材料力学答案第三版单辉祖.

2-1

2-2 试画图示各杆的轴力图。

题2-1图

解：各杆的轴力图如图2-1所示。

图2-1

2-2试画图示各杆的轴力图，并指出轴力的最大值。图a与b所示分布载荷均沿杆轴

均匀分布，集度为q。

(a)解：由图2-2a(1)可知，

题2-2图

FN(x)2qaqx

1

轴力图如图2-2a(2)所示，

FN,max2qa

(b)解：由图2-2b(2)可知，

轴力图如图2-2b(2)所示，

图2-2a

FRqa

FN(x1)FRqa

FN(x2)FRq(x2a)2qaqx2

FN,maxqa

图2-2b

2-3 图示轴向受拉等截面杆，横截面面积A=500mm，载荷F=50kN。试求图示斜截

2

面m-m上的正应力与切应力，以及杆内的最大正应力与最大切应力。

题2-3图

解：该拉杆横截面上的正应力为

F50103Nσ1.00108Pa100MPa －62A50010m 2

斜截面m-m的方位角α50，故有

σσcos2α100MPacos2(50)41.3MPa

σταsin2α50MPasin(100)49.2MPa

2杆内的最大正应力与最大切应力分别为

σmaxσ100MPa

τmaxσ50MPa 22-5 某材料的应力-应变曲线如图所示，图中还同时画出了低应变区的详图。试确定

材料的弹性模量E、比例极限p、屈服极限s、强度极限b与伸长率，并判断该材料属于何种类型（塑性或脆性材料）。

题2-5

解：由题图可以近似确定所求各量。

该材料属于塑性材料。

Δσ220106PaE220109Pa220GPa

Δε0.001σp220MPa, σs240MPa

σb440MPa, δ29.7%

2-7 一圆截面杆，材料的应力-应变曲线如题2-6图所示。若杆径d =10mm，杆长

l =200mm，杆端承受轴向拉力F = 20kN作用，试计算拉力作用时与卸去后杆的轴向变形。

3

题2-6图

F420103N8σ2.5510Pa255MPa 解：

Aπ0.0102m2查上述σε曲线，知此时的轴向应变为

ε0.00390.39%

轴向变形为

拉力卸去后，有

故残留轴向变形为

Δllε(0.200m)0.00397.8104m0.78mm

εe0.00364， εp0.00026

Δllεp(0.200m)0.000265.2105m0.052mm

2-9 图示含圆孔板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F =32kN，板宽b =100mm，

板厚15mm，孔径d =20mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。

题2-9图

解：根据

查应力集中因数曲线,得

根据 得

d/b0.020m/(0.100m)0.2

K2.42

σnσF， Kmax

(bd)δσn 4

KF2.4232103NσmaxKσn＝6.45107Pa64.5MPa 2(bd)δ(0.100－0.020)0.015m2-10 图示板件，承受轴向载荷F作用。已知载荷F=36kN，板宽b=90mm，b=60mm，

1

2

板厚=10mm，孔径d =10mm，圆角半径R =12mm。试求板件横截面上的最大拉应力（考虑应力集中）。

题2-10图

解：1.在圆孔处

根据

查圆孔应力集中因数曲线，得 故有

d0.010m0.1111 b10.090mK12.6

K1F2.636103N8σmaxK1σn11.1710Pa117MPa 2(b1－d)δ(0.090－0.010)0.010m2．在圆角处

根据

Db10.090m1.5 db20.060mRR0.012m0.2 db20.060m查圆角应力集中因数曲线，得 故有

3. 结论

K21.74

K2F1.7436103N8σmaxK2σn21.0410Pa104MPa

b2δ0.0600.010m2σmax117MPa（在圆孔边缘处）

图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆的横截面面积均为A，许用应力均为

2-14

[]，试确定载荷F的许用值[F]。

5

题2-14图

解：先后以节点C与B为研究对象，求得各杆的轴力分别为

FN12F FN2FN3F

根据强度条件，要求 由此得

2F[] A[F][]A 22-15 图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[]。若在节点B和C的位

置保持不变的条件下，试确定使结构重量最轻的值（即确定节点A的最佳位置）。

题2-15图

解：1.求各杆轴力

设杆AB和BC的轴力分别为FN1和FN2，由节点B的平衡条件求得

2.求重量最轻的值

由强度条件得

FN1F， FN2Fctanα sinαA1FF， A2ctanα

[σ]sin[σ] 6

结构的总体积为

由

得

VA1l1A2l2FlFlFl2ctanα(ctanα)

[σ]sinαcosα[σ][σ]sin2αdV0 dα3cos2α10

由此得使结构体积最小或重量最轻的α值为

αopt5444

2-16 图示桁架，承受载荷F作用，已知杆的许用应力为[]。若节点A和C间的指

定距离为 l，为使结构重量最轻，试确定的最佳值。

题2-16图

解：1.求各杆轴力

由于结构及受载左右对称，故有

2.求的最佳值 由强度条件可得

结构总体积为

由 得

由此得的最佳值为

cos2θ0

FN1FN2F 2sinθA1A2F

2[σ]sinθV2A1l1FlFl

[σ]sinθ2cosθ[σ]sin2θdV0 dθθopt45

7

2-17

图示杆件，承受轴向载荷F作用。已知许用应力[]＝120MPa，许用切应力[]

＝90MPa，许用挤压应力[bs]＝240MPa，试从强度方面考虑，建立杆径d、墩头直径D及其高度h间的合理比值。

题2-17图

解：根据杆件拉伸、挤压与剪切强度，得载荷F的许用值分别为

理想的情况下，

πd2[F]t[]

4π(D2d2)[F]b[bs]

4(a) (b) (c)

[F]sπdh[]

[F]t[F]b[F]s

在上述条件下，由式（a）与（c）以及式（a）与（b），分别得

[]hd

4[] 于是得 由此得

D1[]d []bsD:h:d1[][]::1 []bs4[]D:h:d1.225:0.333:1

1

2

1

2

2-18 图示摇臂，承受载荷F与F作用。已知载荷F=50kN，F=35.4kN，许用切

应力[]=100MPa，许用挤压应力[bs]=240MPa。试确定轴销B的直径d。

8

题2-18图

解：1. 求轴销处的支反力

由平衡方程Fx0与Fy0，分别得

由此得轴销处的总支反力为

FBxF1F2cos4525kN

FByF2sin4525kN

FB252252kN35.4kN

2.确定轴销的直径

由轴销的剪切强度条件（这里是双面剪）

得

τFs2FB[τ] Aπd22FB235.4103dm0.015m 6[τ]10010由轴销的挤压强度条件

得

σbsFbFB[σbs] ddFB35.4103dm0.01475m

δ[σbs]0.010240106结论：取轴销直径d0.015m15mm。

2-19图示木榫接头，承受轴向载荷F = 50 kN作用，试求接头的剪切与挤压应力。

解：剪应力与挤压应力分别为

题2-19图

50103N5 MPa

(0.100m)(0.100m)50103Nbs12.5 MPa

(0.040m)(0.100m)

9

2-20图示铆接接头，铆钉与板件的材料相同，许用应力[] =160MPa，许用切应力

[] = 120 MPa，许用挤压应力[bs ] = 340 MPa，载荷F = 230 kN。试校核接头的强度。

解：最大拉应力为

题2-20图

230103Nmax153.3 MPa 2(0.1700.020)(0.010)(m)最大挤压与剪切应力则分别为

230103Nbs230 MPa

5(0.020m)(0.010m)

4230103N146.4 MPa

5π(0.020m)22-21 图示两根矩形截面木杆，用两块钢板连接在一起，承受轴向载荷F = 45kN作

用。已知木杆的截面宽度b =250mm，沿木纹方向的许用拉应力[]=6MPa，许用挤压应力

[bs]=10MPa，许用切应力[]=1MPa。试确定钢板的尺寸与l以及木杆的高度h。

题2-21图

解：由拉伸强度条件 得

由挤压强度条件

σF[σ]

b(h2δ)F45103h2δm0.030m

b[σ]0.2506106（a）

10

得

σbsF[σbs] 2bδF45103δm0.009m9mm 62b[σbs]20.2501010（b）

由剪切强度条件 得

F45103lm0.090m90mm 62b[]20.250110τF[τ] 2bl取δ0.009m代入式（a），得

h(0.03020.009)m0.048m48mm

结论：取

δ9mm，l90mm，h48mm。

2-22 图示接头，承受轴向载荷F作用。已知铆钉直径d=20mm，许用应力

[]=160MPa，许用切应力[]=120MPa，许用挤压应力[bs]=340MPa。板件与铆钉的材料相同。试计算接头的许用载荷。

题2-22图

解：1.考虑板件的拉伸强度 由图2-22所示之轴力图可知，

FN1F， FN23F/4 σ1FN1F[σ] A1(bd)δ

F(bd)δ[σ](0.200-0.020)0.015160106N4.32105N432kN

σ2FN23F[σ] A24(b2d)δ

44F(b2d)δ[σ](0.2000.040)0.015160106N5.12105N512kN

33 11

2.考虑铆钉的剪切强度

图2-22

FsF 8τFs4F[τ] 2A8πdF2πd2[τ]2π0.0202120106N3.02105N302kN

3．考虑铆钉的挤压强度

Fb

bs

F4

FbF[bs] d4 dF4d[σbs]40.0150.020340106N4.08105N408kN

结论：比较以上四个F值，得

[F]302kN

2-23 图a所示钢带AB，用三个直径与材料均相同的铆钉与接头相连接，钢带承受

轴向载荷F作用。已知载荷F=6kN，带宽b=40mm，带厚=2mm，铆钉直径d=8mm，孔的边距a=20mm，钢带材料的许用切应力[]=100MPa，许用挤压应力[bs]=300MPa，许用拉应力 []=160MPa。试校核钢带的强度。

解：1．钢带受力分析

题2-23图

12

分析表明，当各铆钉的材料与直径均相同，且外力作用线在铆钉群剪切面上的投影， 通过该面的形心时，通常即认为各铆钉剪切面的剪力相同。

铆钉孔所受挤压力Fb等于铆钉剪切面上的剪力，因此，各铆钉孔边所受的挤压力Fb相同，钢带的受力如图b所示，挤压力则为

F6103NFb2.0103N

33孔表面的最大挤压应力为

Fb2.0103Nbs1.25108Pa125MPa[bs]

d(0.002m)(0.008m) 在挤压力作用下，钢带左段虚线所示纵截面受剪（图b），切应力为

Fb2.0103N2.5107Pa25MPa[]

