《组合和组合数公式》教学设计
【教学目标】
知识与能力：
正确理解组合、组合数的概念，掌握组合数公式,能用这些知识解决一些简单的组合问题。
过程与方法：
通过实例，理解组合的概念；正确认识组合与排列的联系与区别，利用组合与排列的相互联系，借助排列数公式并结合分步乘法计数原理推导组合数公式。
情感、态度与价值观：
通过组合数公式的推导，增强学生用联系的观点看问题的意识。 【教学重点】
组合，组合数的概念，组合数公式 【教学难点】
建立排列与组合之间的关系【教法】
针对本节课的内容，在组合数公式的推导过程中，启发学生从排列与组合的联系中找到推导组合数公式的突破口。引导学生掌握由特殊到一般的研究方法，增强学生的探究能力。
1
mAn＝
mmCnAm
【教具】
利用多媒体课件展示 【教学过程】
一、创设问题情境，激发学生学习兴趣，引出本节内容 问题1：从甲、乙、丙3名优秀团员中选两名同学升旗,并指定正棋手,副棋手，共有多少种不同的选法？
问题2：从甲、乙、丙3名优秀团员中选两名同学升旗,共有多少种不同的选法？
思考1:上述两个问题有什么区别？ 二、新课讲解：
（一）.组合的概念:一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
思考2:排列的概念与组合的概念有什么共同点和不同点？ 思考3：（1）ab与ba是相同的排列吗？ab与ba是相同的组合吗？
（2）两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合有什么特点？
练习1:判断下列问题是组合问题还是排列问题
（1）设集合A={a,b,c,d},则集合A的含有3个元素的子集有多少个？
2
（2）在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？
有多少种不同的飞机票价？
（3）10个人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次？
（4）从1，2，5这三个数中任取两个数相加，可以得到多少个不相等的和？
从1，2，5这三个数中任取两个数相减，可以得到多少个不相等的差？
（二）．组合数的概念组合数符号
从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做
mC从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号表示 n．．．
练习2：用组合数符号表示练习1中的组合问题
思考4：“组合数”与“一个组合”两个概念有什么区别？ （三）．组合数公式的推导
（1）探究“从4个不同的元素a,b,c,d中任取3个元素的组合数
C34”
首先，用列举法得出C4的值
3 3
然后，细致分析从a,b,c,d中任取3个元素的排列与组合之间的
33CA44关系，得出和之间的关系
最后，得出求C4值的方法
（2）推广到一般情形，得出组合数公式 （四）．例题
例1．计算：（1）
例2．求证：
例3．一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问：
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？ （2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练有多少种方式做这件事情？
4
3C74（2）
7C10．（3）
3C832C52
Cmnm1m1Cnnm．
三、课堂检测
1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：
（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？ （2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法?
2．计算：（1）
3．从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有种不同的选法 3C15；（2）
3C6C84．
4．从6位同学中选出2人去参加座谈会，有种不同的选法
四、课堂小结
五、布置作业课本27页9题，10题。
组合与组合数公式学情分析
可以说解排列、组合问题就是从生活经验、知识经验、具体情景出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.有些同学不是数学知识跟不上，而是平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规
5
的做法）.还有些学生具有一定的排列的知识，但应用排列解决实际问题的能力还很薄弱，所教班级学生的知识迁移能力、抽象思维能力和逻辑推理能力、综合应用能力都不太够。
组合与组合数公式效果分析
依据新课程标准和学生的知识结构与认知水平确定本节课的教学重点是：组合，组合数的概念，组合数公式；难点是：建立排列与组合之间的关系
mAn＝
mmCnAm
排列的特殊性在于排列中元素的“互异性”和“有序性”，例如“从甲、乙、丙3名优秀团员中选两名同学升旗,并指定正棋手,副棋手，共有多少种不同的选法？”，这就是一个排列问题。与排列比较，组合的特殊性在于它只有元素的“互异性”而不需要考虑顺序，例如，上述问题如果改为“从甲、乙、丙3名优秀团员中选两名同学升旗,共有多少种不同的选法？”，那么它就要变成一个组合问题了。这样，通过实例，学生理解了组合的概念；又利用组合与排列的相互联系，借助排列数公式并结合分步乘法计数原理建立排列与组合之间的关系
mAn＝
mmCnAm，从而推导出组合数公式，突破了难点。这样做加强了
学生对公式的理解和记忆，实现知识与技能目标。
6
教学过程中，通过创设问题情景，引导学生主动探究，积极思考，充分发挥学生的主体作用和教师主导地位。
《组合与组合数公式》教材分析
1、地位与作用
组合是人教版选修2-3第一章《计数原理》的一节重要内容，本节内容与本章其他内容均有着密切的联系。组合与排列所研究的问题是完全平行的且组合数的推导要依据排列数公式，二项式系数实际上是一组有规律的组合数且在推导二项式定理时用到了组合数性质，在求等可能事件的概率时常常涉及组合数的计算。因而学好本节课内容也是为进一步学习二项式定理及概率作好铺垫。
2、教学目标
依据新课程标准和学生的知识结构与认知水平确定本节课的教学目标为：
知识与能力：正确理解组合、组合数的概念，掌握组合数公式,能用这些知识解决一些简单的组合问题。
7
过程与方法：通过实例，理解组合的概念；正确认识组合与排列的联系与区别，利用组合与排列的相互联系，借助排列数公式并结合分步乘法计数原理推导组合数公式。
情感、态度与价值观：通过组合数公式的推导，增强学生用联系的观点看问题的意识。
3、教学重点与教学难点
依据课程标准和教学内容实际确定组合，组合数的概念，组合数公式为重点建立排列与组合之间的关系
mAn＝
mmCnAm为难点
评测练习莘县第二中学 张爱红
一、课前导入练习
问题1：从甲、乙、丙3名优秀团员中选两名同学升旗,并指定正棋
手,副棋手，共有多少种不同的选法？
问题2：从甲、乙、丙3名优秀团员中选两名同学升旗,共有多少
种不同的选法？
同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？ 思考1:上述两个问题有什么区别？ 二、课堂检测
1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：
（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？
8
（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，
有多少种不同的方法?
