广义CH方程的周期波解及数值模拟

第１６卷第１期　云南民族：走学学报（自然科学版）　Ｖ０ｉ．１６　Ｎｏ．１　２００７年１月　Ｊｏｕｍ￣ｏｆ　Ｙｕｎｎａｎ　Ｎａｔｉｏｎａｌｉｔｉｅｓ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒｌａ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｊａｎ．２００７　广义ＣＨ方程的周期波解及数值模拟　唐民刚　谢绍龙　（１．玉溪师范学院计算机科学系，云南玉溪６５３１００；２．玉溪师范学院数学系，云南玉溪６５３１００）　摘要用微分方程分支理论和计算机数值模拟方法研究广义ＣＨ方程的周期波解．给出了行波系统的分支相图，利用　相图的周期轨构造出了周期波解，在数学软件Ｍａｐｌｅ支持下用汁算机进行数值模拟，发现了周期波的两种极限情况，第一种情　况是光滑周期波趋于周期尖波，第二种情况是光滑周期波趋于光滑孤立波．这些结果丰富了广义Ｃｔｔ方程的研究内容．　关键词广义ＣＨ方程；周期波解；分支理论；数值模拟　【中图分类号】０１７５．１４　【文献标识码】Ａ　【文章编号】１６７２—８５１３（２００７）０１—００１３—０５　Ｔｈｅ　Ｐｅｒｉｏｄｉｃ　Ｗａｖｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　Ｔｈｅｉｒ　Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ＣＨ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　Ｔａｎｇ　Ｍｉｎｇａｎｇ　Ｘｉｅ　Ｓｈａｏｌｏｎｇ。　（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｙｕｘｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｙｕｘｉ　６５３　１　００，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｙｕｘｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｙｕｘｉ　６５３１００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｗａｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｌ‘ａｌｉｚｃｄ　ＣＨ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ａｒｅ　ｉｎｖｅｓｔｉ　ｇａｔｅｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅ　ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　ｐｈａｓｅ　ｐｏｒｔｒａｉｔｓ　ｏｆ　ｔｒａｖｅｌｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍ　ａｒｅ　ｇｉｖ　ｅｎ．Ｔｈｅ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｗａｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｏｒｂｉｔｓ　ｏｆ　ｐｈａｓｅ　ｐｏｒｔｒａｉｔｓ．