实验二

【实验目的】

2.1 学习用窗函数法设计FIR数字滤波器的原理及其设计步骤 2.2 学习编写数字滤波器的设计程序的方法，并能进行正确编程 2.3 根据给定的滤波器指标，给出设计步骤 【实验原理】

如果系统的冲激响应hd(n)为已知，则系统的输入/输出关系为：

y(n)x(n)hd(n)

对于低通滤波器，只要设计出低通滤波器的冲激响应函数，就可以由上式得到系统的输出了。假设所希望的数字滤波器的频率响应为Hd(ejw)，它是频域的周期函数，周期为2，那么它与Hd(ejw)相对应的傅立叶系数为

hd(n)12Hd(ejw)ejnwdw

以hd(n)为冲激响应的数字滤波器将具有频域响Hd(ejw)。 但是将hd(n)作为滤波器脉冲响应有两个问题：

（1） 它是无限长的，与FIR滤波器脉冲响应有限长这一前提不一致 （2） 它是非因果的，hd(n)0,n0 对此，要采取以下的措施，

（1） 将hd(n)截短 （2）将其往右平移，

由此得到h2(n)的实际频域响应Hd(e)h2(n)ejnw，与理想频域响应Hd(ejw)jwn0N1相近，但不完全一致。理论证明上述现象是对hd(n)进行简单截短处理的必然结果，一般称为吉布斯现象，为尽可能的减少吉布斯现象，应对hd(n)进行加窗截取，即以h(n)hd(n)WN(n)作为FIR滤波器的系数。

常用的窗函数有矩形窗、海明窗和布莱克曼窗等。

（1）矩形窗（Rectangle Window） ：w=boxcar(n)，根据长度 n 产生一个矩形窗 w。

（2）三角窗（Triangular Window）：w=triang(n)，根据长度 n 产生一个三角窗 w。

（3）汉宁窗（Hanning Window）：w=hanning(n)，根据长度 n 产生一个汉宁窗 w。

（4）海明窗（Hamming Window）：w=hamming(n)，根据长度 n 产生一个海明窗 w。

（5）布拉克曼窗（Blackman Window）：w=blackman(n)，根据长度 n 产生一个布拉克曼窗 w。

（6）恺撒窗（Kaiser Window）：w=kaiser(n,beta)，根据长度 n 和影响窗函数旁瓣的β参数产生一个恺撒窗w。

用窗函数法设计FIR滤波器

Matlab设计FIR滤波器有多种方法和对应的函数，见表2－1。

表2－1 matlab设计FIR滤波器的方法和函数 方法 描述 函数 窗方法 使用窗函数和逆傅立叶变换实现 fir1,fir2,kaiserord等 多带方法 包含子带频率域 firls，remez等 最小二乘使用最小二乘法将整个频率域上的fircls ，fircls1等 法 错误几率压缩到最小 任意响应使用任意响应，包括非线性相位以cremez等 法 及复滤波器 余弦法 使用三角函数的低通响应 firrcos等 窗函数方法不仅在数字滤波器的设计中占有重要的地位，同时可以用于功率谱的估计，从根本上讲，使用窗函数的目的就是消除由无限序列的截短而引起的Gibbs现象所带来的影响。

窗函数设计线性相位FIR滤波器步骤如下：

（1） 确定数字滤波器的性能要求，临界频率{wk}，滤波器单位脉冲响应长

度N

（2） 根据性能要求，合理选择单位脉冲响应h(n)的奇偶对称性，从而确定

理想频率响应Hd(ejw)的幅频特性和相频特性

（3） 求理想单位脉冲响应hd(n)，在实际计算中，可对Hd(ejw)采样，并对

其求IDFT的hM(n)，用hM(n)代替hd(n)

