人教A版高中数学第一册(必修1)第二章 一元二次函数、方程和不等式章末复习

章末复习

1．设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)＜0}，集合B＝{x|1＜x＜3}，则A∪B＝( ) A．{x|－1＜x＜3} C．{x|1＜x＜2}

B．{x|－1＜x＜1} D．{x|2＜x＜3}

2．若a，b∈R，则下列命题正确的是( ) A．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞|b|，则a2＞b2

B．若|a|＞b，则a2＞b2 D．若a≠|b|，则a2≠b2

3．若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为(x1，x2)，且x2－x1＝15，则a等于( ) 5

A．

2

7

B．

2

15C． 4

15

D．

2

11

4．若＜＜0，有下面四个不等式：①|a|＞|b|，②a＜b，③a＋b＜ab，④a3＞b3，则不正确

ab的不等式的个数是( ) A．0

B．1

C．2

D．3

211

5．已知a＞0，b＞0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为( )

ab6A．8

B．7

C．6

D．5

6．一辆汽车原来每天行驶x km，如果该辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km，那么在8天内它的行程就超过2 200 km，写出不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12 km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为__________． 7．已知x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，则k的取值范围是________． 12

8．若实数a、b满足＋＝ab，则ab的最小值为________．

ab2x2

9．当x＞3时，求的取值范围．

x－3

10．已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a＋b＋c＞ab＋bc＋ca.

1

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ab·c≤1. 11．已知：a，b，c∈(0，＋∞)．求证：a＋b·b＋cc＋a8

12．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和1

营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元

61

作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少

5应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．

2

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——★ 参*考*答*案 ★——

1．A

『『解 析』』A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，∴A∪B＝{x|－1＜x＜3}． 2．C

『『解 析』』因为a＝1＞b＝－1, a2＝b2，所以A错；因为|a|＝1＞b＝－1, a2＝b2，所以B错；若a＞|b|，则a2＞|b|2＝b2，所以C对；因为a＝－1，b＝1, a≠|b|, a2＝b2，所以D错． 3．A

『『解 析』』由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0(a＞0)的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－58a2，故(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝. 24．C

11

『『解 析』』由＜＜0可得b＜a＜0，从而|a|＜|b|，①②均不正确；a＋b＜0，ab＞0，则a

ab＋b＜ab成立，③正确；a3＞b3，④正确. 5．C

215＋2a＋2b≥6×(5＋4)＝54(当且仅当a＝b时，取＋·『『解 析』』∵2a＋b＝6(2a＋b)＝6baab等号)．∴9m≤54，即m≤6. 6．8(x＋19)＞2 200

8x

＞9 x－12

『『解 析』』由题意知，汽车原来每天行驶x km,8天内它的行程超过2 200 km，则8(x＋19)＞

8x2 200.若每天行驶的路程比原来少12 km, 则原来行驶8天的路程就要用9天多，即＞

x－129.

7．k≥4或k≤2

『『解 析』』x＝1是不等式k2x2－6kx＋8≥0的解，把x＝1代入不等式得k2－6k＋8≥0，解得k≥4或k≤2. 8．22

1212『『解 析』』∵＋＝ab，∴a＞0，b＞0，∴ab＝＋≥2abab且仅当b＝2a时取等号)，所以ab的最小值为22. 9．解 ∵x＞3，∴x－3＞0.

12×＝2ab

2，∴ab≥22，(当ab

3

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2x22x－32＋12x－3＋1818∴＝＝2(x－3)＋＋12≥2x－3x－3x－318当且仅当2(x－3)＝，即x＝6时，等号成立．

x－310．证明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，

∴a＋b≥2ab＞0，b＋c≥2bc＞0，c＋a≥2ca＞0. ∴2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ca)， 即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.

由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a＋b＋c＞ab＋bc＋ca. 11．证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，

∴a＋b≥2ab＞0，b＋c≥2bc＞0，c＋a≥2ac＞0， ∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc＞0. abc1

∴≤， a＋bb＋cc＋a8ab·c≤1. 即a＋b·b＋cc＋a8当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

12．解 (1)设每件定价为t元，依题意，有『8－(t－25)×0.2』t≥25×8， 整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.

因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，当x＞25时，

11

不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，

6515011

等价于x＞25时，a≥＋x＋有解．

x651501

∵＋x≥2

x6∴a≥10.2.

因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元．

1501

·x＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)， x6

18

2x－3·＋12＝24.

x－3

4