第九章 多元函数微分法及其应用(答案)

第九章 多元函数微分法及其应用

1．填空题

2z2z2z2z(1)若zfx,y在区域D上的两个混合偏导数xy，yx 连续 ，则在D上， xyyx。

(2)函数zfx,y在点x0,y0处可微的 必要 条件是zfx,y在点x0,y0处的偏导数存在。

2．求下列各极限

sinxyx0xy0xyxy11limlim(1) (2)

x0y0

xy(xy11)sinxylimlimyx0x0xy(xy11)(xy11)y0解：原式 解：原式y0

lim 100

1cos(x2y2)limx0(x2y2)x2y2y0x0y0xy112

(3)

解：原式

22xy22sin22xy2lim22x02224xyy0xy2



111lim20x22xyy0

1

3z3z22xyxyzxlnxy3．设，求及

zylnxyxlnxy1xxy解：

3z2zy1022xyx，xyx，

3z12zx1y2 xyxyy，xy24．求下列函数的偏导数

yx

(1)

zarctgzx解：

yx2222xxxyy1x1xyy2x2y2

zx类似地

yx222yxxyy1x

1(2)zlnxy

z1111lnxlnyxx2lnxlnyx2xlnxy解：

2

同理可证得：

z1y2ylnxy

xyz(3)ue

232323zexyzxy2z3y2z3exyzx解：x

223uexyzxy2z32xyz3exyzyy

uxy2z32322xy2z3exyz3xyzezz

dz2t5．设zuvtcosu，ue，vlnt，求全导数dt。

zuv2tcosuv2tsinu解：uu，

zzuv2tcosu2uvcosuvv，t

依复合函数求导法则，全导数为

dzzduzdvzdtdtudtvdttdt 1v2tsinuet2uvcosu1t

2ln2ttsinetetetlntcosett

 3

du6．设ueyz，xt，ysint，zcost，求dt。

xduudxudyudzdtxdtydtzdt 解：

xxxeyzecostesint

t 2esint

x2y2z222127．求方程abc所确定的函数z的偏导数。

解：关于x求导，得到

c2x2x2zzx2zx0az a2c2，即

关于y求导，有

c2y2y2zzy22zy02bz。 bc，即

2xzyexsin2y，求所有二阶偏导数。 8．设

解：先求一阶偏导数，得

zze2x2xcos2y2ye2xsin2yx，y

4

再求二阶偏导数，得

2zz2x2x2yesin2y4yex2xxx，

2zz2ye2xsin2y2e2x2cos2yxyyxy，

2zz2xe2xcos2y2e2x2cos2yyxxyy，

2zz2xye2xcos2y4xsin2yyy2y

xzzzlny确定的隐函数，求x，y。 9．设zfx,y是由方程z解一：记

Fx,y,zxzlnzy，则

1FyFxz，

yz1x1xz2Fzzyyz2zx2 ，

1Fzzxzx2xzxFz2z 当Fz0时，便得，

1Fyzz2yxzyFzyxz2z 。

5

xzzzlny两边求偏导数，并明确z是x、y的函数，即可得x，y。 解二：（提示）直接对方程zdy10．设xyee，求dx。

yxyxFyxeyFxyexFx,yxyee解：令，则，，则

FxdyyexdxFyxey。

2zzzz3ezxy0确定的隐函数，求x，y，xy。 zfx,y11．设是由方程

解：方程两边对x求偏导数，有

zzzy30ez1y30xxx，即

ezzy3z解得 x1e

类似地，方程两边对y求偏导数，解得

z3xy2zy1e

再求二阶混合偏导数，得

6

2z3zz3y1eye2yzz2zyyx1ez

z 把上述y的结果代入，便得：

2z3y21ezxy3ezz3xy1e。

2xzyecosy，求全微分dz。 12．设

2zzx2x2esiny2xye解：由于x，y，所以全微分为

dz22zzdxdy2xyexdxexsinydyxy。

2213．求函数zln2xy在点1,2的全微分。

解：

zx1,22x2x2y21,227，

zy1,22y2x2y21,247

所以

dz24dxdy77。

x2y2z2314．求曲面419上点P2,1,3处的切平面方程和法线方程。

7

x2y2z2Fx,y,z3419解：记，则

Fxx,y,zx2Fx,y,zzz2，Fyx,y,z2y，9

于是曲面在点P处的法线向量为

2nFx2,1,3,Fy2,1,3,Fz2,1,31,2,3 从而，切平面方程为

x2y1z31223。

1x22y122z30x2yz6033，即，法线方程为

15．求曲线

x4t23，yt，zt3上点M0x0,y0,z0，使在该点处曲线的切线平行于平面x2yz6。

解：曲线在点M0x0,y0,z0处的切线方程为

xx0yy0zz0xt0yt0zt0

又切线与平面x2yz6平行，即切线的方向向量和平面的法向量垂直，应有

4224t3t0t000xt01yt02zt01033 ，即，得

848,,M0所以点的坐标为9927。

8

16．求函数

fx,y4xyx2y2的极值。

fxx,y42x0fx,y42y0Bfxy2.20解：解方程组y，求得驻点2,2，由于Afxx2,220，，

Cfyy2,222，ACB0，所以在点2,2处，函数取得极大值，极大值为f2,29。

2x2fx,yexy2y的极值。 17．求函数

2x2fxx,ye2x2y4y101,12xfyx,ye2y20Afxxx,y4e2xxy22y12解：解方程组，得驻点。由于，

1,12x2x22Bfxyxy4ey1Cfyyx,y2e，在点2处，A2e0，B0，C2e，ACB4e，所e11f,1,12。 以函数在点2处取得极小值，极小值为2xy,x,y0,022fx,yxy0,x,y0,0在点0,0处：①连续，偏导数存在；②连续，偏导数18．二元函数

不存在；③不连续，偏导数存在；④不连续，偏导数不存在。

解：应选③

xyk222x0xy1kykx0limx0事实上，由于

，随k的值不同而改变，所以极限不存在，因而fx,y在点0,0处

不连续，又

fx0,0limx202xx00，类似地

fy0,00，所以fx,y在0,0处的偏导数存在。

zz2z1xy，求x，y。 19．设

y 9

2v解：令u1xy，vy，于是zu，得

zzuzvxuxvx

vuv12xyuvlnu02xy21x2yy1，

zzuzvyuyvy

vuv1x2uvlnu1

x2y1x2yy11x2yln1x2y。

yxzzy0，求20．设

dzx1y1z1。

zFxzxxFzy解：令，

Fzxlnzx1zxzyzlny，

zFyyFzyz1x1zxzyzlny

dzzzdxdyxy，于是在1,1,1处dzdy。

20．设zfx,y是由方程fxz,yz0所确定的隐函数，其中f具有连续的偏导数，求dz，并由

zz此求x和y。

10

解：方程两边求全微分，得

f1dxzf2dyz0，即f1dxf1dzf2zdyudz0，

即 f1dxzf2dyf1yf2dz0，当f1yf20时，解出

f1zf2dzdxdyf1yf2f1yf2

由此得到

f1zxf1yf2，

zf2zyf1yf2。

21．求函数uxyz在点5,1,2处沿从点5,1,2到点9,4,14方向的方向导数。

解：L95,41,1424,3,12

4312coscoscos|L|13，13,13，13。

uuuucoscoscoslxyz因为

4312yzxzxy131313

所以

ul5,1,2421298210513141313。

11