三 直线的参数方程
[对应学生用书P27]
1．直线的参数方程
(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数为
x＝x0＋tcos α
y＝y0＋tsin α
(t为参数)
(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t的几何意义
参数t的绝对值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离． (1)当M0M―→与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数． (2)当M0M―→与e反向时，t取负数，当M与M0重合时，t＝0.
[对应学生用书P27]
[例1] 已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P(1,1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点P到点M(5,4)的距离．
[思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．
3
[解] 由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为，设直线的倾斜角为α，
4334
则tan α＝，sin α＝，cos α＝.
455又点P(1,1)在直线l上，
4
x＝1＋t，5
所以直线l的参数方程为3
y＝1＋t5
直线的参数方程
(t为参数)．
因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上．
4
由1＋t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5.
5
理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t的几何意义，即直线上动点M到定点M0
的距离等于参数t的绝对值是解决此类问题的关键．
5π
1．设直线l过点A(2，－4)，倾斜角为，则直线l的参数方程为________________．
6
5π
x＝2＋tcos ，6
的参数方程为5π
y＝－4＋tsin6
解析：直线l
(t为参数)，即
3
x＝2－t，21y＝－4＋t2
(t为参数)．
3
x＝2－t，2答案：
1
y＝－4＋t2
(t为参数)
π
2．一直线过P0(3,4)，倾斜角α＝，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M与P0之间
4的距离．
2
x＝3＋t，2
解：设直线的参数方程为
2
y＝4＋t，2将它代入已知直线3x＋2y－6＝0， 得3(3＋
22
t)＋2(4＋t)＝6. 22
112
解得t＝－，
5
112
∴|MP0|＝|t|＝.
5
π
[例2] 已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝，
6(1)写出直线l的参数方程．
(2)设l与圆x＋y＝4相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积．
[思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．
π[解] (1)∵直线l过点P(1,1)，倾斜角为，
6
2
2
直线参数方程的应用
∴直线的参数方程为π
y＝1＋tsin，6
x＝1＋tcos，
3
x＝1＋t，2即
1y＝1＋t2
π
6
为所求．
(2)因为点A，B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为
A(1＋
3131
t1,1＋t1)，B(1＋t2,1＋t2)， 2222
2
2
2
以直线l的参数方程代入圆的方程x＋y＝4整理得到t＋(3＋1)t－2＝0，① 因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2. 所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2.
求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数
t的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．
π22
3．直线l通过P0(－4,0)，倾斜角α＝，l与圆x＋y＝7相交于A、B两点．
6(1)求弦长|AB|； (2)求A、B两点坐标．
π
解：∵直线l通过P0(－4,0)，倾斜角α＝，
63
x＝－4＋t，2
∴可设直线l的参数方程为
ty＝2.代入圆方程，得(－4＋
2
3212
t)＋(t)＝7. 22
整理得t－43t＋9＝0. 设A、B对应的参数分别t1和t2， 由根与系数的关系得t1＋t2＝43，t1t2＝9 ∴|AB|＝|t2－t1|＝
t1＋t2
2
－4t1t2＝23.
解得t1＝33，t2＝3，代入直线参数方程 3
x＝－4＋t，21y＝2t，
13353得A点坐标(，)，B点坐标(－，)．
2222
42
4.如图所示，已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l和抛物线y3＝2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，求：
(1)P，M间的距离|PM|； (2)点M的坐标．
4
解：(1)由题意，知直线l过点P(2,0)，斜率为，
34
设直线l的倾斜角为α，则tan α＝，
3
34
cos α＝，sin α＝，
55∴直线l的参数方程的标准形式为 3
x＝2＋t，54y＝5t
(t为参数)． *
∵直线l和抛物线相交，
∴将直线l的参数方程代入抛物线方程y＝2x中， 整理得8t－15t－50＝0，Δ＝15＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t1，t2，
1525由根与系数的关系得t1＋t2＝，t1t2＝－.
84由M为线段AB的中点， 根据t的几何意义，得|PM| ＝
2
2
2
t1＋t2＝15.
216
15
(2)因为中点M所对应的参数为tM＝，
16将此值代入直线l的参数方程的标准形式(*)， 31541x＝2＋×＝，51616得4153
y＝5×16＝4，
即M
41，3.
