单变量不等式的证明

单变量不等式的证明

方法一 移项作差构造法证明不等式

ln xae1

[例1] 已知函数f(x)＝1－，g(x)＝x＋－bx(e为自然对数的底数)，若曲线y＝f(x)

xex与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直．

(1)求a，b的值；

2

(2)求证：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥.

xln x

[解] (1)因为f(x)＝1－，

xln x－1

所以f′(x)＝，f′(1)＝－1.

x2

ae1ae1

因为g(x)＝x＋－bx，所以g′(x)＝－x－2－b.

exex

因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1,1)，且在点A处的切线互相垂直， 所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1， 即g(1)＝a＋1－b＝1，g′(1)＝－a－1－b＝1， 解得a＝－1，b＝－1.

e1

(2)证明：由(1)知，g(x)＝－x＋＋x，

ex2ln xe1

则f(x)＋g(x)≥⇔1－－x－＋x≥0.

xxexln xe1

令h(x)＝1－－x－＋x(x≥1)，

xex

1－ln xe1ln xe

则h′(x)＝－＋＋＋1＝＋＋1. xx2ex2x2exln xe

因为x≥1，所以h′(x)＝2＋x＋1＞0，

xe

所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以h(x)≥h(1)＝0， ln xe1

即1－－x－＋x≥0，

xex2

所以当x≥1时，f(x)＋g(x)≥.

x[解题技法]

待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证．

方法二 隔离审查分析法证明不等式

1

[例2] (2019·长沙模拟)已知函数f(x)＝ex2－xln x．求证：当x＞0时，f(x)＜xex＋.

e111

[证明] 要证f(x)＜xex＋，只需证ex－ln x＜ex＋，即ex－ex＜ln x＋.

eexexex－11

令h(x)＝ln x＋(x＞0)，则h′(x)＝2，

exex

111

0，上单调递减，在，＋∞上单调递增，则h(x)min＝h＝0，所以ln x易知h(x)在eee1

＋≥0. ex

再令φ(x)＝ex－ex，则φ′(x)＝e－ex，

易知φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，则φ(x)max＝φ(1)＝0，所以ex－ex≤0.

1

因为h(x)与φ(x)不同时为0，所以ex－ex＜ln x＋，故原不等式成立．

ex[解题技法]

若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．

方法三、放缩法证明不等式

[例3] 已知函数f(x)＝ax－ln x－1. (1)若f(x)≥0恒成立，求a的最小值； ex

(2)求证：＋x＋ln x－1≥0；

x

(3)已知k(ex＋x2)≥x－xln x恒成立，求k的取值范围． ln x＋1

[解] (1)f(x)≥0等价于a≥.

xln x＋1ln x

令g(x)＝(x＞0)，则g′(x)＝－2，

xx

所以当x∈(0,1)时，g′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0，

则g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝1，则a≥1， 所以a的最小值为1.

(2)证明：当a＝1时，由(1)得x≥ln x＋1， 即t≥ln t＋1(t＞0)．

－－

ex

令＝t，则－x－ln x＝ln t， xex

所以≥－x－ln x＋1，

xex

即＋x＋ln x－1≥0. x

e

(3)因为k(e＋x2)≥x－xln x恒成立，即k＋x≥1－ln x恒成立，

x

－x

－x

－

－

－

ex

＋x＋ln x－1x1－ln x

所以k≥－x＝－＋1， －eex

＋x＋xxxex

由(2)知＋x＋ln x－1≥0恒成立，

xex

＋x＋ln x－1x

所以－＋1≤1，所以k≥1. －ex

＋xx故k的取值范围为[1，＋∞)． [解题技法]

导数的综合应用题中，最常见就是ex和ln x与其他代数式结合的难题，对于这类问题，可以先对ex和ln x进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负．常见的放缩公式如下：

(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号； (2)ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号；

1

(3)当x≥0时，ex≥1＋x＋x2, 当且仅当x＝0时取等号；

2e

(4)当x≥0时，ex≥x2＋1, 当且仅当x＝0时取等号；

2x－1(5)≤ln x≤x－1≤x2－x，当且仅当x＝1时取等号；

x2x－1x－1

(6)当x≥1时，≤ln x≤，当且仅当x＝1时取等号．

x＋1x－－

－