问题：
某银行经理计划用一笔资金进行有价证劵的投资，可供购进的证劵以及其信用等级，到期年限，收益如表所示。按照规定，市政证劵的收益可以免税，其他证劵的收益需按50％的税率纳税。除外还有以下限制： （1） 政府及代办机构的证劵总共至少要购进400万元。
（2） 所购证劵的平均信用等级不超过（信用等级数字越小，信用程度越
高）； （3） 所购证劵的平均到期年限步超过5年。 证劵名称 A B C D E 证劵种类 市政 代办机构 政府 政府 市政 信用等级 2 2 1 1 5 到期年限 9 15 4 3 2 到期税前收益% (1) 若该经理有1000万元资金，应如何投资 (2) 如果能够以%的利率借到不超过100万元资金，该经理该如何操作 (3) 在1000万元资金情况下，若证劵A的税前收益增加为%。投资应否改变若证劵C的税前收益减少为%，投资应否改变 问题分析：这个投资方案的目标是使获取的税后收益最大化，要做好决策应是用多少钱购买多少不同的证劵。此决策共受到四个条件的限制，资金总额必购证劵，信用等级，到期年限。按照题目将决策变量，目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来得到如下模型。 基本模型：
决策变量：设用x1万元购买A证劵，用x2万元购买B证劵，用x3万元购买C证劵，用x4万元购买D证劵，用x5万元购买E证劵。
目标函数：设总到期税后收益为Z万元，则由给出收益率可算出 Z= x1+ x2+ x3+ x4+ x5
约束条件：1.资金总额：所用投资金额不超过1000万元 。
即x1+ x2+ x3+ x4 +x5
10
2.必购证劵政府及代办机构的证劵总共至少购进400万元
即x2+ x3+ x44
3.信用等级：所购证劵的平均信用等级都不超过，即
4.到期年限：所购证劵的平均到期年限步超过5年，即
5.非负约束x1
x2
x3
x4
x5
为输入方便，将（3）（4）化简可得到该问题的基本模型 Max Z= x1+ x2+ x3+ x4+ x5 (1)
x1 +x2+ x3+ x4 +x510 (2) x2+ x3+ x4
4 (3) 6x1+ 6x2-4x3-4x4 +36x5
10 (4) 4x1+10 x2- x3-2x4 -3x510 (5) x1
x2
x3
x4
x5
模型求解：用LINGO软件求解 输入： model:
max= *x1+* x2+* x3+* x4+* x5 ; [money] x1+ x2+ x3+ x4 +x510;
[must] x2+ x3+ x4
4;
[credit] 6*x1+ 6*x2-4*x3-4*x4 +36*x50;
[time] 4*x1+10*x2-x3-2*x4 -3*x50 ;
end
得到如下输出:
Global optimal solution found. Objective value: Infeasibilities:
Total solver iterations: 5
Variable Value Reduced Cost X1 X2 X3 X4 X5
Row Slack or Surplus Dual Price 1 MONEY MUST CREDIT TIME
Ranges in which the basis is unchanged:
Objective Coefficient Ranges
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease X1
X2 INFINITY X3
X4 INFINITY X5
Righthand Side Ranges
Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease MONEY INFINITY MUST INFINITY CREDIT TIME
最优解为x1=,x2=0,x3=,x4=,x5=0;最优值为Z=;
即证劵A,C,E分别投资百万元，百万元，百万元，最大税后收益为百万元。 结果分析：
（1）由于输出结果中的影子价格可知资金每增加100万元，多获收益百万元。收差率为%大于%所以应进行投资，在上面约束条件的（2）右端约束改为小于11，lingo求解结果如下： Global optimal solution found. Objective value: Infeasibilities:
Total solver iterations: 5
Variable Value Reduced Cost X1 X2 X3 X4 X5
Row Slack or Surplus Dual Price 1 MONEY MUST CREDIT TIME
由输出结果可知，A,C,E分别投资百万元，百万元，百万元，最大收益为百万元 （2）由第一个输出结果可知A的系数允许变化范围，A得税前收益可增加% ，所以当证券A的税前收益增加到%，不应改变投资方案,由C的系数变化范围可知C的税前收益可减少% 。c最小可减少为%，当C的税前收益减少为%，应改变投资方案。 评注：
本题是在已知各收益率及条件基础下建立线性规划模型。用LINGO软件求解出收益最大化时的投资方案，而且利用其中影子价格和敏感性分析，可根据条件对投资方案进行调整。
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