2．计算：（1）
3．从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法 3C15； （2）
3C6C84．
4．从6位同学中选出2人去参加座谈会，有 种不同的选法
组合与组合数公式课后反思
为了使学生能自觉地、顺利地掌握这些知识,教学中我采取了若干措施,加强了几个方面的教学,初步取得了一些效果,我的体会如下:
1.指导判定与顺序有无关系，分清排列与组合
排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.为此,指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.能列举出某种方法时，
9
让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.通过本节课的学习，学生能分清排列与组合，
2.在推导组合数公式这一难点的突破上我分了几个层次：
（1）探究“从4个不同的元素a,b,c,d中任取3个元素的组合数
C34”
首先，用列举法得出C4的值,然后，细致分析从a,b,c,d中任取
333CA3个元素的排列与组合之间的关系，得出4和4之间的关系,最后，
得出求C4值的方法
（2）推广到一般情形，得出组合数公式
我通过层层递进式，分散了教学难点，化解了学生学习的障碍，感觉比较流畅，自己也较满意。但学生在做例2时，对用组合数阶乘形式去论证等式成立，对式子的变形还不熟练，需加强组合数公式的记忆和灵活应用。
组合与组合数公式课标分析 1．整体定位
为了更好的把握组合的要求，首先需要明确整体定位。课标对组合这部分内容的整体定位如下：
“计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称
10
3为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。排列、组合是两类特殊的重要的计数问题，要求学生通过实例，理解组合的概念，正确认识组合与排列的联系与区别，利用组合与排列的相互联系，借助排列数公式并结合分步乘法计数原理推导组合数公式。了解计数与现实生活的联系，能利用计数原理排列数公式、组合数公式，解决简单的计数问题。为了更好的理解整体定位，需要明确以下几个方面的问题：
（I）正确地使用基本计数原理是这一章教学中必须抓住的一个关键。
两个基本计数原理是计数问题的开头课，中学数学课程中引进的关于排列、组合的计算公式都是以分类加法计数和分步乘法计数原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本计数原理，因此必须使学生学会正确地使用两个基本计数原理，学会正确地使用基本计数原理是这一章教学中必须抓住的一个关键。所以课程标准中特别提出“能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理，解决一些简单的实际问题。”
（II）正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件。而原理中提到的分步和分类，学生不是一下子就能理
11
解深刻的，这就需要教师引导学生，帮助他们分析，找到分类和分步的具体要求——类类互斥又不遗漏，步步独立,这就要着重进行训练。
2．课程标准的要求。
通过实例，理解组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。 3．课程标准要求的具体化和深广分析。
如何认识“通过实例，理解组合的概念，能利用计数原理排列数公式、组合数公式，解决简单的计数问题。”
第一，运用大量实例，理解组合的特殊性。排列的特殊性在于排列中元素的“互异性”和“有序性”，例如“从甲、乙、丙3名优秀团员中选两名同学升旗,并指定正棋手,副棋手，共有多少种不同的选法?”这就是一个排列问题。可以由学生思考为什么这个问题有元素的“互异性”和“有序性”的特点。与排列比较，组合的特殊性在于它只有元素的“互异性”而不需要考虑顺序，例如，上述问题如果改为“从甲、乙、丙3名优秀团员中选两名同学升旗,共有多少种不同的选法？”那么它就要变成一个组合问题了。
12
第二，组合数公式的推导是计数原理、排列数公式的一个应用过程，只有理解了排列、组合的概念，并会用两个计数原理解决实际问题，才能把组合数公式推导出来。
第三，在教学中注意通过大量实例运用组合数公式解决，但是组合数的性质只作一般性的探究，至于应用不作重点要求，更不研究排列数的性质，在数学中必须引起注意。 4．教学要求
（1）标准与大纲要求的对比与说明：
内 容 组合 《标准》目标表达 通过实例，理解组合的概念，能利用计数原理推导组合数公式，并能解决简单的实际问题。 《大纲》目标表达 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的应用问题。 在具体内容上,标准与大纲有明显区别：①在标准中这部分内容是对理科的要求,大纲中这部分内容要求为必修内容,而且文理科
13
都要求。②大纲中要求的“理解”、“掌握”、“并能用”；在标准中分别变为“通过实例理解”、”能利用”、“能解决”。
（2）教学要求:
①课时减少,要求并没有降低.这部分内容课程标准中要求的14
节,与原大纲比较少。新课程课时虽然少了,但突出了以下几点：打好基础,发展能力,注重联系,强调整体；改变学生学习方式,淡化了严格执行课程计划的提法。②突出实例, 理解组合的概念。 ③两个基本计数原理贯穿于这部内容的始终,这也是计数原理的一个应用。排列与组合是学习二项式定理、概率的预备知识，同时也是进一步学习高等数学有关分支的必备知识。课程标准对组合数的两个性质不做要求，即如何证明性质1、性质2以及它们的应用都不作要求。④注重知识的应用,掌握解决问题的过程。
14
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容