静电场中导体接地问题姜静电场中导体接地问题涛是求解静电问题的一个难点学生在解这类问题时往往对焦六所求结果执内为什么”的想法∀请看下面一例在一个半径分别为 ,和 !的带电球壳侍同心放一个半径为 的接地中性导体球# ∃ %&求空间的电势分布以及中性导体球上的净的感应电荷这个问题可用电磁学知识求解也可从静电问题的一般理论求解确定感应电荷的分布前者的关键在于后者则是先从边值间题出发然后求出净的感应电荷尽管出发点不同两种方法都可以从定量的方面求出接地的中性导体(的表面上净感应电荷为‘ 丁)∗一一 丁一 —’’既然接地中性导体球(出现了净的感应电荷)是否与静电平衡时导体壳内的电场处处为零相矛盾本文就这个问题谈谈接地中性导体处于不同形式的静电场中—‘+夏, 压‘那么该带电过程是怎样进行的它其表面是否会出现净的感应电荷问题并由此得到一种定性分析这种间题的方法∋‘目−于非均匀电场中的接地导体为了叙述方便体我们把接地中性导体#即未接地前导体上无加置电荷&简称接地导‘我们考虑下面情况&设有一点电荷+#+./它在周围空间激发一个静电场0在这个静电场中置入一个中性导体(的表面是否出现净的感应电亘我们知道见图二静电平衡后将(一端接地我们分析此时(由于静电场0。的作用‘导体中的自由电子就逆着静电场方塑运动’‘于是’在(的两端就积累了正负电荷该感应电荷)在周围空间激发一个附加电场0与外电场0。当电荷口积累到一定的程度其附加电场0共同作用使(内的电场处处为零此时(内无电荷运动了我们称之为达到了静电平衡由于施感电荷是点电荷其)‘激发的电场0尹对电荷+分布没有影响否则感应电荷)‘将影响施感电荷+的重新分布以达到一种新的稳态值得指出的是(上净的感应电荷仍为零我们把上述物理过程用下图简单表示出言作用无导体(出,0。,。,。二(军内—,习阶“一1思了激”2粤若言023言万。十言百二静电二平衡‘几言0234一1净电荷+‘二。设(一端感应电荷为丫则有旧5.6丫5证明见参考书〔7〕此时从+发出的电力线部分终止于(的左端另一部分终止于无穷远处根据电力线总是指向电位降落方向则有甲+.甲(.甲238这就是说中性导体(处于+的静电场中其电位由零上升到甲(现在我们再看看(的接地问题见图二在分析接地问题时我们应抓住接地时电位为零这个关键由于(的电位降至零此时9(之间电位差△甲1甲9一甲(增大另外由于接地前后9(之间的距离未变由“甲一北苏沂知必须,。之间的电场强度增大也即从,发出电电力线而终止于(的电力线较未接地时增多根据电力线的有源性这个增多的电力线和原来终于左端的电力线就是由于接地而出现的净的感应电荷换句话讲由于接地中性导体(在静电场的帮助下与大地发生了电荷交换使(出现了净的感应电荷于是我们有如下结论〔结论7〕置于点电荷电场中的接地导体其表面一定会出现净的感应电荷仿照上面分析方法我们可得出下面的一般结论把一一个任意形状的带电体移到接地的导体附近这时导体表面(将出现净的感应电荷这里读者可考虑这个问题把中性导∀,,令置于静电场中然后再接地与把接地的中性导体置于静电场中上述结论是否仍成立!从上文我们可以看到分析导体接地间题的关键在于抓亡∃》住接地后电位为零这一事实进而分析接地后导体周围的电场是否变化如有变化则接地必出现净感应电荷反之无加净的三比几感应电荷我们用这种方法来分析下面一例把一块原来不带电的导体板∀移近一块已带电的导体板仆扫#如图三当∀板一侧接地后我们分析∀上是否出现净%∃的感应电荷,中性导体∀移近#板时由于静电感应将出现感应电荷见图三#99:&使得(的电位由零变到非零当(板一侧接地后其电位又由非零降至零(之间电位差将增大,由叭30;知两板之间的电场强度增大这就是说从板发出而终于(板的电力线较未接地时增多一直增多到9板左侧正电荷全部移到右侧为止见图三#<&−于带电球宪内的接地导体现在我们回到本文开始所提出的问题见图一首先我们假设(未接地时看看带电球壳内放入一中性导体球的物理过程是怎样实现的外移至球壳内由前面分析知第一种情况是把中性导体球(从壳在移动过程中(由于静电感应使(的电荷分布改变#净电荷仍为零&电位愈高球电位由零变到非零不然且随着(距球壳愈近但(的电位决每不会高于月的电位(就会出现电力线从(发出而终于9的现象/当(移入球壳后月∀与9同电位即甲一甲.