位值原理与数的进制

5-7位置原理与数的进制

教学目标

本讲是数论知识体系中的两大基本问题，也是学好数论知识所必须要掌握的知识要点。通过本讲的学习，要求学生理解并熟练应用位值原理的表示形式，掌握进制的表示方法、各进制间的互化以及二进制与实际问题的综合应用。并学会在其它进制中位值原理的应用。从而使一些与数论相关的问题简单化。

知识点拨

一、位值原理

位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”，写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdefa×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+f。

二、数的进制

我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。

二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。 二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。 注意：对于任意自然数n，我们有n0=1。

n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。

进制间的转换：如右图所示。

八进制 十进制 二进制 十六进制

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模块一、位置原理

【例 1】 某三位数abc和它的反序数cba的差被99除，商等于______与______的差；

ab与ba的差被9除，商等于______与______的差； 【巩固】

ab与ba的和被11除，商等于______与______的和。 【巩固】

【例 2】 (美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位

数．如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？

【巩固】 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原

数大8802．求原来的四位数．

【巩固】 如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数

为“巧数”。例如，99就是一个巧数，因为9×9＋(9＋9)＝99。可以证明，所有的巧数都是两位数。请你写出所有的巧数。

【例 3】 (第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位

数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？

【巩固】 (迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6

个三位数中最小的三位数．

【巩固】 用1，9，7三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是多少？

【巩固】 从1～9九个数字中取出三个，用这三个数可组成六个不同的三位数。若这六个三位数之和是

3330，则这六个三位数中最小的可能是几？最大的可能是几？

【巩固】 a，b，c分别是09中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数

之和是2234，那么另一个三位数是几？

【例 4】 在两位自然数的十位与个位中间插入0～9中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两

page 2 of 5 位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。求出所有这样的三位数。

【巩固】 一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程碑

上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个0的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。

【巩固】 将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数．现有一个四位数码互不相同，且没

有0的四位数M，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338．求这个四位数．

【例 5】 已知abcdabcaba1370,求abcd.

【巩固】 (2008年清华附中考题)已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008，则所有这样的四位数

之和为多少．

【例 6】 有一个两位数，如果把数码3加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码3加写在它

的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码3，则可得到一个四位数．将这两个三位数和一个四位数相加等于3600．求原来的两位数．

【巩固】 如果把数码5加写在某自然数的右端，则该数增加A1111，这里A表示一个看不清的数码，求这

个数和A。

【巩固】 某八位数形如2abcdefg，它与3的乘积形如abcdefg4，则七位数abcdefg应是多少？

【例 7】 一个六位数abcdef，如果满足4abcdeffabcde，则称abcdef为“迎春数”(例如

4102564410256，则102564就是“迎春数”)．请你求出所有“迎春数”的总和．

【巩固】 (2008年“华杯赛”决赛)设六位数abcdef满足fabcdefabcdef，请写出这样的六位数．

【例 8】 记四位数abcd为X，由它的四个数字a,b,c,d组成的最小的四位数记为X，如果XX*999，

那么这样的四位数X共有_______个．

【例 9】 将4个不同的数字排在一起，可以组成24个不同的四位数(432124)．将这24个四位数

按从小到大的顺序排列的话，第二个是5的倍数；按从大到小排列的话，第二个是不能被4整

page 3 of 5 除的偶数；按从小到大排列的第五个与第二十个的差在3000～4000之间．求这24个四位数中最大的那个．

模块二、数的进制

【例 10】 ① (101)2(1011)2(11011)2________；

② (11000111）））2(101012(112(　　　）2； ③ (3021)4(605)7(　 　　)10；

④ (63121)8(1247)8(16034)8(26531)8(1744)8________； ⑤ 若(1030)n140，则n________．

【巩固】 ①567(　　　）8(　　　）5(　　　）2；

②在八进制中，1234456322________；

③在九进制中，1443831237120117705766________．

【例 11】 在几进制中有413100？

【巩固】 在几进制中有12512516324？

【巩固】 算式15342543214是几进制数的乘法？

【例 12】 将二进制数(11010.11)2 化为十进制数为多少？

【巩固】 二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？

【巩固】 将二进制数11101001.1011转换为十六进制数。

【巩固】 某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几?

【例 13】 现有1克，2克，4克，8克，16克的砝码各1枚，在天平上能称多少种不同重量的物体？

【例 14】 在6进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少?

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【巩固】 在7进制中有三位数abc，化为9进制为cba，求这个三位数在十进制中为多少？

【巩固】 一个人的年龄用十进制数和三进制数表示，若在十进制数末尾添个“0”就是三进制数，求此人

的年龄．

【巩固】 N是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数b，使得N是十进制整数的四次方．

【例 15】 试求(22006-1)除以992的余数是多少?

【巩固】 计算(320031)除以26的余数．

【巩固】 计算(220031)除以7的余数．

【巩固】 (2001年人大附中分班考试题)在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7的余

数为多少？

【例 16】 (2009年清华附中小升初入学测试题)已知正整数N的八进制表示为N(12345654321)8，那么在

十进制下，N除以7的余数与N除以9的余数之和是多少？

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