Ｔｈｅ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｉｍｕｌａ—　ｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｒｕｆ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｏｆｔｗａｒｅ　Ｍａｐｌｅ．Ｔｗｏ　ｌｉｍｉｔｅｄ　ｃａｓｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｗａｖｅ　ａｒｅ　ｄｉｓｃｏｖｅｒｅｄ．Ｉｎ　ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ　ｃａｓｅ，ｔｈｅ　ｓｍｏｏｔｈ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｗａｖｅ　ｔｅｎｄｓ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｃｕｓｐ　ｗａｖｅ．Ｉ　ｎ　ｔｈｅ　ｓｅｃｏｎｄ　ｃａｓｅ，ｔｈｅ　ｓｍｏｏｔｈ　ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｗａｖｅ　ｔｅｎｄｓ　ｔｏ　ｔｈｅ　ｓｍｏｏｔｈ　ｓｏｌｉｔａｒｙ　ｗａｖｅ．Ｔｈｅｓｅ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｅｎｒｉｃｈ　ｔｈｅ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｉｎ　ｃｏｎｔｅｎｔｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ＣＨ　ｅｑｕａｔｉｏｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　ＣＨ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｐｅｒｉｏｄｉｃ　ｗａｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　ｔｈｅｏＵ；ｎｕｔｎｅｌ’ｉｃａｌ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　文献［１］研究了广义ＣＨ方程　“ｌ＋２ｋｕ　一“　ｆ＋（Ｉ，１ＡＨ　＝２ｕ　＋　，　（１）　的尖孤立子解和周期尖波解．如果令“＝　（　）和　＝　—ｃｔ，那么方程（１）变成　ｃ　＋２　＋ｃ　Ⅲ＋Ⅱ　＝２　”＋　．　对（２）积分一次得到　（　一ｃ）　”：　＋（２七一ｃ）　一　１（　＋ｇ　在（３）中令Ｙ＝　，则有平面系统　毒＝ｙ，　＝（詈　２＋（２ｋ－ｃ）　一虿ｉ），　＋ｇ）／（　一　（４）　文献［ｉ］研究了（４）中ｇ＝０的情形，在这种情形下利用相平面分析方法获得了尖孤立子解和周期尖波　解的显函数表达式；文献［２］则在“＝３和ｇ＃０条件下研究了系统（４）的分支相图，然后利用分支相　从３　个角度研究了方程（１）的尖孤立子解，获得了尖孤立子解的具体表达式．在文献［３］中，我们用数学软件　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ对大学生综合素质进行测评，获得了比较好的效果．在本文中我们用微分方程分支理论　４　和教　学软件Ｍａｐｌｅ　对方程（１）进行了研究，文中主要考虑ｏ＜０时周期波的存在性，构造出了周期波解的表达　｛　收稿日期：２００６一ｏ３—２２．　基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０５７１０６２）．　作者简介：唐　刚（１９６２一），男，讲师，主要从事计算机软件方面的研究　维普资讯 http://www.cqvip.com