2a2(0.002m)(0.020m)钢带的轴力图如图c所示。由图b与c可以看出，截面1-1削弱最严重，而截面2-2的轴力最大，因此，应对此二截面进行拉伸强度校核。

截面1-1与2-2的正应力分别为

FN12F2(6103N)183.3MPa

A13(b2d)3(0.040m20.008m)(0.002m)FN2F6103N293.8MPa

A2(bd)(0.040m0.008m)(0.002m)

13

第三章 轴向拉压变形

3-2 一外径D=60mm、内径d=20mm的空心圆截面杆，杆长l = 400mm，两端承受轴

向拉力F = 200kN作用。若弹性模量E = 80GPa，泊松比=0.30。试计算该杆外径的改变量D及体积改变量V。

解：1. 计算D 由于 故有

εFFΔD ， εEADEA

4FD40.302001030.060ΔDεDm22922EAEπ(Dd)8010π(0.0600.020）

FD 1.79105m0.0179mm2.计算V

变形后该杆的体积为 故有

3Fl200100.4003ΔVVVV(ε2ε)(12μ)m(120.3)9 E8010 4.00107m3400mm3πVlA(ll)[(DεD)2(dεd)2]Al(1ε)(1ε)2V(1ε2ε)

43-4 图示螺栓，拧紧时产生l=0.10mm的轴向变形。已知：d = 8.0mm，d = 6.8mm，

1

2

d3 = 7.0mm；l1=6.0mm，l2=29mm，l3=8mm；E = 210GPa，[]=500MPa。试求预紧力F，并校核螺栓的强度。

题3-4图

解：1.求预紧力F 各段轴力数值上均等于F，因此， 由此得

ΔlllFl1l2l34Fl1()(22232) EA1A2A3πEd1d2d3 14

πEΔlπ2101090.10103FN1.865104N18.65kN

l0.0060.0290.008ll)4(122232)4(220.0080.00680.0072d1d2d32.校核螺栓的强度

F4F418.65103N8σmax25.1410Pa514MPa

Aminπd2π0.00682m2此值虽然超过[σ]，但超过的百分数仅为2.6％，在5％以内，故仍符合强度要求。

3-5 图示桁架，在节点A处承受载荷F作用。从试验中测得杆1与杆2的纵向正应

-4

ε2= 2.0×10-4。已知杆1与杆2的横截面面积A1= A2=200mm2，弹性变分别为ε1= 4.0×10与

模量E1= E2=200GPa。试确定载荷F及其方位角之值。

题3-5图

解：1.求各杆轴力

FN1E1ε1A12001094.0104200106N1.6104N16kN FN2E2ε2A22001092.0104200106N8103N8kN

2.确定F及θ之值

由节点A的平衡方程Fx0和Fy0得

化简后，成为 及

FN2sin30FsinθFN1sin300 FN1cos30FN2cos30Fcosθ0

FN1FN22Fsinθ

(a)

15

联立求解方程(a)与(b)，得 由此得

3(FN1FN2)2Fcosθ

(b)

FN1FN2(168)103tanθ0.1925 33(FN1FN2)3(168)10θ10.8910.9

FN1FN2(168)103FN2.12104N21.2kN 2sinθ2sin10.893-6

图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为，长度为l，左、右端

的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E。试计算板的轴向变形。

题3-6图

解：对于常轴力变截面的拉压平板，其轴向变形的一般公式为

llFFΔldxdx

0EA(x)0Eb(x) (a)

由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的宽度为

代入式(a)，于是得

b(x)b1b2b1x lΔlb2Fl1Fl dxln0bbEδb21xEδ(b2b1)b11l3-7 图示杆件，长为l，横截面面积为A，材料密度为，弹性模量为E，试求自重

下杆端截面B的位移。

16

题3-7图

解：自截面B向上取坐标y，y处的轴力为

该处微段dy的轴向变形为

于是得截面B的位移为

FNgAy

dΔygAyEA ldygyEdy

ΔCygE 0ydygl22E ()

3-8 图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩擦力所支

持。设沿地桩单位长度的摩擦力为f，且f = ky2，式中，k为常数。已知地桩的横截面面积为A，弹性模量为E，埋入土中的长度为l。试求地桩的缩短量。

题3-8图

解：1. 轴力分析

摩擦力的合力为

根据地桩的轴向平衡，

由此得

截面y处的轴力为

Fy lkl3fdykydy

03 l2kl3F 3k3F l3 y2（a）

FN y 0ky3fdykydy

032. 地桩缩短量计算

截面y处微段dy的缩短量为

17

积分得

将式(a)代入上式，于是得

dδFNdy EAFNdyk l3kl4δydy

0EA3EA 012EA lδFl 4EA3-9 图示刚性横梁AB，由钢丝绳并经无摩擦滑轮所支持。设钢丝绳的轴向刚度（即

产生单位轴向变形所需之力）为k，试求当载荷F作用时端点B的铅垂位移。

题3-9图

解：载荷F作用后，刚性梁AB倾斜如图(见图3-9)。设钢丝绳中的轴力为FN，其总伸长为Δl。

图3-9

以刚性梁为研究对象，由平衡方程MA0得 由此得

由图3-9可以看出， 可见，

根据k的定义，有

FNaFN(ab)F(2ab)

FNF

y (2ab)

ΔlΔy1Δy2a(ab)(2ab)

ΔyΔl

(b)

18

于是得

FNkΔlkΔy

ΔyFNF kk3-10 图示各桁架，各杆各截面的拉压刚度均为EA，试计算节点A的水平与铅垂

位移。

题3-10图

（a）解：

利用截面法，求得各杆的轴力分别为

FN1FN2F （拉力）

FN42F （压力）FN30

于是得各杆的变形分别为

l1l2l4Fl (伸长) EA2F2l2Fl＝ (伸长) EAEAl30

如图3－10(1)所示，根据变形l1与l4确定节点B的新位置B’,然后，过该点作长为l+l2

的垂线，并过其下端点作水平直线，与过A点的铅垂线相交于A’,此即结构变形后节点A的新位置。

于是可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为

ΔAx0

ΔAyl12l4l2Fl2FlFlFl 2212EAEAEAEA 19

图3-10

（b）解：显然，杆1与杆2的轴力分别为

FN1F （拉力）

FN20

于是由图3－10(2)可以看出，节点A的水平与铅垂位移分别为

Fl EAFl ΔAyl1EAΔAxl13-11 图示桁架ABC，在节点B承受集中载荷F作用。杆1与杆2的弹性模量均为E，

横截面面积分别为A1=320mm2与A2 =2 580mm2。试问在节点B和C的位置保持不变的条件下，为使节点B的铅垂位移最小，应取何值（即确定节点A的最佳位置）。

题3-11图

解：1.求各杆轴力 由图3-11a得

FN1F， FN2Fctanθ sinθ 20

2.求变形和位移 由图3-11b得 及

3.求θ的最佳值 由dΔBy/dθ0，得 由此得

图3-11

Δl1FN1l1Fl2Fl2Flctanθ， Δl2＝N222 EA1EA1sin2θEA2EA2Δl1Δl2Fl22ctan2θΔBy()

sinθtanθEA1sin2θsinθA22(2cos2θsinθcosθsin2θ)2ctanθcsc2θ0 22A1A2sin2θsinθ2A1cos3θA2(13cos2θ)0

将A1与A2的已知数据代入并化简，得

cos3θ12.09375cos2θ4.031250

cosθ0.564967

解此三次方程，舍去增根，得

由此得θ的最佳值为

θopt55.6

3-12 图示桁架，承受载荷F作用。设各杆的长度为l，横截面面积均为A，材料的

应力应变关系为n=B，其中n与B为由试验测定的已知常数。试求节点C的铅垂位移。

21

解：两杆的轴力均为

轴向变形则均为

于是得节点C的铅垂位移为

题3-12图

FNF 2cosnFllll 2AcosBBnlFnlΔCy

cos2nAnBcosn13-13 图示结构，梁BD为刚体，杆1、杆2与杆3的横截面面积与材料均相同。在

梁的中点C承受集中载荷F作用。已知载荷F = 20kN，各杆的横截面面积均为A=100mm2，弹性模量E = 200GPa，梁长l = 1 000mm。试计算该点的水平与铅垂位移。

题3-13图

解：1.求各杆轴力 由Fx0，得

由Fy0，得

2．求各杆变形

FN20

FN1FN3F10kN 2 22

Δl20

FN1l101031.000-4Δl1m5.010m0.50mmΔl3

EA2001091001063．求中点C的位移 由图3-13易知，

图3-13

ΔxΔl10.50mm()， ΔyΔl10.50mm()

3-14 图a所示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试求节

点B与C间的相对位移B/C。

题3-14图

解：1. 内力与变形分析

利用截面法，求得各杆的轴力分别为

FN1FN2FN3FN4F （拉力）2FN5F （压力）

于是得各杆得变形分别为

l1l2l3l4Fl (伸长) 2EA 23

l5 2. 位移分析

F2l2Fl (缩短) EAEA如图b所示，过d与g分别作杆2与杆3的平行线，并分别与节点C的铅垂线相交于e与h，然后，在de与gh延长线取线段l3与l2，并在其端点m与n分别作垂线，得交点C’，即为节点C的新位置。

可以看出，

l52FlFl22Fl ΔB/C2CiiC'22l322EA22EA2EA3-15 如图所示桁架，设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法求载荷作用点

沿载荷作用方向的位移。

题3-15图

(a)解：各杆编号示如图3-15a，各杆轴力依次为

该桁架的应变能为

2FN112212F2l221iliVε(Fl2Fl)()

2EA2EA2242EA4i13FN1221F， FN2F， FN3F 222

依据能量守恒定律，

图3-15

FΔVε 2 24

最后得

2F2l221(221)FlΔ() ()

F2EA44EA(b)解：各杆编号示如图b 列表计算如下：

i 1 2 3 4 5 FNi F 0 F F 2F li l l l l 2l 2FNili F2l 0 F2l F2l 22F2l 于是，

依据能量守恒定律， 可得

(322)F2l 2FN(322)F2liliVε

2EA2EAi15FΔVε 2Δ(322)Fl ()

EA3-16 图示桁架，承受载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度均为EA，试用能量法

求节点B与C间的相对位移B/C。

题3-16图

解：依据题意，列表计算如下：

i 1 2 FNi 2F/2 2F/2 li l l 2FNili F2l/2 F2l/2 25

3 4 5 2F/2 2F/2 l l F 2l F2l/2 F2l/2 2F2l 

由表中结果可得

依据 得

(22)F2l 2FN(22)F2liliVε

2EAi12EA5WV

ΔB/C(22)Fl ()

