圆与直线方程较难题(供参考)

1、 已知两定点A（-2，0），B（1，0），如果动点P满足条件|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所

包围的图形的面积等于多少

2、 设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆

心到直线l:x2y0的距离为

5，求该圆的方程． 53、 已知圆C与两坐标轴的正半轴都相切，圆心C到直线y=-x的距离等于 2． 4、 （1）求圆C的方程；

5、 （2）若直线 l：xm+yn=1（m＞2，n＞2）与圆C相切，求mn的最小值．

6、 在平面直角坐标系xoy中，以C（1，-2）为圆心的圆与直线 x+y+32+1=0相切． （I）求圆C的方程；（II）是否存在斜率为1的直线l，使得以l被圆C截得的弦AB为直径

的圆过原点，若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由． 7、 已知圆C：x2+（y-2）2=5，直线l：mx-y+1=0．（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总

有两个不同交点；（2）若圆C与直线相交于点A和点B，求弦AB的中点M的轨迹方程．

8、 一动圆被两条直线x+2y=0，x-2y=0截得的弦长分别为6和2，求动圆圆心的轨迹方程． 9、 求过圆x2+y2+2x-4y+1=0和直线2x+y+4=0的交点，且面积最小的圆方程． 10、 已知过点A（-1，0）的动直线l与圆C：x2+（y-3）2=4相交于P，Q两点，M是

PQ

中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N． （1）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；

（2）当 PQ=23时，求直线l的方程； （3）探索 AM•AN是否与直线l的倾斜角有关？． 11、

为

已知圆M的圆心M在x轴上，半径为1，直线 l：y=

41x-，被圆M所截的弦长323，且圆心M在直线l的下方．

（I）求圆M的方程； （II）设A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值 12、

1、（2011•陕西）如图，设P是圆x+y=25上的动点，

22点D是P在x轴上的摄影，M为PD上一点，且|MD|= （Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程 （Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为13、

224|PD| 54的直线被C所截线段的长度． 5已知圆C：(x1)+y=8．

（1）求过点Q（3，0）的圆C的切线l的方程； （2）如图定点A（1，0），M为圆C上一动点，点P在AM上，点N 1

-

在CM上，且满足 AM=2AP，NP •AM=0，求N点的轨迹方程

1. P(x,y)

PA²=4PB²

所以(x+2)²+y²=4[(x-1)²+y²] x²+4x+4+y²=4x²-8x+4+4y² x²-4x+y²=0 (x-2)²+y²=4

2. 设圆心为P(a,b),半径为r,

则P到X轴、Y轴距离分别为|b|、|a|.

由题设知圆P截X轴所得劣弧所对的圆心角为90度,知圆P所截X轴所得的弦长为 (根2)*r,故 r^2=2b

又圆P截Y轴所得弦长为2,所以有 r^2=a^2+1 从而得 2b^2-a^2=1

又P(a,b)到直线x-2y=0的距离为 d=|a-2b|/根5

--->5d^2=a^2+4b^2-4ab>=a^2+4b^2-2(a^2+b^2)=2b^2-a^2=1 当a=b时上式等号成立, 此时,5d^2=1,从而d取得最小值. 由此有{a=b,2b^2-a^2=1} --->a=b=1,或a=b=-1 由于r^2=2b^2,则r=根2 于是,所求圆的方程是: (x-1)^2+(y-1)^2=2, 或(x+1)^2+(y+1)^2=2.

2

-

5.1证明：∵直线l：mx-y+1=0经过定点D（0，1）， 点D到圆心（0，1）的距离等于1 小于圆的半径5，

故定点（0，1）在圆的内部，故直线l与圆C总有两个不同交点．

2。联立直线方程与椭圆方程，再结合韦达定理以及弦长公式即可解决问题． 3设中点M（x，y），因为L：m（x-1）-（y-1）=0恒过定点P（1，1） ∴kAB=y-1/x-1，又kMC=y-1/x，kAB•KNC=-1， ∴y-1/x-1•y-1/x=-1， x2+y2-x-2y+1=0，

(x-1/2)2+(y-1)2=1/4，表示圆心坐标是（1/2，1），半径是1/2的圆；

9. (1)

L：y=(4/3)x-1/2 ， 即：4x-3y- 3/2=0 设圆心M(a，0)

弦长的一半为√3/2，半径r=1

∴M到直线L的距离d= √[r² - (√3/2)²]= 1/2 又：d=|4a - 3/2|/√(4²+3²) ∴d=|4a - 3/2|/5 =1/2 ∴a=1或 -1/4 即M(1，0)或(-1/4，0) 又∵M在直线L下方 ∴M(1，0)

即圆M：(x-1)²+y²=1 (2)

设AC斜率为k1，BC斜率为k2，则： 直线AC的方程为y=k1x+t，即k1x-y+t=0 直线BC的方程为y=k2x+t+6，即k2x-y+t+6=0 联立AC、BC，得：

3

-

C点的横坐标为 X(C)=6/(k1-k2) ∵|AB|=t+6-t=6

∴S=(1/2)·|AB|·|X(C)|=18/(k1-k2) (画个草图就知道k1＞k2，即k1-k2＞0) ∵AC、BC与圆M相切

∴圆心M到AC的距离 d1= |k1+t|/√(k1²+1) = r =1，解得k1=(1-t²)/(2t) 圆心M到BC的距离 d2= |k2+t+6|/√(k2²+1) = r =1，解得k2=[1-(t+6)²]/[2(t+6)] ∴k1-k2=(1-t²)/(2t) - [1-(t+6)²]/[2(t+6)] = 3(t²+6t+1)/(t²+6t) ∴S=18/(k1-k2) (已证) =6(t²+6t)/(t²+6t+1) =6(t² + 6t + 1 -1 )/(t²+6t+1) =6 [ 1 - 1/(t²+6t+1) ] ∵-5≤t≤-2 ∴-2≤t+3≤1 ∴0≤(t+3)²≤4

∴-8≤t²+6t+1＝ (t+3)²-8≤-4 ∴S(max)=6(1 + 1/4 )=15/2 S(min)=6(1 + 1/8)=27/4

4