云南民族大学学报（自然科学版）　第ｌ６卷　式，在某些条件下，周期波解是隐函数形式，而在另外一些条件下，周期波解是非常简单的三角函数形式．在　数学软件Ｍａｐｌｅ下，我们用计算机模拟了周期波解的两个极限情况，第一种极限情况是光滑周期波变成周期　尖波，第二种极限情况是光滑周期波变成光滑孤立波．这些结果丰富了广义ＣＨ方程的研究内容．　１分支相图　注意到（４）中有一条奇直线　＝ｃ，这条奇直线给我们的研究带来不便，为了暂时避开这条奇直线令　，＝（　一ｃ）ｄＴ．　（５）　在这个变换下，系统（４）变成了哈密顿系统　＝（　＿ｃ）　，　＝　ａ　＋（２ｋ＿ｃ）　＋ｇ一　１　２．　（６）　哈密系统（６）中没有了奇直线，这对我们的研究是很有利的，注意到（４）和（６）有相同的首次积分　（　，　）＝（　一ｃ）　一詈　＋（ｃ一２ｋ）ｑ￣　一２卵＝ｈ．　图．现讨论（６）的奇点及其性质，令　（７）　因此除了直线　＝ｃ之外，（４）和（６）的拓扑相图是相同的，这样一来就可以利用（６）的相图来了解（４）的相　）＝—孚　＋（２ｋ—ｃ）　＋ｇ，　。：±　（８）　（９）　！二　墨圭　（！二兰　二　～，　ａ　ｇ　（　）：　口　．　．　（１０）　于是得到　）的图形如图ｌ所示．当。＜０和ｃ一２ｋ＞０时其图形是类似的，只是图形向左平移／　—、　宰　一　０　７　（ａ）９＞９１（ｃ）　（ｂ）９＝９１（ｃ）　图１　当ｎ（０和ｃ一２ｋ＜０时　＝／（　）的图形　，（　）＼　（ｃ）９＜９１（ｃ）　由方程组　（　一ｃ）　－－０，　ａ　＋（２ｋ—ｃ）　＋ｇ一—　１　：０，　（１１）　（１２）　（１３）　（１４）　（１５）　有　和　＝ｃ，争　＋（２ｋ—ｃ）ｃ＋ｇ一　１　＝０　Ｙ＝０，　）－０．　＝ｃ，　０　土、　．　和　Ｙ＝０，　＝　２±；　或　：０，　：—ｃ－—２ｋ．　进一步得到奇点处的雅可比矩阵如下；　）＝　（１６）　（１７）　ｕ±，０）＝　（０　＿ｃ］．　由（１６）和（１７）得到奇点处的特征值如下：　Ａ　（　，０）＝～　Ａ　（　Ｕ＋，０）＝　、　）厂　，　，　（１８）　（１９）　维普资讯 http://www.cqvip.com

第１期　唐民刚等：广义ＣＨ方程的周期波解及数值模拟　Ａ　（ｃ，　ｕ±）＝￣／ｙｕ±，　（２０）　令ｇ　（ｃ）＝　！。二　，ｃ。＝　，ｇ。　譬　．由上符号记法和讨论得以下关于奇点及其性质的命题．　），且是一个退化鞍点．　命题１　系统（６）的奇点具有以下的分布和性质：　１）在ｃ—ｇ平面上，分支曲线ｇ，（ｃ）和ｇ。（ｃ）有唯一的交点（ｃ。，ｇ。）当ｃ≠ｃ。时，总有ｇ　（ｃ）＞ｇ　（ｃ）．　２）当ｇ＜ｇ。（ｃ）时，系统（６）没有奇点．　３）当ｃ≠ｃ。及ｇ＝ｇ　（ｃ）时，系统（６）有唯一奇点（０，　４）当ｃ≠ｃ。及ｇ　（ｃ）＜ｇ＜ｇ　（ｃ）时，系统（６）有２个奇点（（Ｄ０＋．０）及（（Ｄ　，０）．当ｃ：＜ｃ。时，（　，０）是鞍点　（（Ｄ　０一，０）是中心；当ｃ＞ｃ。时，（（ＤＵ＋，０）是巾心，（　，０）是鞍点　５）当ｃ≠ｃ。及ｇ＝ｇ　（ｃ）时，系统（６）有２个奇点（（ＤＵ＋，０）及（（Ｄ　，０）．当ｃ＜ｃ。时，奇直线（Ｄ＝ｃ过（　ｃＪｔ，　０），（　，０）是中心；当ｃ＞ｃｏ时，（Ｄ＝ｃ过（Ｃ－．Ｏ），（　，０）是中心．　６）当ｇ＞ｇ　（ｃ）时，系统（６）有４个奇点（（Ｄ０＋，０），（　０＿，０），（ｃ，　ｕ＋）．前２个奇点是中心，后２个奇点是鞍点　２ｋ）７）当ｃ＝ｃ。