EA3-17 图示变宽度平板，承受轴向载荷F作用。已知板的厚度为，长度为l，左、右

端的宽度分别为b1与b2，弹性模量为E，试用能量法计算板的轴向变形。

题3-17图

解：对于变截面拉压板件，应变能的表达式为

22lFNFNVdxdx

02EA(x)02Eb(x)l(a)

由图可知，若自左向右取坐标x，则该截面的宽度为

b(x)b1b2b1x l将上式代入式（a）,并考虑到FNF,于是得

b1F2F2l Vεdxln2

02Ebb2Eδ(b2b1)b1δb121xl设板的轴向变形为l，则根据能量守恒定律可知，

l 或

FΔlVε 2bFΔlF2lln2 22Eδ(b2b1)b1 26

由此得

ΔlbFlln2

Eδ(b2b1)b13-19 图示各杆，承受集中载荷F或均布载荷q作用。各杆各截面的的拉压刚度均

为EA，试求支反力与最大轴力。

题3-19图 (a)解：杆的受力如图3-19a(1)所示，平衡方程为

F0, FFFxAxFBx0

一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。

AC，CD与DB段的轴力分别为 由于杆的总长不变，故补充方程为

图3-19a

FN1FAx, FN2FAxF, FN3FAx2F

l得

FAxaFAxFaFAx2Fa0 EAEAEAFAxF0

由此得

FAxF

FBx2FFAxF

杆的轴力图如3-19a(2)所示，最大轴力为

27

FN,maxF

(b)解：杆的受力如图3-19b(1)所示，平衡方程为

Fx0, qaFAxFBx0

一个平衡方程，两个未知支反力，故为一度静不定。

AC与CB段的轴力分别为 由于杆的总长不变，故补充方程为

图3-19b

FN1FAx, FN2FAxqx

l得

FAxa1aFAxqxdx0 0EAEAqa212FAxa0 EA2由此得

FAxqa 4FBxqaFAx杆的轴力图如3-19b(2)所示，最大轴力为

3qa 4FNmax3qa 43-20

图示结构，杆1与杆2的横截面面积相同，弹性模量均为E，梁BC为刚体，

载荷F=20kN，许用拉应力[t]=160MPa, 许用压应力[c]=110MPa，试确定各杆的横截面面积。

28

题3-20图

解：容易看出，在载荷F作用下，杆2伸长，杆1缩短，且轴向变形相同，故FN2为拉力， FN1为压力，且大小相同，即

FN2FN1

以刚性梁BC为研究对象，铰支点为矩心，由平衡方程

M0, FN2aFN1aF2a0

由上述二方程，解得

FN2FN1F

根据强度条件，

FN120103NA11.818104m2 6[c]11010PaFN220103N42A21.2510m 6[t]16010Pa取

A1A2182mm2

3-21 图示桁架，承受铅垂载荷F作用。设各杆各截面的拉压刚度相同，试求各杆轴

力。

题3-21图

(a)解：此为一度静不定桁架。

设FN,AB以压为正，其余各段轴力以拉力为正。先取杆AB为研究对象，由Fy0，得

FN,BCFN,ABF

(a)

后取节点A为研究对象，由Fx0和Fy0依次得到

29

及

FN,ADFN,AG

(b)

2FN,ADcos45FN,AB

在节点A处有变形协调关系（节点A铅垂向下）

(c)

物理关系为

ΔlBCΔlABΔlAD2ΔlAD cos45FN,AD2lEA(d)

ΔlBCFN,BClEA， ΔlABFN,ABlEA， ΔlADΔlAG

(e)

将式(e)代入式(d)，化简后得

FN,BCFN,AB2FN,AD

(c)和(d)，得 联解方程(a)，(d)

21222F（拉）F（压）F（拉） ， FN,AB， FN,ADFN,AG222(b)解：此为一度静不定问题。 FN,BC考虑小轮A的平衡，由Fy0，得 由此得

FN1sin45F0

FN12F

在F作用下，小轮A沿刚性墙面向下有一微小位移，在小变形条件下，Δl20，故有

FN20

FN1的水平分量由刚性墙面提供的约束反力来平衡。

3-22 图示桁架，杆1、杆2与杆3分别用铸铁、铜和钢制成，许用应力分别为

[1]=40MPa，[2]=60MPa，[3]=120MPa，弹性模量分别为E1=160GPa，E2=100GPa，E3=200GPa。若载荷F=160kN，A1= A2= 2A3，试确定各杆的横截面面积。

30

题3-22图

解：此为一度静不定结构。节点C处的受力图和变形图分别示如图3-22a和b。

图3-22

由图a可得平衡方程 Fx0，F3N12FN2 Fy0， 12FN2FN3F 由图b得变形协调方程为 Δll1ctan30Δ2sin30Δl3 根据胡克定律，有 ΔlFF1N1l1N1l1A， ΔlFlFlΔlFlFl2N22N21， 3N33N31EAA 112E13E2A23E2A3E3A33E33将式(d)代入式(c)，化简后得补充方程为 15FN132FN28FN3

联解方程(a)，(b)和(c’)，并代入数据，得

FN122.6kN(压)， FN226.1kN（拉）， FN3146.9kN（拉）

根据强度要求，计算各杆横截面面积如下： AFN122.6103221σm5.65104m565mm2[6 1]4010AFN226.1103m242[σ]601064.3510m2435mm2 231

(a) (b)

(c)

(d)(c')

FN3146.91032A3m1.224103m21224mm2 6[σ3]12010根据题意要求，最后取

A1A22A32450mm2

3-23图a所示支架，由刚体ABC并经由铰链A、杆1与杆2固定在墙上，刚体在C

点处承受铅垂载荷F作用。杆1与杆2的长度、横截面面积与弹性模量均相同，分别为l=100 mm，A=100 mm2，E=200 GPa。设由千分表测得C点的铅垂位移ymm，试确定载荷F与各杆轴力。

题3-23图

解：1. 求解静不定

在载荷F作用下，刚体ABC将绕节点A沿顺时针方向作微小转动，刚体的位移、杆件的变形与受力如图b所示。显然，本问题具有一度静不定。

由平衡方程MA0，得

FN1FN2F0 2(a)

由变形图中可以看出，变形协调条件为

根据胡克定律，

l12l2

(b)

Δl1FN1lFl, Δl2N2 EAEAFN12FN2

(c)

将上述关系式代入式（b），得补充方程为

联立求解平衡方程（a）与上述补充方程，得

FN14F2F , FN255(d)

2. 由位移y确定载荷F与各杆轴力

变形后，C点位移至C’(CC’AC)（图b），且直线AC与AB具有相同的角位移，因此，

32

C点的总位移为

又由于 由此得

CC'ACl12l1AB2y

l1y

将式（c）与（d）的第一式代入上式，于是得

F5EAy4l5(200109Pa)(100106m2)(0.075103m)41.87510N 34(10010m)并从而得

FN11.5104N, FN27.5103N

3-24图示钢杆，横截面面积A=2500mm ，弹性模量E=210GPa，轴向载荷F=200kN。

2

试在下列两种情况下确定杆端的支反力。

(a) 间隙=0.6 mm； (b) 间隙=0.3 mm。

题3-24图

解：当杆右端不存在约束时，在载荷F作用下，杆右端截面的轴向位移为

(200103N)(1.5m)FaF0.57mm

EA(210109Pa)(2500106m2) 当间隙=0.6 mm时，由于F，仅在杆C端存在支反力，其值则为

FCxF200 kN

当间隙=0.3 mm时，由于F，杆两端将存在支反力，杆的受力如图3-24所示。

杆的平衡方程为

图3-24

33

补充方程为 由此得

FFBxFCx0

FaFBx2a EAEAFBxFEA22a

962200103N(0.0003m)(21010Pa)(250010m) 47.5 kN22(1.5m)

而C端的支反力则为

FCxFFBx200 kN47.5 kN152.5 kN

3-25 图示两端固定的等截面杆AB，杆长为l。在非均匀加热的条件下，距A端x

处的温度增量为TTBx2/l2，式中的TB为杆件B端的温度增量。材料的弹性模量与线膨胀系数分别为E与l。试求杆件横截面上的应力。

题3-25图

解：1.求温度增高引起的杆件伸长

此为一度静不定问题。假如将B端约束解除掉，则在x处的杆微段dx就会因温升而有一个微伸长

全杆伸长为

αlΔTBx2d(Δlt)αlΔTdxdx

l2 lαlΔTBx22Δlt 0ldxαlΔTBl 32．求约束反力

设固定端的约束反力为F，杆件因F作用而引起的缩短量为

由变形协调条件

ΔlFFNlFl EAEAΔlFΔlt

34

可得

F3．求杆件横截面上的应力

EAαlΔTBlEAαlΔTB l33FNFEαlΔTB AA3σ3-26 图示桁架，杆BC的实际长度比设计尺寸稍短，误差为。如使杆端B与节点

G强制地连接在一起，试计算各杆的轴力。设各杆各截面的拉压刚度均为EA。

题3-26图

解：此为一度静不定问题。自左向右、自上向下将各杆编号1~5。由强制装配容易判断，

杆1~3受拉，杆4和5受压。装配后节点G和C的受力图分别示如图3-26a和b。

根据平衡条件，由图a可得 由图b可得

图3-26

FN1FN2FN3

(a)

FN4FN5 ， FN32FN4cos303FN4

Δl1Δl4Δl3 cos60cos30(b)

变形协调关系为(参看原题图)

依据胡克定律，有

将式(d)代入式(c)，得补充方程

Δ(c)

ΔliFNili (i1~5) EA(d)

35

Δ2FN1l2FN43lFN3l EAEA3EA(e)

联立求解补充方程(e)、平衡方程(a)与(b)，最后得 即

FN3(923)EA(332)EAΔ, FN4Δ

23l23l(923)EAΔ （拉）

23lFN,BCFN,GDFN,GEFN,CDFN,CE(332)EAΔ （压）

23l3-27

图a所示钢螺栓，其外套一长度为l的套管。已知螺栓与套管的横截面面积分

别为Ab与At，弹性模量分别为Eb与Et，螺栓的螺距为p。现将螺母旋紧1/5圈，试求螺栓与套管所受之力。螺帽与螺母的变形忽略不计。

题3-27图

解：首先设想套管未套上，而将螺母由距螺帽l处旋转1/5圈，即旋进=p/5的距离。然后，再将套管套上。由于螺帽与螺母间的距离小于套管的长度，故套合后的螺栓将受拉，而套管则受压。

