一、选择题（共12小题）.
1．如图，张叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是（ ）
A．三角形的稳定性 C．垂线段最短
B．两点之间线段最短 D．对顶角相等
2．如图，在△ABC中，MN∥AC，BD⊥AC于点D，交MN于点E，则下列说法中，不正确的是（ ）
A．BD是△ABC的高 C．BE是△BMN的高
B．ME是△ABD的高 D．CD是△BCD的高
3．长为4，5，6，9的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（ ） A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
4．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
5．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
6．点P在∠MON的平分线上，点P到OM边的距离等于4，点Q是ON边上任意一点，下列关于线段PQ长度的描述正确的是（ ） A．PQ＜4
B．PQ≤4
C．PQ＞4
D．PQ≥4
7．若（2m﹣1）0＝1，则m的值为（ ） A．0
B．≠0
C．
D．
8．要使（6x﹣m）（3x+1）的结果不含x的一次项，则m的值等于（ ） A．2
B．3
C．0
D．1
9．下列说法：①全等三角形的对应边相等、对应角相等，②全等三角形的周长相等，③面积相等的两个三角形全等，④全等三角形对应边上的高相等，对应边上中线相等，对应角平分线相等．其中正确的说法为（ ） A．②③④
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
10．若x2+6x+p＝（x﹣q）2，则p，q的值分别为（ ） A．6，6
B．9，﹣3
C．3，﹣3
D．9，3
11．若22m+1+4m＝48，则m的值是（ ） A．4
B．3
C．2
D．8
12．如图，四边形纸片ABCD中，∠A＝65°，∠B＝85°，将纸片折叠，使C，D落在AB边上的C′，D′处，折痕为MN，则∠AMD′+∠BNC′＝（ ）
A．60° B．70° C．80° D．85°
二、填空题（共6小题）.
13．正n边形的一个外角为72°，则n的值是 ．
14．一个等腰三角形的两边长分别为4.6cm和9.2cm，则这个三角形的周长为 cm． 15．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 ．
16．已知am＝5，an＝8，那么am+n＝ ． 17．观察下列各式：1×3＝12+2×1 2×4＝22+2×2 3×5＝32+2×3 …
请你将猜想到的规律用自然数n（n≥1）表示出来 ．
18．已知点A，B的坐标分别为（2，2），（2，4），O是原点，以A，B，P为顶点的三角形与△ABO全等，写出所有符合条件的点P的坐标： ．
三、解答题（共8小题，共66分，解答应写出文字说明或演算步骤或推理过程） 19．因式分解： （1）9a3﹣ab2． （2）16m2﹣n2﹣6n﹣9． 20．化简求值： （1）计算：
．
（2）先化简，再求值：（m+2n）2+（m+n）（﹣m+n），其中m＝﹣1，n＝2． 21．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，∠B＝∠C．求证：DE＝DF．
22．一个多边形的外角和是其内角和的，求这个多边形的边数．
23．已知：如图，线段AB和射线AN交于点A，请你利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法）
（1）在射线AN上求作一点C，使BC＝BA；
（2）在线段AB上求作一点P，使点P到AC，BC的距离相等．
24．已知在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且满足等式a2+bc﹣ac﹣b2＝0，请判断△ABC的形状，并写出你的理由．
25．如图，AD是△ABC的角平分线，且AB＞AC，E为AD上任意一点， 求证：AB﹣AC＞EB﹣EC．
26．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论；
②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．如图，张叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是（ ）
A．三角形的稳定性 C．垂线段最短
B．两点之间线段最短 D．对顶角相等
解：张叔叔家的凳子坏了，于是他给凳子加了两根木条，这样凳子就比较牢固了，他所应用的数学原理是三角形的稳定性， 故选：A．
2．如图，在△ABC中，MN∥AC，BD⊥AC于点D，交MN于点E，则下列说法中，不正确的是（ ）
A．BD是△ABC的高 C．BE是△BMN的高
解：A、BD是△ABC的高，说法正确； B、ME不是△ABD的高，说法错误； C、BE是△BMN的高，说法正确； D、CD是△BCD的高，说法正确； 故选：B．
B．ME是△ABD的高 D．CD是△BCD的高
3．长为4，5，6，9的四根木条，选其中三根组成三角形，选法有（ ） A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
解：四根木条的所有组合：9，6，5和9，6，4和9，5，4和6，5，4； 根据三角形的三边关系，得能组成三角形的有9，6，5和9，6，4和6，5，4． 故选：C．
4．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形． 故选：D．