164
[对应学生用书P28]
一、选择题
2
1．直线的参数方程为
3
y＝2－t，2
tx＝－1＋，
M0(－1,2)和M(x，y)是该直线上的定点和
动点，则t的几何意义是( )
A．有向线段M0M的数量 B．有向线段MM0的数量 C．|M0M| D．以上都不是
x＝－1＋
解析：参数方程可化为
3
y＝2＋2
答案：B
x＝3t＋2，
2．曲线的参数方程为2
y＝t－1
2
1
－2－t.
－t，
(t是参数)，则曲线是( )
B．双曲线的一支 D．射线
A．线段 C．圆
2
2
解析：由y＝t－1得y＋1＝t，代入x＝3t＋2， 得x－3y－5＝0(x≥2)．故选D. 答案：D
x＝2＋3t，
3．直线
y＝－1＋t2
(t为参数)上对应t＝0，t＝1两点间的距离是( )
B.10 D．22
A．1 C．10
解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t＝0，t＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即
答案：B
x＝tcos α，
4．若直线
y＝tsin α2－5
2
＋－1－0
2
＝10.
x＝4＋2cos φ，
(t为参数)与圆
y＝2sin φ
(φ为参数)相切，那
么直线倾斜角α为( )
A.C.π
6π 3
B.D.π 4π5π或 66
解析：直线化为＝tan α，即y＝tan α·x， 圆方程化为(x－4)＋y＝4， ∴由
|4tan α|
12
＝2⇒tanα＝， 2
3tanα＋1
3π5π
，又α∈[0，π)，∴α＝或. 366
2
2
yx∴tan α＝±答案：D 二、填空题
2
x＝2＋t，2
5．直线
2
y＝－3－t2点的坐标是________．
(t为参数)上到点M(2，－3)的距离为2且在点M下方的
2
x＝2－－t，2
解析：把参数方程化成标准形式为
2
y＝－3＋－t，2
把－t看作参数，所
求的点在M(2，－3)的下方，所以取－t＝－2，即t＝2，所以所求点的坐标为(3，－4)．
答案：(3，－4)
3
x＝1－t，5
6．若直线l的参数方程为4
y＝5t
(t为参数)，则直线l的斜率为______．
34
解析：由参数方程可知，cos θ＝－，sin θ＝.(θ为倾斜角)．
554
∴tan θ＝－，即为直线斜率．
34
答案：－
3
x＝1－2t，
7．已知直线l1：
y＝2＋kt
x＝s，
(t为参数)，l2：
y＝1－2s
(s为参数)，若l1∥l2，
则k＝____________；若l1⊥l2，则k＝________.
解析：将l1，l2的方程化为普通方程，得
l1：kx＋2y－4－k＝0，l2：2x＋y－1＝0， k24＋kl1∥l2⇒＝≠⇒k＝4.
2
1
1
kl1⊥l2⇒(－2)·(－)＝－1⇒k＝－1.
2
答案：4 －1 三、解答题
x＝5＋3t，
8．设直线的参数方程为
y＝10－4t
(t为参数)．
(1)求直线的普通方程；
(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式． 解：(1)把t＝4
得y＝10－
x－5
33
代入y的表达式 ，
x－5
化简得4x＋3y－50＝0，
所以直线的普通方程为4x＋3y－50＝0. 3
x＝5－－5t，5
(2)把参数方程变形为4
y＝10＋－5t，53
x＝5－t′，5
令t′＝－5t，即有4
y＝10＋t′5
2
(t′为参数)为参数方程的标准形式．
9．已知斜率为1的直线l过椭圆＋y＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的
4长度．
π
解：因为直线l的斜率为1，所以直线l的倾斜角为. 4
x2
椭圆＋y＝1的右焦点为(
4
x2
2
2
x＝3＋t，2
3，0)，直线l的参数方程为
2y＝t2
(t为
22
3＋t
222x2
参数)，代入椭圆方程＋y＝1，得＋t＝1，
442
2
整理，得5t＋26t－2＝0. 设方程的两实根分别为t1，t2， 262
则t1＋t2＝－，t1·t2＝－，
55|t1－t2|＝＝ 2
t1＋t2
2
－4t1t2
26288
－＋＝， 555
8
所以弦AB的长为.
5
x＝1＋4cos θ，
10．已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
y＝2＋4sin θ
(θ为参数)，
π
直线l经过定点P(3,5)，倾斜角为.
3
(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；
(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值． 解：(1)曲线C：(x－1)＋(y－2)＝16， 1x＝3＋t，2直线l：
3
y＝5＋t2
2
2
(t为参数)．
(2)将直线l的参数方程代入圆C的方程可得t＋(2＋33)t－3＝0，
设t1，t2是方程的两个根，则t1t2＝－3，所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3.
2
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