设螺栓所受拉力为FNb，伸长为lb，套管所受压力为FNt，缩短为lt，则由图b与c可知，平衡方程为

而变形协调方程则为

利用胡克定律，得补充方程为

FNbFNt0

(a)

lblt

FNblFNtl AbEbAtEt(b)

最后，联立求解平衡方程（a）与补充方程（b），得螺栓与套管所受之力即预紧力为

AbEbFN0FNbFNt

l1k式中，

36

kAbEb AtEt3-28 图示组合杆，由直径为30mm的钢杆套以外径为50mm、内径为30mm的铜管

组成，二者由两个直径为10mm的铆钉连接在一起。铆接后，温度升高40℃，试计算铆钉剪切面上的切应力。钢与铜的弹性模量分别为Es = 200GPa与Ec=100GPa，线膨胀系数分别为

ls=12.5×10-6℃-1与lc=16×10-6℃-1。

题3-28图

解：设温度升高T时钢杆和铜管自由伸长量分别为δTs和δTc，由于二者被铆钉连在一起，变形要一致，即变形协调条件为

或写成

δTsΔlsδTcΔlc

ΔlsΔlcδTcδTs

这里，伸长量Δls和缩短量Δlc均设为正值。

引入物理关系，得

FNslFNcl(αlcαls)lΔT EsAsEcAc将静力平衡条件FNsFNcF代入上式，得

FEsAsEcAc(αlcαls)ΔT

EsAsEcAc注意到每个铆钉有两个剪切面，故其切应力为 由此得

τFSFEsAsEcAc(αlcαls)ΔT A2A2A(EsAsEcAc)

2001090.0302100109(0.05020.0302)(1612.5)10640N 20.0102[2001090.0302100109(0.05020.0302)]m2 5.93107Pa59.3MPa3-29图示结构，杆1与杆2各截面的拉压刚度均为EA，梁BD为刚体，试在下列两

37

种情况下，画变形图，建立补充方程。

(1) 若杆2的实际尺寸比设计尺寸稍短，误差为；

(2) 若杆1的温度升高T，材料的热膨胀系数为l。

题3-29图

(1)解：如图3-29(1)a所示，当杆2未与刚性杆BD连接时，下端点位于D，即DD。 当杆2与刚性杆BD连接后，下端点铅垂位移至D，同时，杆1的下端点则铅垂位移至C。过C作直线C’e垂直于杆1的轴线，显然CeΔl1，即代表杆1的弹性变形，同时，DDΔl2，即代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(1)b所示。

图3-29(1)

可以看出，

DD2CC

即变形协调条件为

Δl222Δl1

而补充方程则为

或

F2l4F1l0 EAEAEA0 lF24F1 (2)解：如图3-29(2)a所示，当杆1未与刚性杆BD连接时，由于其温度升高，下端点位于C，即CCl2lΔT。当杆1与刚性杆BD连接后，下端点C铅垂位移至C，而杆2的下端点D则铅垂位移至D。过C作直线C’e垂直于直线CC，显然，eCΔl1即代表杆1

38

的弹性变形，同时，DDΔl2，代表杆2的弹性变形。与上述变形相应，杆1受压，杆2受拉，刚性杆BD的受力如图3-29(2)b所示。

图3-29(2)

可以看出，

DD2CC

故变形协调条件为

Δl222l2lΔTΔl1

而补充方程则为

F2lF12l222lΔTl EAEA或

F24F14EAlΔT0

3-30 图示桁架，三杆的横截面面积、弹性模量与许用应力均相同，并分别为A，E

与[]，试确定该桁架的许用载荷[F]。为了提高许用载荷之值，现将杆3的设计长度l变为

lΔ。试问当为何值时许用载荷最大，其值[F]max为何。

题3-30图

解:此为一度静不定问题。

节点C处的受力及变形示如图3-30a和b。

39

图3-30

由图a得平衡方程为

FN1FN2， 2FN1cos30FN3F

由图b得变形协调条件为

(a)

依据胡克定律,有

Δl1Δl3cos30

FNili (i1,2,3) EA4FN3FN1

3(b)

Δli(c)

将式(c)代入式(b)，化简后得补充方程为

将方程(b’)与方程(a)联解，得

(b’)

FN1FN234F， FN3FFN1

433433FN34F[σ] A(433)A 由此得

σmax(433)[]A(433)[]A, [F]

44为了提高[F]值，可将杆3做长，由图b得变形协调条件为

F

Δl3ΔΔl1

cos30式中，l3与l1均为受载后的伸长，依题意，有了后，应使三根杆同时达到[σ]，即 由此得

[σ]4[σ]lΔl E3E[σ]l[σ]l4 Δ(1)3E3E此时，各杆的强度均充分发挥出来，故有

[F]max2([]Acos30)[]A(13)[]A

40

第四章 扭 转

4-5 一受扭薄壁圆管，外径D = 42mm，内径d = 40mm，扭力偶矩M = 500N•m，切

变模量G=75GPa。试计算圆管横截面与纵截面上的扭转切应力，并计算管表面纵线的倾斜角。

解：该薄壁圆管的平均半径和壁厚依次为

1DdDdR0()20.5mm， 1mm

22222于是，该圆管横截面上的扭转切应力为

T500N81.89410Pa189.4MPa 22πR02π0.020520.001m2

依据切应力互等定理，纵截面上的扭转切应力为

ττ189.4MPa

该圆管表面纵线的倾斜角为

τ189.41063rad2.5310rad 9G75100

4-7 试证明，在线弹性范围内，且当R/≥10时，薄壁圆管的扭转切应力公式的最

大误差不超过4.53%。

解：薄壁圆管的扭转切应力公式为

τT 22πR0δ(a)

设R0/δβ，按上述公式计算的扭转切应力为

τTT 22πR0δ2πβ2δ3按照一般空心圆轴考虑，轴的内、外直径分别为 极惯性矩为 由此得

d2R0δ， D2R0δ

IpπRδππ2(D4d4)[(2R0δ)4(2R0δ)4]0(4R0δ2) 32322T(21)TδT(R0)(2R) 02Ip2πR0(4R02)π3(421)τmax(b)

比较式(a)与式(b)，得

ττmaxπ3(421)421

T(21)2(21)2π23T当

R010时，

max410210.9548 210(2101) 41

可见，当R0/δ10时，按薄壁圆管的扭转切应力公式计算τ的最大误差不超过4.53％。

4-8 图a所示受扭圆截面轴，材料的曲线如图b所示，并可用C1/m表示，

式中的C与m为由试验测定的已知常数。试建立扭转切应力公式，并画横截面上的切应力分

布图。

题4-8图

解：所研究的轴是圆截面轴，平面假设仍然成立。据此，从几何方面可以得到

ddx 根据题设，轴横截面上距圆心为ρ处的切应力为

τρC(ddx)1/m 由静力学可知，

AρdAC(d)1/mρ(m1)/mdxAdAT

取径向宽度为dρ的环形微面积作为dA，即

dA2πρdρ 将式(d)代入式(c)，得 2πC(ddx)1/md/20ρ(2m1)/mdρT

由此得

(ddx)1/m(3m1)T2πCm(d

(3m1)/m2)将式(e)代入式(b)，并注意到T=M ，最后得扭转切应力公式为 1/m

M2πm 3m1(d(3m1)/m2)横截面上的切应力的径向分布图示如图4-8。

42

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

图4-8

4-9 在图a所示受扭圆截面轴内，用横截面ABC和DEF与径向纵截面ADFC切出单

元体ABCDEF（图b）。试绘各截面上的应力分布图，并说明该单元体是如何平衡的。

题4-9图

解：单元体ABCDEF各截面上的应力分布图如图4-9a所示。

图4-9

根据图a，不难算出截面AOO1D上分布内力的合力为

1d4TlFx1τmax(l)2

22πd同理，得截面OCFO1上分布内力的合力为

方向示如图c。

设Fx1与Fx2作用线到x轴线的距离为ez1，容易求出

Fx24Tl πd22ddez1

323πd/2T根据图b，可算出单元体右端面上水平分布内力的合力为

同理，左端面上的合力为

方向亦示如图c。

设Fz2作用线到水平直径DF的距离为ey（见图b），由

Fz200π8Tcos(θ)ρdρdθ Ip23πd8T 3πdFz1 43

得

Fz2eyTIpd/23T2πcos()dd 0024πeyT3πd3πd0.295d 48T32同理，Fz1作用线到水平直径AC的距离也同此值。

根据图b，还可算出半个右端面DO1E上竖向分布内力的合力为

Fy3π/2d/2Tρ00π4Tsin(θ)ρdρdθ Ip23πd设Fy3作用线到竖向半径O1E的距离为ez2（见图b），由 得

Fy3ez2d/23Tπ/22Tcosdd 0Ip08ez2T3πd3πd0.295d 84T32同理，可算出另半个右端面O1FE以及左端面AOB、OCB上的竖向分布内力的合力为

Fy4Fy1Fy24T

3πd方向均示如图c。它们的作用线到所在面竖向半径的距离均为ez2。

由图c可以看得很清楚，该单元体在四对力的作用下处于平衡状态，这四对力构成四个力偶，显然，这是一个空间力偶系的平衡问题。

Mx0，Fy(2ez2)Fz2eyFy1(2ez2)Fz1ey4TT0 22My0，Fz2lFx1(2ez1)Mz0，FylFy3l48Tl8Tl0 3πd3πd4Tl4Tl0 3πd3πd既然是力偶系，力的平衡方程（共三个）自然满足，这是不言而喻的。 上述讨论中，所有的T在数值上均等于M。

4-11 如图所示，圆轴AB与套管CD用刚性突缘E焊接成一体，并在截面A承受扭

力偶矩M作用。圆轴的直径d = 56mm，许用切应力[1]=80MPa，套管的外径D = 80mm，壁厚= 6mm，许用切应力[2]= 40MPa。试求扭力偶矩M的许用值。

44

题4-11图

解：由题图知，圆轴与套管的扭矩均等于M。 1.由圆轴AB求M的许用值

由此得M的许用值为

max1M116M1[1] 3Wp1πdπd3[1]π0.056380106[M1]Nm2.76103Nm2.76kNm

16162．由套管CD求M的许用值

R0D806mm37mm， δ6mmR010 22此管不是薄壁圆管。

max280－62680.85 8080

由此得M的许用值为

M216M2[2] Wp2πD3(14)

