11，
∴S6=7+11=18．
【点评】本题主要考查整式的混合运算、完全平方公式的运用，关键在于根据题意推出S2=3，S3=4，S4=7，分析归纳出规律：Sn﹣2+Sn﹣1=Sn．
19．（2013春?重庆校级期末）（1）利用因式分解简算：9.82+0.4×9.8+0.04
（2）分解因式：4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）
【分析】（1）利用完全平方公式因式分解计算即可；
（2）先利用提取公因式法，再利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：（1）原式=9.82+2×0.2×9.8+0.22
=（9.8+0.2）2
=100；
（2）4a（a﹣1）2﹣（1﹣a）
=（a﹣1）（4a2﹣4a+1）
=（a﹣1）（2a﹣1）2．
【点评】此题考查因式分解的实际运用，掌握平方差公式和完全平方公式是解决问题的关键．
20．（2013春?惠山区校级期末）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+2xy+2y2+2y+1=0，求x﹣y的值．
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25=0，求△ABC的最大边c的值．
（3）已知a﹣b=4，ab+c2﹣6c+13=0，则a﹣b+c= 7 ．
【分析】（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x﹣y的值；
（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；
（3）由a﹣b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a﹣b+c的值．
【解答】解：（1）∵x2+2xy+2y2+2y+1=0
∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0
∴（x+y）2+（y+1）2=0
∴x+y=0y+1=0
解得x=1，y=﹣1
∴x﹣y=2；
（2）∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0
∴a﹣3=0，b﹣4=0
解得a=3，b=4
∵三角形两边之和＞第三边
∴c＜a+b，c＜3+4
∴c＜7，又c是正整数，
∴c最大为6；
（3）∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，
整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，
∴b+2=0，且c﹣3=0，即b=﹣2，c=3，a=2，
则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7．
故答案为：7．
【点评】此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
21．（2012秋?温岭市校级期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n），则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴n+3=﹣4
m=3n解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21．
问题：
（1）若二次三项式x2﹣5x+6可分解为（x﹣2）（x+a），则a= ﹣3 ；
（2）若二次三项式2x2+bx﹣5可分解为（2x﹣1）（x+5），则b= 9 ；
（3）仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+5x﹣k有一个因式是（2x﹣3），求另一个因式以及k的值．
【分析】（1）将（x﹣2）（x+a）展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；
（2）（2x﹣1）（x+5）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；
（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣3n，可知2n﹣3=5，k=3n，继而求出n和k的值及另一个因式．
【解答】解：（1）∵（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a=x2﹣5x+6，
∴a﹣2=﹣5，
解得：a=﹣3；
（2）∵（2x﹣1）（x+5）=2x2+9x﹣5=2x2+bx﹣5，
∴b=9；
（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+5x﹣k=（2x﹣3）（x+n）=2x2+（2n﹣3）x﹣3n，
则2n﹣3=5，k=3n，
解得：n=4，k=12，
故另一个因式为（x+4），k的值为12．
故答案为：（1）﹣3；（2分）（2）9；（2分）（3）另一个因式是x+4，k=12（6分）．
【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
22．（2012春?郯城县期末）分解因式：
（1）2x2﹣x；
（2）16x2﹣1；
（3）6xy2﹣9x2y﹣y3；
（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2．
【分析】（1）直接提取公因式x即可；
（2）利用平方差公式进行因式分解；
（3）先提取公因式﹣y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解；
（4）把（x﹣y）看作整体，利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）2x2﹣x=x（2x﹣1）；
（2）16x2﹣1=（4x+1）（4x﹣1）；
（3）6xy2﹣9x2y﹣y3，
=﹣y（9x2﹣6xy+y2），
=﹣y（3x﹣y）2；
（4）4+12（x﹣y）+9（x﹣y）2，
=[2+3（x﹣y）]2，
=（3x﹣3y+2）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，是因式分解的常用方法，难点在（3），提取公因式﹣y后，需要继续利用完全平方公式进行二次因式分解．
23．（2012春?碑林区校级期末）已知a，b，c是三角形的三边，且满足（a+b+c）
2=3（a2+b2+c2），试确定三角形的形状．
【分析】将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．
【解答】解：∵（a+b+c）2=3（a2+b2+c2），
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，=3a2+3b2+3c2，
a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac=0，
即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，
∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，
∴a=b=c，
故△ABC为等边三角形．
【点评】本题考查了配方法的运用，非负数的性质，等边三角形的判断．关键是将已知等式利用配方法变形，利用非负数的性质解题．
24．（2011秋?北辰区校级期末）分解因式
（1）2x4﹣4x2y2+2y4
（2）2a3﹣4a2b+2ab2．
【分析】（1）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）2x4﹣4x2y2+2y4
=2（x4﹣2x2y2+y4）
=2（x2﹣y2）2
=2（x+y）2（x﹣y）2；
（2）2a3﹣4a2b+2ab2
=2a（a2﹣2ab+b2）
=2a（a﹣b）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，提取公因式后利用公式进行二次分解，注意分解要彻底．
25．（2011秋?苏州期末）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）图②中的阴影部分的面积为 （m﹣n）2 ；