5．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
解：如图，∠1＝90°﹣60°＝30°， 所以，∠α＝45°+30°＝75°． 故选：C．
6．点P在∠MON的平分线上，点P到OM边的距离等于4，点Q是ON边上任意一点，下列关于线段PQ长度的描述正确的是（ ） A．PQ＜4
B．PQ≤4
C．PQ＞4
D．PQ≥4
解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于4， ∴点P到OB的距离为4， ∵点Q是OB边上的任意一点， ∴PQ≥4． 故选：D．
7．若（2m﹣1）0＝1，则m的值为（ ） A．0
B．≠0
C．
D．
解：（2m﹣1）0＝1， 则2m﹣1≠0， 解得：m≠． 故选：D．
8．要使（6x﹣m）（3x+1）的结果不含x的一次项，则m的值等于（ ） A．2
B．3
C．0
D．1
解：（6x﹣m）（3x+1） ＝18x2+6x﹣3mx﹣m ＝18x2+（6﹣3m）x﹣m ∵不含x的一次项， ∴6﹣3m＝0， ∴m＝2． 故选：A．
9．下列说法：①全等三角形的对应边相等、对应角相等，②全等三角形的周长相等，③面积相等的两个三角形全等，④全等三角形对应边上的高相等，对应边上中线相等，对应角平分线相等．其中正确的说法为（ ） A．②③④
B．①②③
C．①②④
D．①②③④
解：①全等三角形的对应边相等、对应角相等，正确； ②全等三角形的周长相等，正确；
③面积相等的两个三角形不一定全等，故③错误；
④全等三角形对应边上的高相等，对应边上中线相等，对应角平分线相等，正确． 故选：C．
10．若x2+6x+p＝（x﹣q）2，则p，q的值分别为（ ） A．6，6
B．9，﹣3
C．3，﹣3
D．9，3
解：x2+6x+p＝（x﹣q）2＝（x+3）2． 则p＝9，q＝﹣3， 故选：B．
11．若22m+1+4m＝48，则m的值是（ ） A．4
B．3
C．2
D．8
【解答】解；∵22m+1+4m＝22m+1+22m＝48， ∴（2+1）×22m＝3×24， 即3×22m＝3×24， ∴2m＝4， 解得m＝2． 故选：C．
12．如图，四边形纸片ABCD中，∠A＝65°，∠B＝85°，将纸片折叠，使C，D落在AB边上的C′，D′处，折痕为MN，则∠AMD′+∠BNC′＝（ ）
A．60° B．70° C．80° D．85°
解：由折叠可知：∠DMN＝∠D'MN，∠CNM＝∠C'NM， ∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠A＝65°，∠B＝85°， ∴∠C+∠D＝210°，
∵∠DMN+∠CNM+∠C+∠D＝360°， ∴∠DMN+∠CNM＝150°，
∵∠AMD′+∠BNC′+2∠DMN+2∠CNM＝2×180°＝360°， ∴∠AMD′+∠BNC′＝60°， 故选：A．
二、填空题：（本大题6小题，每小题3分，共18分，请将正确的答案填写在相应题中的横线上）
13．正n边形的一个外角为72°，则n的值是 5 ． 解：n＝360°÷72°＝5， 故答案为5．
14．一个等腰三角形的两边长分别为4.6cm和9.2cm，则这个三角形的周长为 23 cm． 解：（1）当三边是4.6cm，4.6cm，9.2cm时，4.6+4.6＝9.2cm，不符合三角形的三边关系，
应舍去；
（2）当三边是4.6cm，9.2cm，9.2cm时，符合三角形的三边关系，此时周长为23cm； 所以这个三角形的周长为23cm． 故答案为：23．
15．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 42 ．
解：
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC， ∴OE＝OD，OD＝OF， 即OE＝OF＝OD＝4，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC ＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD ＝×4×（AB+AC+BC） ＝×4×21＝42， 故答案为：42．
16．已知am＝5，an＝8，那么am+n＝ 40 ． 解：∵am＝5，an＝8， ∴am+n ＝am•an ＝5×8 ＝40，
故答案为：40
17．观察下列各式：1×3＝12+2×1 2×4＝22+2×2 3×5＝32+2×3 …
请你将猜想到的规律用自然数n（n≥1）表示出来 n（n+2）＝n2+2n ． 解：n（n+2）＝n2+2n．
18．已知点A，B的坐标分别为（2，2），（2，4），O是原点，以A，B，P为顶点的三角 形与△ABO全等，写出所有符合条件的点P的坐标： （4，0）或（4，6）或（0，6） ．解：如图所示，以A、B、P为顶点的三角形与△ABO全等，
当△ABO≌△ABP1，点P1在x轴上， ∴P1（4，0），
当△ABO≌△BAP2，点P2在第一象限， ∴P2（4，6），
当△ABO≌△BAP3，点P3在y轴上， ∴P3（0，6），
综合以上可得，点P的坐标为（4，0）或（4，6）或（0，6）． 故答案为：（4，0）或（4，6）或（0，6）．
三、解答题：（本大题共8小题，共66分，解答应写出文字说明或演算步骤或推理过程） 19．因式分解： （1）9a3﹣ab2． （2）16m2﹣n2﹣6n﹣9． 解：（1）9a3﹣ab2
＝a（9a2﹣b2）
＝a（3a+b）（3a﹣b）；
（2）16m2﹣n2﹣6n﹣9 ＝16m2﹣（n2+6n+9） ＝16m2﹣（n+3）2
＝（4m+n+3）（4m﹣n﹣3）． 20．化简求值： （1）计算：
．