πD3(14)[2]π0.0803(10.854)40106[M2]Nm 1616 1.922103Nm1.922kNm可见，扭力偶矩M的许用值为

[M][M2]1.922kNm

4-13 图示阶梯形轴，由AB与BC两段等截面圆轴组成，并承受集度为m的均匀分

布的扭力偶矩作用。为使轴的重量最轻，试确定AB与BC段的长度l1与l2以及直径d1与d2。已知轴总长为l，许用切应力为[]。

题4-13图

45

解：1.轴的强度条件

在截面A处的扭矩最大，其值为

由该截面的扭转强度条件

得

Tmax1ml

max1Tmax116ml[τ] Wp1πd13d1316ml π[τ](a)

BC段上的最大扭矩在截面B处，其值为

由该截面的扭转强度条件得

2．最轻重量设计 轴的总体积为 根据极值条件

得 由此得 从而得

Tmax2ml2

d2316ml2 π[τ]16ml22/3ππ2π16ml2/3Vd12(ll2)d2l2[()(ll2)()l2]

444π[τ]π[τ]dV0 dl2(16ml2/316m2/352/3)()l20 π[]π[]33l2()3/2l0.465l

53l1ll2[1()3/2]l0.535l

5d2(16m1/31/331/2316ml)l2()0.775d1 π[]5π[](b)

(c)

(d)

该轴取式(a)~(d)所给尺寸，可使轴的体积最小，重量自然也最轻。

4-14 一圆柱形密圈螺旋弹簧，承受轴向压缩载荷F = 1kN作用。设弹簧的平均直径

D = 40mm，弹簧丝的直径d = 7mm，许用切应力[]= 480MPa，试校核弹簧的强度。

解：由于

46

故需考虑曲率的影响，此时，

mD405.7110 d7

8FD(4m＋2）81.001030.040(45.712)Nmax3 πd(4m3)π0.0073(45.713)m2 3.72108Pa372MPa结论：max[]，该弹簧满足强度要求。

4-20 图示圆锥形薄壁轴AB，两端承受扭力偶矩M作用。设壁厚为，横截面A与

B的平均直径分别为dA与dB，轴长为l，切变模量为G。试证明截面A和B间的扭转角为

A/B2Ml（dAdB) 22πGdAdB

题4-20图

证明：自左端A向右取坐标x，轴在x处的平均半径为 式中，

截面x的极惯性矩为 依据

得截面A和B间的扭转角为

ddA11R0(x)(dABx)(dAcx)

2l2cdBdA l1πδ3Ip2πR02π [(dAcx)]3(dAcx)3

24dT(x)4M dxGIpGπ (dAcx)34MA/BπG

2Ml112Ml(dAdB)

(22)2πGδ (dB dA)dBdAπGδd2AdBd(dAcx)2M(dAcx)2| l03 0c(dcx)πGδcA l 47

4-21 图示两端固定的圆截面轴，承受扭力偶矩作用。试求支反力偶矩。设扭转刚度

为已知常数。

题4-21图

(a)解：此为静不定轴，但有对称条件可以利用。

设A与B端的支反力偶矩分别为MA和MB，它们的转向与扭力偶矩M相反。由于左右对称，故知

由Mx0可得 即

MAMB

MAMB2MA2M

MAMBM

(b)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩MB，示如图4-21b。

变形协调条件为

利用叠加法，得

图4-21b

B0

(a)

BMaM(2a)MB(3a) GIpGIpGIp(b)

将式(b)代入式(a)，可得

1MBM

3 48

进而求得

1MAM（转向与MB相反）

3(c)解：此为静不定轴，与(a)类似，利用左右对称条件，容易得到

MAMBma 2MA和MB的转向与m相反。

(d)解：此为静不定轴，可解除右端约束，代之以支反力偶矩MB，从变形趋势不难判断，

MB的转向与m相反。

变形协调条件为

利用叠加法，得到（x从左端向右取）

B0

(c)

BB,mB,MB am(ax) 0GIpMB(2a)ma22MBa dxGIp2GIpGIp(d)

将式(d)代入式(c)，可得 进而求得

MBma 4MAmaMB3ma 4MA的转向亦与m相反。

4-22 图示轴，承受扭力偶矩M=400N•m与M=600N•m作用。已知许用切应力

1

2

[]=40MPa，单位长度的许用扭转角[]=0.25(°) / m，切变模量G = 80GPa。试确定轴径。

题4-22图

解：1.内力分析

此为静不定轴，设B端支反力偶矩为MB，该轴的相当系统示如图4-22a。

49

利用叠加法，得

图4-22

B1[4000.5006001.250MB2.500] GIp将其代入变形协调条件B0，得

(6001.2504000.500)Nm2MB220Nm

2.500m该轴的扭矩图示如图4-22b。 2.由扭转强度条件求d 由扭矩图易见，

Tmax380Nm

将其代入扭转强度条件，

由此得

maxTmax16Tmax[] Wpπd316Tmax316380m3d0.0364m36.4mm

π[]π4010633.由扭转刚度条件求d

将最大扭矩值代入 得

Tmax32Tmax[] GIpGπd4d432TmaxπG[]432380180m40.0577m57.7mm

π801090.25π结论：最后确定该轴的直径d57.7mm。

50

4-23 图示两端固定阶梯形圆轴AB，承受扭力偶矩M作用。已知许用切应力为[]，

为使轴的重量最轻，试确定轴径d1与d2。

题4-23图

解：1. 求解静不定

设A与B端的支反力偶矩分别为MA与MB，则轴的平衡方程为

AC与CB段的扭矩分别为

代入式（a），得

Mx0, MAMBM0

T1MA， T2MB

(a)

T1T2M0

(b)

设AC与CB段的扭转角分别为AC与CB，则变形协调条件为

ACCB0

(c)

利用扭转角与扭矩间的物理关系，分别有

代入式（c），得补充方程为

ACT1a2Ta， CB2 GIp1GIp2dT121T20

d24(d)

最后，联立求解平衡方程（b）与补充方程（d），得

42d14Md2M， T14T24d22d14d22d14(e)

2. 最轻重量设计

从强度方面考虑，要使轴的重量最轻，应使AC与CB段的最大扭转切应力的数值相等，且当扭力偶矩M作用时，最大扭转切应力均等于许用切应力，即要求

由此得

TT1[]， 2[] Wp1Wp2T1Wp1d1 T2Wp2d23 51

将式（e）代入上式，得 并从而得

d22d1

M8M， T2 99 根据圆轴扭转强度条件，于是得轴的直径为

T1

d1d2316T1316M 2π[]9π[]4-24 图示二平行圆轴，通过刚性摇臂承受载荷F作用。已知载荷F=750N，轴1和

轴2的直径分别为d1=12mm和d2=15mm，轴长均为l=500mm，摇臂长度a =300mm，切变模量G = 80GPa，试求轴端的扭转角。

题4-24图

解：这是一度静不定问题。

变形协调条件为

Δ1Δ2 或 12

(a)

这里，和分别为刚性摇臂1和2在接触点处的竖向位移。

设二摇臂间的接触力为F2，则轴1和2承受的扭矩分别为

物理关系为

aT1F()F2a， T2F2a

2T1lTl， 2＝2 GIp1GIp2(b)

1(c)

将式(c)代入式(a)，并注意到式(b),得 由此得

4d2FF2 42(d14d2) 52

2T2l16Fal167500.3000.500m4GIp2πG(d14d2)π80109(0.01240.0154)m

0.1004 rad5.75|1|4-26 如图所示，圆轴AB与套管CD借刚性突缘E焊接成一体，并在突缘E承受扭

力偶矩M作用。圆轴的直径d=38mm，许用切应力[1]=80MPa，切变模量G1=80GPa；套管的外径D = 76mm，壁厚= 6mm，许用切应力[2]= 40MPa，切变模量G2 = 40GPa。试求扭力偶矩M的许用值。

题4-26图

解：1. 解静不定

此为静不定问题。静力学关系和变形协调条件分别为 T1T2M

12

物理关系为

T11l1， T2l2＝2GG 1Ip12Ip2将式(c)代入式(b)，并注意到 7612760.8421， IπD44πd4p232(1)， Ip132

得

G1Ip1l22d424GI384T1T24T2T20.1676T2

2p2l1D(14)33764(10.84214)将方程(a)与(d)联解，得

T20.856M， T10.144M

2．由圆轴的强度条件定M的许用值

1maxT1W160.144Mp3[1] 1πd由此得扭力偶据的许用值为

53

(a) (b)

(c)

(d)

πd3[1]π0.038380106[M]1Nm5.99103Nm5.99kNm

160.144160.1443.由套管的强度条件定M的许用值

2maxT2160.856M[2] Wp2πD3(14)由此得扭力偶据的许用值为

πD3(14)[2]π0.0763(10.84214)40106[M]2Nm

160.856160.8562.00103Nm2.00kNm

结论：扭力偶矩的许用值为

[M][M]22.00kNm

4-27 图示组合轴，由圆截面钢轴与铜圆管并借两端刚性平板连接成一体，并承受扭

力偶矩M=100N·m作用。试校核其强度。设钢与铜的许用切应力分别为[s]=80MPa与[c]=20MPa，切变模量分别为Gs=80GPa与Gc=40GPa，试校核组合轴强度。

题4-27图

解：1. 求解静不定

如图b所示，在钢轴与刚性平板交接处（即横截面B），假想地将组合轴切开，并设钢轴与铜管的扭矩分别为Ts与Tc，则由平衡方程Mx0可知，

TsTc

(a)

两个未知扭力矩，一个平衡方程，故为一度静不定问题。 在横截面B处，钢轴与铜管的角位移相同，即

设轴段AB的长度为l，则

sc

(b)

54

sTsl GsIps

c(MTc)lTl(M2Tc)l c 

GcIpc2GcIpc22GcIpc将上述关系式代入式（b），并注意到Gs/Gc=2，得补充方程为

Ts(M2Tc) IpsIpc(c)

联立求解平衡方程（a）与补充方程（c），于是得

2．强度校核

TsTcIpsMIpc2Ips (d)

π(0.020m)4Ips1.571108m4

32

Ipcπ(0.040m)40.035m47411.04010m 0.040m32将相关数据代入式（d），得

对于钢轴， 对于铜管，

TsTc11.6Nm

s,maxTs16(11.6Nm)67.3810Pa7.38MPa[s] Wpsπ(0.020m)3c,maxTc,maxWpc16(100Nm11.6Nm)1.70107Pa17.0MPa[c]40.035mπ(0.040m)310.040m

4-28 将截面尺寸分别为100mm×90mm与90mm×80mm的两钢管相套合，并在

内管两端施加扭力偶矩M0=2kN·m后，将其两端与外管相焊接。试问在去掉扭力偶矩M0后，内、外管横截面上的最大扭转切应力。

解：1. 求解静不定

此为静不定问题。在内管两端施加M0后，产生的扭转角为

0M0l GIpi(a)