不然就会由于电位差而使壳内部出现电力线#即电场&与壳内无带电体时另一种情况壳内电场处处如零相矛盾就是用且来包围(此过程可用一七七三年卡文迪许用来测定库包定律反平方律的实验来完成具体过程见参考书〔=〕在这种情况下用上述方法仍可得出9与(同电位的结论当(接地时(的电位降至零这样9(之间电位差由零而增高使得9(之间的电场强度0由零变为非零即从9的内壁有电力线发出而终于(球这就是说地而出现了净感应电荷方法=(由于接下面我们用两种方法来计算出净的感应电荷)‘导体球壳9(把空间分为二个区域?7:≅。>. !! ,∃>∃ 在这两个区域内无自由电荷分布:故满足7方程Α关ΒΒ,甲Χ3?≅%>. ,,3 ∃>∃ %我们采用球坐标系而仅与有关即印3甲#≅Ε/二&则知该问题的电位甲与极角/以及方位角Δ无于是7:?7:方程在球坐标系下的形式为势解得谧少去。Φ一#一争,一。>Α印‘∗,互. !甲3≅,二Γ ∃>∃ 份由于有四个待定系数>及3 因此必须有四个关系式确定之,该间题的边界条件是‘8以边界条件为>‘甲Φ中两区域的边值关系为甲6!Φ一、Α∀一擎;,Η变,鲁龚么‘一。Ι‘求这个定解间题我们有!一7甲3=尸>ϑ !兀Ε4>ϑ兀≅4 一互一 一=, Η一=.,2+了一==Φ一−详细过程见参—ϑ兀 ∃>∃ Ε。Κ—>—一石式∗、,ΦΙ考书〔Φ〕导体(上的感应电荷可用下式求得一‘羹!蹂“Λ一ΜΙ匕“求出,一=)1一、一∗∗ 二万一 升二一下’不,一万2一‘ 不!二布一‘一+丫方法Φ由上面分析知(上有感应电荷)‘此时导体壳上的电荷分布为Μ左3一),ΜΝ!二+,)‘依电位迭加原理知空间任一点电位均由这些电荷共同激发对于球心当然不例外注意到(是个等位体以及电位为零这一事实27:;Η。,·有甲。1业二Ο兰ϑ兀。4 ∀盛ϑ兀2已 —干ϑ萝:尹几。4 !一丫∀+,)ϑ兀。4 22一止一ϑ式。拦4 一丁ϑ几一一−Π一一、式八1￡4!Θ,二一 !一= 一‘一 一=十 !一=〔结论Φ〕置于带电导体壳内的接地中性导体其表面一定有净电荷−于匀均电场中的旅地导体把一个接地导体球置于一均匀电场中见图四下面我们来分析其表面是否会出现净的感应电荷间题我们知道在没有接地以前球左侧电力线来自无穷远右侧电力线止于无穷远于是出现印∋.甲左甲右.甲∋故有甲右.甲左与静电平衡时导体是个等位体相矛盾由于通常规定甲83。于是解决这个矛盾的唯一途径只有导体球的电位为零既然(的电位为零接地以后它与周围空间的电位差不会改变亦即电力线不会由于接地而增多于是(上无净的感应电荷下面我们用电像法来定量计算这个间题我们知道电像法是求解点电荷与导体的静电问题的一种方法其基本思想是在所考虑的区域外用几个量值适当的点电荷来摸拟所需要的边界条件中有平面镜有意思的是几何光学我们这里球面镜成像的间题而在静电学中某些情况下的导体平面与球面也具有这种作用这里的像不过是电荷的像故称电像求解这种问题常用分离变数法用电像法求解,6首先我们提出一种均匀电场点电荷的摸型狰队的理论干 设有两个点电荷士+如图五#:&所示分别位于%3有一个平行于%处则在原点附近的一小区域#其线度小于 &内轴的近似稳定电场0。