（2）先化简，再求值：（m+2n）2+（m+n）（﹣m+n），其中m＝﹣1，n＝2． 解：（1）原式＝a3b2c÷（﹣a2b2c）﹣a2b2c2÷（﹣a2b2c） ＝﹣a+c；
（2）（m+2n）2+（m+n）（﹣m+n） ＝m2+4mn+4n2+n2﹣m2 ＝4mn+5n2，
当m＝﹣1，n＝2时，原式＝4×（﹣1）×2+5×22＝12．
21．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，∠B＝∠C．求证：DE＝DF．
【解答】证明：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在△DEB和△DFC中，
，
∴△DEB≌△DFC（AAS）， ∴DE＝DF．
22．一个多边形的外角和是其内角和的，求这个多边形的边数． 解：设这个多边形的边数为n， 依题意得：（n﹣2）180°＝360°， 解得n＝9，
答：这个多边形的边数为9．
23．已知：如图，线段AB和射线AN交于点A，请你利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法）
（1）在射线AN上求作一点C，使BC＝BA；
（2）在线段AB上求作一点P，使点P到AC，BC的距离相等．
解：（1）如图，点C为所作； （2）如图，点P为所作．
24．已知在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且满足等式a2+bc﹣ac﹣b2＝0，请判断△ABC的形状，并写出你的理由． 解：△ABC是等腰三角形， 理由：∵a2+bc﹣ac﹣b2＝0 ∴a2﹣b2+bc﹣ac＝0，
∴（a+b）（a﹣b）+c（b﹣a）＝0， ∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0， ∵a+b＞0即a+b﹣c≠0， 故a﹣b＝0，即a＝b， ∴△ABC是等腰三角形．
25．如图，AD是△ABC的角平分线，且AB＞AC，E为AD上任意一点， 求证：AB﹣AC＞EB﹣EC．
【解答】证明：如图，在AB上截取AF＝AC，连接EF，
∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠FAE＝∠CAE， 在△AEF与△AEC中， ∵
，
∴△AEF≌△AEC（SAS）， ∴EF＝EC，
在△BEF中，EB﹣EF＜BF， 而BF＝AB﹣AF＝AB﹣AC， ∴EB﹣EC＜AB﹣AC， 即AB﹣AC＞EB﹣EC．
26．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；
（3）如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． ①试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论；
②你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．
解：（1）BD＝AC，BD⊥AC， 理由是：延长BD交AC于F．
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°， 在△BED和△AEC中，
，
∴△BED≌△AEC，
∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE， ∵∠BED＝90°， ∴∠EBD+∠BDE＝90°， ∵∠BDE＝∠ADF，
∴∠ADF+∠CAE＝90°， ∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°， ∴BD⊥AC； （2）不发生变化．
理由：∵∠BEA＝∠DEC＝90°， ∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED， ∴∠BED＝∠AEC， 在△BED和△AEC中，
，
∴△BED≌△AEC，
∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE， ∵∠DEC＝90°， ∴∠ACE+∠EOC＝90°， ∵∠EOC＝∠DOF， ∴∠BDE+∠DOF＝90°， ∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°， ∴BD⊥AC；
（3）①如图3中，结论：BD＝AC，
理由是：∵△ABE和△DEC是等边三角形，
∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°， ∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED， ∴∠BED＝∠AEC， 在△BED和△AEC中，
，
∴△BED≌△AEC， ∴BD＝AC．
②能．∵△ABE和△DEC是等边三角形，
∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°， ∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED， ∴∠BED＝∠AEC， 在△BED和△AEC中，
，
∴△BED≌△AEC， ∴∠BDE＝∠ACE，
∴∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF） ＝180°﹣（∠ACE+∠EDC+∠DCF） ＝180°﹣（60°+60°）
＝60°，即BD与AC所成的角的度数为60°或120°．
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