55

去掉M0后，有静力学关系

几何关系为

物理关系为

TiTe

(b)

ie0

(c)

iTlTil， ee GIpiGIpe(d)

将式(d)和式(a)代入式(c)，得 或写成 由此得

TlMlTile0 GIpiGIpeGIpiTeM0Ti IpeIpiTe联立求解方程(e)与(b)，得

IpeIpi(M0Ti)1.395(M0Ti)

(e)

TiTe0.5825M01.165kNm

2. 计算最大扭转切应力

内、外管横截面上的最大扭转切应力分别为

i,maxTi161165N72.1710Pa21.7MPa Wpiπ0.0903[1(8/9)4]m2

e,maxTe161165N1.725107Pa17.25MPa 342Wpeπ0.100(10.9)m4-29 图示二轴，用突缘与螺栓相连接，各螺栓的材料、直径相同，并均匀地排列在

直径为D = 100mm的圆周上，突缘的厚度为=10mm，轴所承受的扭力偶矩为M = 5.0kN·m，螺栓的许用切应力[]=100MPa，许用挤压应力[bs]=300MPa。试确定螺栓的直径d。

56

题4-29图

解：1. 求每个螺栓所受的剪力 由 得

2.由螺栓的剪切强度条件求d 由此得

6Fs()M Mx0，2FsM 3DDFs4M[] 2A3πDd4M45.0103m2d1.457102m14.57mm 63πD[]3π0.100100103.由螺栓的挤压强度条件求d

bsFbM[bs] d3Dd由此得

M5.0103m3d5.5610m5.56mm

3D[bs]30.1000.010300106结论：最后确定螺栓的直径d14.57mm。

4-30图示二轴，用突缘与螺栓相连接，其中六个螺栓均匀排列在直径为D的圆周上，

1

另外四个螺栓则均匀排列在直径为D2的圆周上。设扭力偶矩为M，各螺栓的材料相同、直径均为d，试计算螺栓剪切面上的切应力。

题4-30图

解：突缘刚度远大于螺栓刚度，因而可将突缘视为刚体。于是可以认为：螺栓i剪切面上

57

的平均切应变i与该截面的形心至旋转中心O的距离ri 成正比，即

ikri

式中，k为比例常数。

利用剪切胡克定律，得螺栓i剪切面上的切应力为

而剪力则为

最后，根据平衡方程 得

iGkri

FS,iGAkri

D14GAkD2M M0, 6GAkO222M8M 22222GA(3D12D2)Gπd(3D12D2)22k于是得外圈与内圈螺栓剪切面上得切应力分别为

14MD1 2πd2(3D122D2)4MD2 222πd(3D12D2)

24-31

图a所示托架，承受铅垂载荷F=9kN作用。铆钉材料均相同，许用切应力

[]=140MPa，直径均为d=10mm。试校核铆钉的剪切强度。

题4-31图

解：由于铆钉均匀排列，而且直径相同，所以，铆钉群剪切面的形心C，位于铆钉2与铆钉3间的中点处（图b）。将载荷平移至形心C，得集中力F与矩为Fl的附加力偶。

在通过形心C的集中力F作用下，各铆钉剪切面上的切应力相等，其值均为

FF9103N22.87107MPa 232πdπdπ(1010m)44 58

在附加力偶作用下，铆钉1与4剪切面上的切应力最大，其值均为

由图中可以看出，

所以，

Flr1 Ip(a)

r1r460103m， r2r320103m

πd2πIp(2r122r22)(10103m)2(602202)(103m)26.28107m4

42代入式（a），得

(9103N)(150103m)(60103m)1.289108Pa 746.2810m 将上述两种切应力叠加，即得铆钉1与4的总切应力即最大切应力为

max22(2.87107Pa)2(1.289108Pa)2 1.3210Pa132MPa[]8

4-34 图示半椭圆形闭口薄壁杆，a=200mm，b=160mm，=3mm，12= 4mm，T=6

kN·m，试求最大扭转切应力。

题4-34图

解：截面中心线所围面积为 由此得

Ωπ(a12b222)(4)

Ωπ(0.2000.00150.002)(0.1600.0042)m2.41102m2

4于是得最大扭转切应力为

6103Nmax4.15107Pa41.5MPa 222min22.41100.003mT4-35 一长度为l的薄壁管，两端承受矩为M的扭力偶作用。薄壁管的横截面如图所

示，平均半径为R0，上、下半部由两种不同材料制成，切变模量分别为G1与G2，厚度分别为

59

1与2，且1<2，试计算管内的最大扭转切应力，以及管端两横截面间的扭转角。

题4-35图

解：1. 扭转切应力计算

闭口薄壁管扭转切应力的一般公式为

T 2Ω现在

所以，最大扭转切应力为

2 ΩπR0min1

M 22πR01max 2. 扭转变形计算

用相距dx的两个横截面，与夹角为d的两个径向纵截面，从管的上部切取一微体，其应变能为

由此得整个上半圆管的应变能为

dVε1122G11R0ddx

Vε1 l π 0 0M2l 1R0ddx32G18πG1R0112同理得整个下半圆管的应变能为

根据能量守恒定律， 于是得

M2lVε2 38πG2R02MM2lM2l 3328πG1R018πG2R02Μl11 3GG4πR01122 60

4-36 图示三种截面形状的闭口薄壁杆，若截面中心线的长度、壁厚、杆长、材料以

及所受扭矩均相同，试计算最大扭转切应力之比和扭转角之比。

题4-36图

解：由于三者中心线的长度相同，故有

2(2bb)4aπd 由此得

bπdπd ， a642据此可求得长方形、正方形及圆形薄壁截面的Ω，其值依次为 依据

π2d2Ω12b

18π2d2Ω2a

162πd2 Ω3＝4maxT

2Ωmin可得三种截面薄壁杆的最大扭转切应力之比为

依据

矩max:方max:圆max1.432 :1.273 :1

Tlds 24GΩ可得三种截面薄壁杆的扭转角之比为

矩:方:圆2.05 :1.621: 1

结果表明：在题设条件下，圆形截面薄壁杆的扭转强度及扭转刚度均最佳，正方形截面

薄壁杆的次之，长方形截面薄壁杆的最差。一般说来，在制造闭口薄壁杆时，应尽可能加大其中心线所围的面积Ω，这样对强度和刚度均有利。

4-37 图示闭口薄壁杆，承受扭力偶矩M作用，试计算扭力偶矩的许用值。已知许

用切应力[]=60MPa，单位长度的许用扭转角[]=0.5(°) / m，切变模量G = 80GPa。若在杆上沿

61

杆件母线开一槽，则许用扭力偶矩将减少至何值。

题4-37图

解：1.计算闭口薄壁杆扭力偶矩的许用值 由扭转强度条件

Tmax[]

2Ωmin得

T2Ωmin[]20.1000.3000.00360106Nm 1.08010Nm10.80kNm由扭转刚度条件

4

Tds[]

4GΩ2δ得

4GΩ2[]480109(0.1000.300)28.727103TNmds2(0.3000.100) 0.003 9.43103Nm9.43kNm0.5πrad/m8.727103rad/m 180[M]9.43kNm

2.计算开口薄壁杆扭力偶矩的许用值 由扭转强度条件

其中用到

比较可知，

[]max3Tδmaxhii3i1n[]

得

T[]hii3i1n3max60106[2(0.3000.100)0.0033] Nm144.0Nm

30.0033TGhii3i1n由扭转刚度条件

[]

62

得

[]Ghii3

nTi1 38.72710380109[2(0.3000.100)0.0033] Nm5.03Nm3比较可知，

[M]开5.03Nm

63

第六章 弯曲应力

6-2 如图所示，直径为d、弹性模量为E的金属丝，环绕在直径为D的轮缘上，试求

金属丝内的最大弯曲正应变、最大弯曲正应力与弯矩。

解：金属丝的曲率半径为

所以，金属丝的最大弯曲正应变为

最大弯曲正应力为

而弯矩则为

题6-2图

ymaxDd 2maxd2d  2DdDdmaxEmaxEd Ddπd3EdEπd4MWzmax

32Dd32(Dd)6-3 图示带传动装置，胶带的横截面为梯形，截面形心至上、下边缘的距离分别为y

与y2，材料的弹性模量为E。试求胶带内的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。

1

题6-3图

解：由题图可见，胶带中性层的最小曲率半径为 依据

ρminR1

σEy ρ 64

可得胶带内的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力分别为

σt,maxEy1 R1Ey2 R1

σc,max6-6 图a所示正六边形截面，边长为a，试计算抗弯截面系数W与W。

z

y

解：1. Wz计算 由图b可以看出，

所以，ADB对z轴的惯性矩为

题6-6图

a3ab, h 222bh3bhhbh31a3a3a4 3623121222643Iz,t中部矩形截面对z轴的的惯性矩为

Iz,ra(2h)3a3a3a4 212122443a43a453a4

644163于是得整个六边形截面对z轴的惯性矩为

Iz4Iz,tIz,r而对z轴的抗弯截面系数则为

2. Wy计算

ADB对y轴的惯性矩为

Iz53a425a3Wz

ymax16a38hb3bhba113a4Iy,t

36232192中部矩形截面对y轴的的惯性矩为

2 65

2ha33a4Iy,r

1212于是得整个六边形截面对y轴的惯性矩为

Iy4Iy,tIy,r4113a43a453a4

1921216而对z轴的抗弯截面系数则为

WyIyzmax53a4153a3

16a166-7 图示直径为d的圆木，现需从中切取一矩形截面梁。试问：

(1) 如欲使所切矩形梁的弯曲强度最高，h和b应分别为何值； (2) 如欲使所切矩形梁的弯曲刚度最高，h和b又应分别为何值。

题6-7图

解：(1) 为使弯曲强度最高，应使Wz值最大。 由此得

bh2b22Wz(db)

66dWz12(d3b2)0 db6b36d， hd2b2d 33(2) 为使弯曲刚度最高，应使Iz值最大。

bh3h3Izd2h2

1212 由此得

dIz3h2(d2h2)h40

22dh12dh3dd， bd2h2 22h 66

6-8 图a所示简支梁，由№18工字钢制成，弹性模量E = 200 GPa， a=1m。在均布

载荷q作用下，测得截面C底边的纵向正应变 = 3.010-4，试计算梁内的最大弯曲正应力。

题6-8图

解：1. 内力分析

梁的弯矩图如图b所示，横截面C的弯矩为

Mqa2C4

梁内的最大弯矩则为

9qa2Mmax32

2. 应力计算（解法一）

横截面C底部的弯曲正应力为 qa2C,max4WEC

z由此得

q4ECWza2 代入式（a），得

Mmax9ECWz8 于是得梁的最大弯曲正应力为

Mmax9EC9(200109Pa)( 3.0104W)max67.5MPa

z883. 应力计算（解法二）

横截面C底部的弯曲正应力为

C,maxEC

由于应力与内力成正比，所以，梁内的最大弯曲正应力为

67

(a)