（2）观察图②请你写出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系是 （m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn ．
（3）若x+y=7，xy=10，则（x﹣y）2= 9 ．
（4）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．
如图③，它表示了 （m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2 ．
（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．
【分析】（1）可直接用正方形的面积公式得到．
（2）掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别．
（3）此题可参照第（2）题．
（4）可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式．
（5）可参照第（4）题画图．
【解答】解：（1）阴影部分的边长为（m﹣n），阴影部分的面积为（m﹣n）2；
（2）（m+n）2﹣（m﹣n）2=4mn；
（3）（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=72﹣40=9；
（4）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+n2；
（5）答案不唯一：
例如：
．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变形．
26．（2009秋?海淀区期末）已知a、b、c满足a﹣b=8，ab+c2+16=0，求2a+b+c的值．
【分析】本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变形后，即可找到本题的突破口．由a﹣b=8可得a=b+8；将其代入ab+c2+16=0得：b2+8b+c2+16=0；此时可发现b2+8b+16正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求出b、c的值，进而可求得a的值；然后代值运算即可．
【解答】解：因为a﹣b=8，
所以a=b+8．（1分）
又ab+c2+16=0，
所以（b+8）b+c2+16=0．（2分）
即（b+4）2+c2=0．
又（b+4）2≥0，c2≥0，
则b=﹣4，c=0．（4分）
所以a=4，（5分）
所以2a+b+c=4．（6分）
【点评】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．
27．（2010春?北京期末）已知：一个长方体的长、宽、高分别为正整数a、b、c，且满足a+b+c+ab+bc+ac+abc=2006，
求：这个长方体的体积．
【分析】我们可先将a+b+c+ab+bc+ac+abc分解因式可变为（a+1）（b+1）（c+1）﹣1，就得（1+b）（c+1）（a+1）=2007，由于a、b、c均为正整数，所以（a+1）、（b+1）、（c+1）也为正整数，而2007只可分解为3×3×223，可得（a+1）、（b+1）、（c+1）的值分别为3、3、223，所以a、b、c值为2、2、222．就可求出长方体体积abc了．
【解答】解：原式可化为：a+ab+c+ac+ab+abc+b+1﹣1=2006，
a（1+b）+c（1+b）+ac（1+b）+（1+b）﹣1=2006，
（1+b）（a+c+ac）+（1+b）=2007，
（1+b）（c+1+a+ac）=2007，
（1+b）（c+1）（a+1）=2007，
2007只能分解为3×3×223
∴（a+1）、（b+1）、（c+1）也只能分别为3、3、223
∴a、b、c也只能分别为2、2、222
∴长方体的体积abc=888．
【点评】本题考查了三次的分解因式，做题当中用加减项的方法，使式子满足分解因式．
28．（2007秋?普陀区校级期末）（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15．
【分析】把（x2﹣4x）看作一个整体，先把﹣15写成3×（﹣5），利用十字相乘法分解因式，再把3写成（﹣1）×（﹣3），﹣5写成1×（﹣5），分别利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：（x2﹣4x）2﹣2（x2﹣4x）﹣15，
=（x2﹣4x+3）（x2﹣4x﹣5），
=（x﹣1）（x﹣3）（x+1）（x﹣5）．
【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．
29．（2007春?镇海区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x（x+1）+x（x+1）2
=（1+x）[1+x+x（x+1）]
=（1+x）2（1+x）
=（1+x）3
（1）上述分解因式的方法是 提公因式法 ，共应用了 2 次．
2+…+x2004，（2）若分解1+x+x（x+1）+x（x+1）（x+1）则需应用上述方法 2004
次，结果是 （1+x）2005 ．
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2+…+x（x+1）n（n为正整数）．
【分析】此题由特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系．
【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次．
（2）需应用上述方法2004次，结果是（1+x）2005．
（3）解：原式=（1+x）[1+x+x（x+1）]+x（x+1）3+…+x（x+1）n，
=（1+x）2（1+x）+x（x+1）3+…+x（x+1）n，
=（1+x）3+x（x+1）3+…+x（x+1）n，
=（x+1）n+x（x+1）n，
=（x+1）n+1．
【点评】本题考查了提公因式法分解因式的推广，要认真观察已知所给的过程，弄清每一步的理由，就可进一步推广．
30．（2007春?射洪县校级期末）对于多项式x3﹣5x2+x+10，如果我们把x=2代入此多项式，发现多项式x3﹣5x2+x+10=0，这时可以断定多项式中有因式（x﹣2）（注：把x=a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式（x﹣a）），于是我们可以把多项式写成：x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n），
（1）求式子中m、n的值；
（2）以上这种因式分解的方法叫试根法，用试根法分解多项式x3﹣2x2﹣13x﹣10的因式．
【分析】（1）根据（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，得出
有关m，n的方程组求出即可；
（2）由把x=﹣1代入x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值为0，则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，进而将多项式分解得出答案．
【解答】解：（1）方法一：因（x﹣2）（x2+mx+n）=x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2n，
=x3﹣5x2+x+10，（2分）
所以，
解得：m=﹣3，n=﹣5（5分），
方法二：在等式x3﹣5x2+x+10=（x﹣2）（x2+mx+n）中，
分别令x=0，x=1，
即可求出：m=﹣3，n=﹣5（注：不同方法可根据上面标准酌情给分）
（2）把x=﹣1代入x3﹣2x2﹣13x﹣10，得其值为0，
则多项式可分解为（x+1）（x2+ax+b）的形式，（7分）
用上述方法可求得：a=﹣3，b=﹣10，（8分）
所以x3﹣2x2﹣13x﹣10=（x+1）（x2﹣3x﹣10），（9分）
=（x+1）（x+2）（x﹣5）．（10分）
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据已知获取正确的信息，是近几年中考中热点题型同学们应熟练掌握获取正确信息的方法．
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