Ν一ϑ卫一一兀≅Ρ如果我们让 趋于无穷的过程中Ν、增加1刀−>使+也”+二、、。保证书二么为常数的极限沙1 1协叭,。,Ι”“。Σ,、、结于是上述这种瓜一11近似稳定的电场就变为完全恒定了如果在这:种恒定的电场中导体球放在原点我们把一个半径为的接地不则此时置入点电荷士+电场中接地导体球表面处的边界条件可用位于昔位置处的∀。丫令。电荷来摸拟这样球外空、的电位为二一上一了一2一、怪兀匕。Κ>!一旦%夕+二一∋Ι: 82一8、∋2ϑ=兀￡4Α∗一∗Φ∗———一一旦一一一—>Χ>二>一Ι:+Φ一Ι, >’,+=〔#一 &,>%,Φ Ε4Η4〕〔#一不厂&2=’%> Τ8‘4〕:ΤΦΙ ’+:Φ)>≅4Η〔#顶一&,’>一Φ下面我们利用公式丁一>≅4Η。〕盖〔尸Φ,>“一% Μ&〕了5,二,第一项分母一“一#=,Ν尸一’不瑞一#7,二&一十一>一卜合八二,羚,一箭孺二!,一。带乙,Φ,天一≅。。,=一〔冬#一,军只八Φ共式。。。&〕第二项分母第三项分母‘Ν『一‘>韶黯箫一〔一,韶兴…‘‘一〔∗”二“。“命4’〕第四项分母Ν 一〔∀一冬#一二。。Η。&〕芯Ο认飞Φ丫上式中忽略了在 1,时极限情况下等于零的项代入甲的表达式中则甲27””,ϑ兀Ε4心杀一铭一Φ+:!Υ一Φϑ叹Ε4 么一不一Τ8二廿>一一ϑ>Ε4Η兀一4:ΗΕ4Η4一04∗了=一Τ8Λ匕>口Η3一04#>Ε48一Ε4‘>/&,二一万。>十ϑ兀Ε4:0。毕ϑ几毕04牛>30/’>十3户,竺石ϑ兀艺4>意义球外空间的电位由两部分组成一部分是原场百。另一部分是球面上感应电荷产生的由此我们得到一个结论接地导体球置于均匀电场中的电像是一对位于球心处的电偶极子利用甲的表达式我们可求出感应电荷感应电荷密度为·,一居臀=2厂‘“。万。“。“。球面上总的感应电荷。,一/,;一!Τ80一4一‘·。;”;:一!=￡。0。Ας一∀·‘·”二4;”Ο;:一。意义由于处在均匀电场中的净感应电荷为零故接地导体球在均匀电场中的行为与孤立导球在均匀电场中的行为一致这样我们对置于均匀电场中接地导体球其表面没有净电荷有一个全面认识了到此为止我们对不同形式的净电场中的接地导体表面是否有净的感应电荷问题基本上有一个完整的认识最后顺便提一句可能有人会说接地提供了交换电荷的条件所以说净的电荷不是感应得到的故不应称为静的感应电荷这里我们应该认识到这种净的电荷主要归结为静电场如果没有静电场对导体的作用中性导体接地是绝对不会出现净电荷的总结全文我们还可得到一种定性分析这种问题的方法我们把这种方法用下图表示出来”电场一霆聋瞿雪一一嚣烹霆嚣菜、如果我们熟悉了这种方法并对一些接地问题有了一个认识以后我们在求解这类静电间题时就不会感到是似而非了澎口玲参考书#=&#Φ&〔!&〔ϑ〕《电磁学》《电动力学》梁灿斌等编人民教育出版社郭硕鸿编曹昌祺编〔美&ΟΩ杰克逊著人民教育出版社《电动力学》人民教育出版社各孚6《经典电动力学》朱培豫译人民教育出版社近轴成象计算中的一种验算方法孙慕渊近轴成象的计算可以先利用解析法求解已为大家所熟知然后通过三条特殊的光线作图求解而进行验算这种方法这里我想通过几何光学与平面几何的联系借用一道初等数学题的结论介绍近轴成象计算中的另一种简易验算法一一道初等数学证明题如图一9Τ“<在△9(Τ中:乙93=Φ/乙9的平分线交(Τ于Ω设9(3。9Ω3求证粤,粤3粤执8‘Ξ证明在△9(Τ中Η依正弦定理有2Ψ。亡乙(ΓΡ乙ΤΤ石……#=&今碑同理在△9ΩΤ中有ΗΓ,乙月ΩΤ2<ΨΓΡ匕Τ:一#Φ&#Φ&式两边相减/Α#。‘匕厅一Γ。艺月ΩΕΗ&3#Ρ粤‘一&Ζ,乙Ε冬“如能证得则’∋,ΗΓΡ乙(一Ψ=,乙9ΩΤ“一Γ乙Τ,李白土3‘粤“乙(9Τ3=Φ/