Mmax9EC9qa24maxC,max 2EC67.5 MPa

MC32qa8计算结果相同。

6-9 图示简支梁，承受均布载荷q作用。已知抗弯截面系数为W，弹性模量为E，

z

试计算梁底边AB的轴向变形。

解：梁的弯矩方程为

题6-9图

M(x)qlqxx2 22M(x)dx EWz横截面x处底边微长dx的轴向变形为

所以，梁底边AB的轴向变形为

d(l)(x)dxM(x)1Δldx0EWEWzzlqlq2ql3xxdx 0212EWz2l6-10 图示截面梁，由№18工字钢制成，截面上的弯矩M = 20kN·m，材料的弹性模

量E = 200GPa，泊松比= 0.29。试求截面顶边AB与上半腹板CD的长度改变量。

题6-10图

解：1.截面几何性质

工字钢截面大致形状及尺寸符号示如图6-10。

68

由附录F表4查得 并从而得

图6-10

h180mm， b94mm, t10.7mm Iz1660cm， Wz185cm43

h1h/2t79.3mm。

2．计算顶边AB的长度改变量

顶边处有

σmax

MWzμσmaxE

εμε由此可得AB边的伸长量为

30.290.0942010ABbmEWz200109185106

bM 1.474105m0.01474mm3．计算上半腹板CD的长度改变量

距中性轴z为y1的点，弯曲正应力的绝对值为

该处的横向应变为

由此可得线段CD的伸长量为

σ(y1)My1 （y1以向上为正） Iz    (y1) My1EIz

ΔCDεdy1 0 h1 MEIz3 0 h1y1dy12 Mh122EIz

0.2920100.0793m5.49106m0.00549mm98220010166010 69

6-12 图a所示矩形截面悬臂梁，杆端截面承受剪切载荷F作用。现用纵截面AC与

横截面AB将梁的下部切出，试绘单元体ABCD各切开截面上的应力分布图，并说明该部分是如何平衡的。

题6-12图

解： 1. 单元体的应力分析

梁内各横截面的剪力相同，其值均为F；在固定端处，横截面上的弯矩则为

M(0)Fl

与上述内力相对应，单元体各截面的应力如图b所示。在横截面AB上，弯曲切应力按抛

物线分布，最大切应力为

max3F 2bh在该截面上，弯曲正应力线性分布，最大弯曲压应力则为

c,max6Fl bh2在纵截面AC上，作用有均匀分布的切应力，其值为

3F

2bh在横截面CD上，作用有合力为F1=F/2的剪切分布力。

2. 单元体的受力分析

根据上述分析，画单元体的受力如图c所示。图中，F2代表横截面AB上由切应力构成的剪切力，F3代表该截面上由弯曲正应力构成的轴向合力，F4则代表纵截面AC上由切应力构成的剪切合力。

显然，

F2F3F 2

M(0)Sz()bhh123Fl Fl 24bh32hIz

3. 单元体的平衡

根据上述计算结果，得

F4bl3F3Fl bl  2bh2h 70

FxF3F42h2hFFhF3Fl3Fl0

FyF2F1220 MAF1lF332l2he

3Flh0 3说明单元体满足平衡条件。

6-13 图示矩形截面简支梁，承受矩为M=Fa的集中力偶作用。截面的宽度为b，高

度为h。试绘单元体ABCD的应力分布图（注明应力大小），并说明该单元体是如何平衡的。

题6-13图

解：1.画剪力、弯矩图

左、右支座的支反力大小均为F/3，方向是左向上、右向下。据此可画剪力、弯矩图示如图6-13a与b。

图6-13

2．求单元体两端面上的应力及其合力

单元体两端面及纵截面上的应力分布情况示如图c，最大弯曲正应力和剪应力值分别为

σ1max

M16Fa2FaWz3bh2bh2

M24Fa σ2maxWzbh2

τ1maxτ2max3FS2F 2A2bh 71

由切应力互等定理可知，纵截面上的切应力τx与τ2max数值相等。

左、右端面上弯曲正应力构成的轴向合力分别为

1bhFaFx1σ1max()222h

1bhFaFx2σ2max()22h左、右端面上弯曲切应力构成的竖向合力大小相等，其值为

1Fy1Fy2F

6FSxx(ab)Fa 2h纵截面上弯曲切应力构成的轴向合力为

3．检查单元体的平衡方程是否满足

Fx0，Fx2Fx1FSxFaFaFa0 h2h2hFFF0，FF0 yy1y266

Mz10，Fx23Fx13Fy2as

hhFaFaFa0 366由此可见，单元体的全部平衡方程均能满足（另三个平衡方程是恒等满足，无需写出）。

6-14 梁截面如图所示，剪力F = 200kN，并位于x-y平面内。试计算腹板上的最大

弯曲切应力，以及腹板与翼缘（或盖板）交界处的弯曲切应力。

题6-14图

(a)解：截面形心至其顶边的距离为

0.0200.1000.0100.1200.01020.080m0.0200.1000.1200.020

0.04818m yC惯性矩和截面静矩分别为

72

0.1000.02030.0100.12032Iz[0.1000.0200.0381821212 20.0100.1200.031822]m48.292106m4

0.09182353 Sz,max0.091820.020m8.43110m2 Sz0.1000.0200.03818m37.636105m3于是得腹板上的最大弯曲切应力为

τmaxFSSz,maxIzδ2001038.431105N1.017108Pa101.7MPa 628.292100.020m腹板与翼缘交界处的弯曲切应力则为

τ交界FsSz2001037.636105N79.2110Pa92.1MPa 62Izδ8.292100.020m

(b)解：采用负面积法，得截面形心至其顶边得距离为

0.1100.1500.075(0.1100.020)0.1000.070yC[]m0.081m

0.1100.150(0.1100.020)0.100惯性矩（采用负面积法）和截面静矩分别为

0.1100.15030.0900.10032Iz{0.1100.150(0.0810.075)[1212 0.0900.100 (0.0810.070)2]}m42.294105m41Sz,max[0.0300.110(0.0690.015)0.020(0.0690.030)2]m3

2 1.934104m3 Sz上0.0200.110(0.0810.010)m31.562104m3 Sz下0.0300.110(0.0690.015)m31.782104m3 于是得腹板上的最大弯曲切应力为

τmaxFSSz,maxIzδ2001031.934104N8.43107Pa84.3MPa 522.294100.020m腹板与上盖板交界处的弯曲切应力为

FSSz上2001031.562104N7τ交界上6.8110Pa68.1MPa 52Izδ2.294100.020m腹板与下盖板交界处的弯曲切应力为

2001031.782104N7τ交界下7.7710Pa77.7MPa 52Izδ2.294100.020mFSSz下6-17 图示铸铁梁，载荷F可沿梁AC水平移动，其活动范围为0<<3l/2。已知许用

拉应力[t]=35MPa，许用压应力[c]=140MPa, l=1m，试确定载荷F的许用值。

73

题6-17图

解：1.截面几何性质计算 由图6-17可得

0.1000.0200.0100.0800.0200.060yC()m0.03222m0.1000.0200.0800.020

0.1000.02030.0200.08032Iz[0.1000.0200.022221212 0.0200.080(0.0600.03222)2]m43.142106m4

图6-17

2．确定危险面的弯矩值

分析可知，可能的危险截面及相应弯矩如下：当F作用在AB段时，

lFl η， Mmax24η3lFl ， Mmax22当作用在BC段时，

3．确定载荷的许用值

由危险面B的压应力强度要求 得

σc,maxMmaxIz(0.100yC)Fl(0.100yC)[σc] 2Iz2Iz[σc]23.142106140106NF1.298104N12.98kN

l(0.100yC)1.000(0.1000.03222)由截面B的拉应力强度要求

74

得

σt,maxMmaxIzyCFlyC[σt] 2Iz2Iz[σt]23.14210635106NF6.83103N6.83kN

lyC1.0000.03222由Mmax作用面的拉应力强度要求

MmaxFlσt,max(0.100yC)(0.100yC)[σt]

Iz4Iz 得

4Iz[σt]43.14210635106NF6.49103N6.49kN

l(0.100yC)1.000(0.1000.03222)该面上的最大压应力作用点并不危险，无需考虑。 比较上述计算结果，得载荷的许用值为

[F]6.49kN

6-18 图示矩形截面阶梯梁，承受均布载荷q作用。已知截面宽度为b，许用应力为

[]。为使梁的重量最轻，试确定l1与截面高度h1和h2。

题6-18图

解：1.求最大弯矩

左段梁最大弯矩的绝对值为

右段梁最大弯矩的绝对值为

2．求截面高度h1和h2

由根部截面弯曲正应力强度要求 得

ql2M1max

2ql12M2max

2σ1maxM1maxWz16ql2[σ] 2bh12 75

3ql23q h1lb[σ]b[σ]由右段梁危险截面的弯曲正应力强度要求

(a)

σ2maxM2maxWz26ql12[σ] 22bh2得

h2l13．确定l1 梁的总体积为

3q b[σ](b)