（4） 选择适当的窗函数w（n），根据h(n)hd(n)WN(n)求所需设计的FIR

滤波器单位脉冲响应

（5） 求Hd(ejw)，分析其幅频特性，若不满足要求，可适当改变窗函数形

式或长度N，重复上述设计过程，以得到满意的结果 窗类型 矩形 Bartlrtt Hanning Hamming Blackman 最大旁瓣幅度过度带宽度 （相对值） -13 -25 -31 -41 -57 4π/N 8π/N 8π/N 8π/N 12π/N 最大逼近误差等效kaiser窗20log10δ(dB) -21 -25 -44 -53 -74 β 0 1.33 3.86 4.86 7.04

【实例2-1】 设计一个34阶的高通滤波器，截止频率为0.48，使用具有30dB

波纹的chebyshev窗。

解：源程序如下：

b=fir1(34,0.48,'high',chebwin(35,30));

freqz(b,1,512)

其响应波形如图2-1所示。

图2－1 带通FIR滤波器

【实例2-2】 设计具有下面指标的低通FIR滤波器

wp0.2,Rp0.25dB,ws0.3,AS50dB

由于其最小阻带衰减为50dB，因此可以选择hamming窗来实现这个滤波器，因为它具有较小的过渡带。

解：MATLAB源程序为 % 数字滤波器指标

wp=0.2*pi;

ws=0.3*pi; tr_width=ws-wp; M=ceil(8*pi/tr_width)+1; n=[0:1:M-1]; wc=(ws+wp)/2; hd=ideal_lp(wc,M);

% 生成hamming窗

w_ham=(hamming(M))';

% 频域图像的绘制

h=hd.*w_ham; freqz (h,[1]) figure(2);

subplot(2,2,1),stem(n,hd);title('理想脉冲响应') axis([0 M-1 -0.3 0.3]);xlabel('n');ylabel('hd(n)') xa=0.*n; hold on plot(n,xa,'k'); hold off

subplot(2,2,2),stem(n,w_ham);title('hamming窗') axis([0 M-1 -0.3 1.2]);xlabel('n');ylabel('w(n)')

subplot(2,2,3),stem(n,h);title('实际脉冲响应') axis([0 M-1 -0.3 0.3]);xlabel('n');ylabel('h(n)') hold on plot(n,xa,'k'); hold off

其响应波形如图2-2所示。

图2－2 hamming窗函数设计FIR滤波器

【实例2-3】设带通滤波器的指标为

wp10.35,wp20.8,ws10.2,ws20.65,As60dB选择Blackman窗来实现这个滤波器。 解：MATLAB源程序为

% 数字滤波器指标

ws1=0.2*pi; wp1=0.35*pi; ws2=0.65*pi; wp2=0.8*pi; As=60;

tr_width=min((wp1-ws1),(wp2-ws2)); M=ceil(12*pi/tr_width)+1; n=[0:1:M-1];

wc1=(ws1+wp1)/2; wc2=(ws2+wp2)/2;

hd=ideal_lp(wc2,M)-ideal_lp(wc1,M);

% 生成blackman窗 w_bla=(blackman(M))'; h=hd.*w_bla

% 频域图像的绘制 freqz(h,[1])

figure(2);

subplot(2,2,1),stem(n,hd);title('idael impulse response') axis([0 M-1 -0.4 0.5]);xlabel('n');ylabel('hd(n)') xa=0.*n; hold on

plot(n,xa,'k');

hold off

subplot(2,2,2),stem(n,w_bla);title('blackman window') axis([0 M-1 0 1.1]);xlabel('n');ylabel('w(n)')

subplot(2,2,3),stem(n,h);title('actual impulse response') axis([0 M-1 -0.4 0.5]);xlabel('n');ylabel('h(n)') hold on

plot(n,xa,'k'); hold off

其响应波形如图2-3所示。

图2－3 blackman窗函数设计FIR滤波器

【实验内容】

1. 利用hamming窗设计一个48阶的FIR带通滤波器，通带为Wn＝[0.35 0.65]。 2. 用矩形窗设计一个线性相位高通滤波器。其中

ej（w－），wcwHd(ejw)0，0wwc其中wc=0.65pi；