由 得

VV1V2bh1(ll1)bh2l1b3q[l(ll1)l12] b[σ]dV0， 2l1l0 dl1l1

最后，将式(c)代入式(b)，得

l 2

h2l3q

2b[σ]为使该梁重量最轻（也就是V最小），最后取

3qll1， h12h2l

2b[σ]6-19 图示简支梁，由四块尺寸相同的木板胶接而成。已知载荷F = 4kN，梁跨度l=

400mm，截面宽度b = 50mm，高度h = 80mm，木板的许用应力[]=7MPa，胶缝的许用切应力[]=5MPa，试校核强度。

题6-19图

解：1.画剪力、弯矩图

该梁的剪力、弯矩图如图6-19所示。由图可知，最大剪力（绝对值）和最大弯矩分别为

76

22FSmaxF， MmaxFl

39

2．校核木板的弯曲正应力强度

图6-19

Mmax62Fl441030.400Nσmax2Wz9bh30.0500.0802m2 6.67106Pa6.67MPa[σ]3．校核胶缝的切应力强度

32F4103Nτmax2A32bh0.0500.080m2

1.000106Pa1.000MPa[τ]max3FS结论：该胶合木板简支梁符合强度要求。

6-21 图示四轮吊车起重机的导轨为两根工字形截面梁，设吊车自重W = 50kN，最

大起重量F = 10kN，许用应用[]=160MPa，许用切应力[]= 80MPa。试选择工字钢型号。由于梁较长，需考虑梁自重的影响。

题6-21图

解：1.求最大弯矩

设左、右轮对梁的压力分别为F1和F2，不难求得

F110kN， F250kN

由图6-21a所示梁的受力图及坐标，得支反力

77

1FAy[F1(lx)F2(lx2)]506x (0x8)l

1 FBy[F1xF2(x2)]6x10 (0x8)l

图6-21

该梁的剪力、弯矩图示如图b和c。图中， 由

MCFAyx(506x)x (0x8)MDFBy(lx2)(6x10)(8x) (0x8)dMCdM0， D0 dxdxx2519m， xm 66

得极值位置依次为

两个弯矩极值依次为

25kNm104.2kNm 619MDmax(1910)(8)kNm140.2kNm

6MCmax(5025)比较可知，单梁的最大弯矩值为

1MmaxMDmax70.1kNm

22．初选工字钢型号

先不计梁的自重，由弯曲正应力强度要求，得

Mmax70.1103m3433Wz4.3810m438cm 6[σ]16010由附录F表4初选№28a工字钢，有关数据为

78

Wz508cm3， q43.492kg/m， δ8.5mm， Iz/Sz24.6cm

3．检查和修改

考虑梁自重的影响，检查弯曲正应力强度是否满足。 由于自重，梁中点截面的弯矩增量为

ql243.4929.81102ΔMmaxNm5.33103Nm

88上面分析的最大弯矩作用面在跨中以右0.167m处，因二者相距很近，检查正应力强度时

可将二者加在一起计算（计算的σmax比真实的略大一点，偏于安全），即

MmaxΔMmax(70.11035.33103)NσmaxWz508106m2 (1.3801081.049107)Pa148.5MPa[σ]最后，再检查弯曲切应力强度是否满足。

11 FS,max[(6810)43.4929.8110310]kN31.13kN22FS,max 31.13103N7τmax1.48910Pa14.89MPa[τ]232Iz24.6108.510m()δSz结论：检查的结果表明，进一步考虑梁自重影响后，弯曲正应力和切应力强度均能满足要求，故无需修改设计，最后选择的工字钢型号为№28a。

6-22 图a所示组合木梁，由6个等间距排列的螺栓连接而成，梁端承受载荷F作用，

试求螺栓剪切面上的剪力。

题6-22图

解：螺栓的间距为

el 6用横截面1-1与2-2，从上半木梁中切取块体如图b所示，可以看出，螺栓剪切面上的剪力为

FS,bF2F1式中，

M2SzM1SzSzS(M2M1)zFSe （a） IzIzIzIzaba2Szab

22 79

b(2a)32ba3Iz

123FSF

将上述表达式代入式(a)，于是得

ba23lFlFS,bF

22ba368a6-23图示简支梁，由两根№50b工字钢经铆钉连接而成，铆钉的直径d = 23mm，许

用切应力[]=90MPa，梁的许用应力[]=160MPa。试确定梁的许用载荷[q]及铆钉的相应间距e。

提示：按最大剪力确定间距。

图6-23图

解：1.计算组合截面的Iz和Sz

由附录F表4查得№50b工字钢的有关数据为

h500mm， A129.304cm2， Iz148600cm4

Ah21Iz2Iz12()[24.861041.293041020.5002]m42.5883103m442

h1 SzA1.293041020.500m33.2326103m3222．许用载荷的确定

ql2 Mmax8

Mmaxhql2hσmax[σ]Iz8Iz8Iz[σ]82.5883103160106N[q]25.01104N/m50.1N/mm 2lh11.50.500m3．铆钉间距的确定

由铆钉的切应力强度要求来计算e。 最大剪力为

由此得组合截面的惯性矩与静矩分别为

由此得许用载荷为

80

11Fs,maxql5.0110411.5N2.881105N288.1kN

22按最大剪力计算两工字钢交界面上单位长度上的剪力（剪流q），其值为

qFs,maxSzIz288.11033.2326103N3.598105N/m 32.588310m2间距长度内的剪力为qe，它实际上是靠一对铆钉的受剪面来承担的，即

πd2πd[τ]qe2[τ]A12[τ]

42由此得梁长方向铆钉的间距为

πd2[τ]π0.023290106em0.208m208mm

2q23.5981056-24 横截面如图a所示的简支梁，由两块木板经螺钉连接而成。设载荷F=10kN，并

作用于梁跨度中点，梁跨度l=6m，螺钉间距e=70mm，试求螺钉剪切面上的剪力。

钉剪切面上的剪力为

题6-24图

解：用间距为e的横截面1-1与2-2，从上部木板中切取块体如图b所示。可以看出，螺

FS,nF2F1M2SzM1SzSzS(M2M1)zFSe （a） IzIzIzIz式中：Iz代表整个横截面对中性轴的惯性矩；Sz代表上部木板横截面对中性轴的静矩。

由图c可以看出，

yC(0.1500.020)(0.010)(0.0200.150)(0.0750.020)(m)0.0525 m

0.1500.0200.0200.15030.1500.020Iz0.1500.020(0.05250.010)2(m4)1230.0200.150 0.0200.150(0.0750.0200.0525)2(m4)1.65610-5m412

Sz0.1500.020(0.05250.010)(m3)1.27510-4m3

81

还可以看出，

FS将相关数据与表达式代入式(a)，于是得

F 2FS,n-433SzFe(1.27510m)(1010N)(0.07m)2.70kN 2Iz2(1.65610-5m4)6-25 图示截面铸铁梁，已知许用压应力为许用拉应力的四倍，即[] = 4[]，试从

c

t

强度方面考虑，确定宽度b的最佳值。

题6-25图

解：从强度方面考虑，形心的最佳位置应使

0.400myC[c]4

yC[t]即

由图中可以看出，

yC0.080 m

b(0.06m)(0.03m)(0.03m)(0.340m)(0.230m)

b(0.06m)(0.03m)(0.340m)(a)

yC(b)

比较式(a)与(b)，得

b(0.06m)(0.03m)(0.03m)(0.340m)(0.230m)0.080m

b(0.06m)(0.03m)(0.340m)于是得

b0.510 m

6-26 当载荷F直接作用在简支梁AB的跨度中点时，梁内最大弯曲正应力超过许用

应力30%。为了消除此种过载，配置一辅助梁CD，试求辅助梁的最小长度a。

82

题6-26图

解：当无辅助梁时，简支梁的最大弯矩为

MmaxF(6m) 4当配置辅助梁后，简支梁的最大弯矩变为

根据题意， 即 由此得

aF3m 2Mmax2 Mmax1.3MmaxaF3mF(6m) 21.3  42a1.385 m

6-27 图示简支梁，跨度中点承受集中载荷F作用。已知许用应力为[]，许用切应

力为[]，若横截面的宽度b保持不变，试根据等强度观点确定截面高度h(x)的变化规律。

题6-27图

解：1.求截面高度h(x) 弯矩方程为

由等强度观点可知， 由此得

梁的右半段与左边对称。

2．求端截面高度

M(x)Fx 2σmaxM(x)6Fx[σ] 2W(x)2bh(x)h(x)3Fx (0xl/2) b[σ](a)

83

由式(a)可知，在x0处，h(0)0，这显然是不合理的，弯曲切应力强度要求得不到满足，故需作局部修正。由

得梁左端的截面高度为

τmax3FS,max2A3F[τ]

4bh(0)h(0)3F 4b[τ](b)

这是满足剪切强度要求的最小截面高度，梁的右端亦同此值。

3．确定h(x)的变化规律

设可取截面高度为h(0)的最大长度为x1，为了同时满足正应力和切应力强度要求，应取

3Fx13Fh(0) b[]4b[]由此得

x13F[] 216b[]最终确定截面高度h(x)的变化规律为：

在区间(0xx1)内 h(x)3F 4b[]3Fx b[]在区间(x1xl/2)内 h(x)梁的右半段与左边对称。

6-29 图示悬臂梁，承受载荷F与F作用，已知F=800N，F=1.6kN，l=1m，许用

1

2

1

2

应力[]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸：

(1) 截面为矩形，h = 2b； (2) 截面为圆形。

题6-29图

解：(1) 矩形截面

危险截面在悬臂梁根部，危险点为截面右上角点（拉应力）和左下角点（压应力）。 最大弯曲正应力为

σmaxF2lF1(2l)6F2l6(2F1l)3l23(F24F1) 2WzWybhhb2b 84

根据弯曲正应力强度条件，要求 由此得

3l(F24F1)[σ] 2b33l(F24F1)331.000(1.61034800)bm0.0356m35.6mm

2[σ]21601063于是得

(2) 圆形截面

危险截面的总弯矩为

h2b71.2mm

22MmaxMyMz(2F1l)2(F2l)2

由弯曲正应力强度条件，要求 于是得

σmax32Mmax[σ] πd3d332Mmaxπ[σ]332(28001)2(1.61031)2m0.0524m52.4mm 6π160106-30 图示悬臂梁，承受载荷F作用。由实验测得A与B点处的纵向正应变分别为

A = 2.110-4与B = 3.210-4，材料的弹性模量E = 200 GPa，试求载荷F及其方位角之值。

题6-30图

解：横截面上A与B点处的弯曲正应力分别为

6lFcosA

bh26lFsinB

hb2将式（a）除式（b），得 由此得

(a) (b)

sinBbBb cosAhAh 85

由式（a），得

3.21040.002marctan3122 40.005m2.110EAbh2(200109Pa)(2.1104)(0.020m)(0.050m)2F1.024 kN6lcos6(0.400m)cos3122

6-31 图示简支梁，在两个纵向对称面内分别承受集中载荷作用，试求梁内的最大弯

曲正应力。

题6-31图

解：1.支反力计算

由图6-31a得支反力为

21F1y(3F)2F， F2y(3F)F33

12 F1zF， F2zF33

图6-31

2．弯矩图与危险截面分析 弯矩图示如图b。

由该图不难判断：在AC段，截面C最危险；在BD段，截面D最危险；在CD段，My

与Mz均为x的线性函数，因此，σmax也是x的线性函数，其最大值必位于该段的端点处，即截面C或截面D。

3．最大弯曲正应力计算

由以上分析可知，只需计算截面C与D的最大弯曲正应力即可，分别为

86

σC,max

MyWyMyWyMz6Fl62Fl4Fl3Wz3hb2bh2bMz62Fl6Fl7Fl232Wz3hbbh2b

σD,max由此可见，

σmaxC,max4Fl 3b 87