及ｇ＝ｇ。时，系统（６）有唯一奇点（０，，－且是一个退化鞍点．　，。一　，ｇ２（ｃ）　＼　＼　厂”／　　０上ｌ　～　ｒ　ｕ＿、、ｌ　一　ｉ　ｌ　，－　ｃ　　‘二　、　／，，，　：、、、Ｊ　ｕ＿一　Ｉ＼。＼‘　／、、、一一／　，，一一　‘　、　＝ｃ　＼　．　Ｉ　ｌ　ｆ／　＼　　ｃ　Ｉ口＝　Ｉ　／　＼　／　，　Ｉ　＿０＝　／’　＝　ｆ　　＼．＼１７ｌ（ｃ）　图２系统（４）和《６）的分支相图　证明：　由ｇ。（ｃ）一ｇ　（ｃ）＝（ｎｃ＋２　一ｃ）　／８ａ，得到命题１中的第１。个结ｉ仑由（Ｄ　及　的表达式（９），容易　看到．（ｉ）当ｃ＜ｃ０且ｇｌ（ｃ）　ｇ＜ｇ２（ｃ）时，有ｃ＜（ＤＵ’　（Ｄ”．；（ｉｉ）当ｃ＞ｃ０且ｇ１（ｃ）　ｇ＜ｇ２（ｃ）时，有（Ｄ０　ｓ　＜ｃ；　（ｉｉｉ）当ｃ＞ｃ。且ｇ＝ｇ　（ｃ）时．有（Ｄ０＋＜Ｃ－＝ｃ；（ｉｖ）当ｃ＜ｃ。且ｇ＝ｇ　（ｃ）时，有ｃ＝（Ｄ【】＋＜　；（ｖ）当ｇ＞ｇ　（ｃ）时，　有　＜ｃ＜Ｃ－．根据以一ｌ－＿分析和特征值的表达式（１８），（１９）和（２ｏ）得到命题１的第２。到第７。个结论．　由命题１及首次积分（７）我们画出系统（６）的分支相图如图２所示．除奇直线　＝Ｃ外，系统（４）及（６）　的拓扑相图是相同的．　２周期波解　首先给出椭圆积分和椭圆函数　的一些符号．用　（　）表示第一类完全椭圆积分，用ｎ（Ｍ，　。）表示第三　类不完全椭圆积分，用１７（　，ｋ）表示第三类完全椭圆积分，ｓｎ　＝ｓｎ（ｕ，ｋ）表示正弦雅可比椭圆函数，　ｓｎ～ｕ＝ｓｎ　（ｕ，ｋ）表示ＳＦＩＵ的反函数．对于给定的参数ｎ＜０和ｋ，让ｃ，ｇ和‰是３个任意常数，令　（２１）　Ｐ＝（３ｃ一６ｋ—　０＋￣／（　０＋６ｋ一３ｃ）　一４ａ（６ｇ一３ｃ　ｕ＋６　０＋　ｏ２））／２ａ，　（２２）　（２３）　（２４）　１５　维普资讯 http://www.cqvip.com

云南民族大学学报（自然科学版）　第１６卷　，＝——，　：　．　（２５）‘Ｊ／　，　０一Ｐ　；　一（　。一ｑ）（ｃ—ｐ）’　一（　，　。一Ｐ）（ｃ—ｑ）’　（２６）　。　（２７）　“／￣２：　命题２对于给定ｎ＜０和任意的常数ｋ，ｃ，ｇ，　。，考虑以下６个条件（并见图２）．　条件１：ｃ＞ｃ０，ｇ１（ｃ）＜ｇ＜－ｇ２（ｃ）且　：＜　０＜ｏ．　条件２：对任意常数ｃ，ｇ＞ｇ２（ｃ）且ｏ＜　。＜ｃ．　条件３：ｃ＜ｃ０，ｇ１（ｃ）＜ｇ　ｇ２（ｃ）且　０＋＜　ｏ＜　：．　条件４：对任意常数ｃ，ｇ＞ｇ２（ｃ）且ｃ＜　＜　Ｕ＿．　条件５：对于Ｃ＜ｃ０，ｇ＝ｇ２（ｃ）且　０＝　：．　条件６：对于Ｃ＞Ｃ０，ｇ＝ｇ２（ｃ）且　０＝　：．　１）如果条件１，２之一成立，那么方程（１）有周期为２７’．的周期波解“＝　（　），在［一　。，　。］上　具有隐　函数表达式　（√　，　－）＋（　一　）Ⅱ【　ｎ　（√　＝，　），　】　卢　（　一ｌｆ１），　’　，　（２８）　（２９）　（３０）　其中　÷［砰　（ｋ　）＋（　一ｋ　）Ⅱ（　，　）］．　２）如果条件３，４之一成立，那么方程（１）有周期为２　的周期波解“＝　（　），在［一　，　］　函数表达式　具有隐　硌　ｌｌ（√赢　）＋（　２ｚ　）Ⅱ　（　其中　一，　２　（　１）＇　（　。一ｇ）　（３１）　２、　伍　丽’　（３２）　（３３）　麦［　；　）＋（　２　一　；）Ⅱ（　２　３）如果条件５成立，那么方程（１）有ｕ＝　（　）的周期波解，　具有显函数表达式　＝　一　ｃｏｓ√　√　（３４）　４）如果条件６成立，那么方程（１）有“＝　（　）的周期波解，　具有显函数表达式　＝　＋　ｃｏｓ（３５）　—证Ｈ月：注蒽到，在以上６个条件之一Ｆ，系统（４）过（　。，０）的轨遭都是一个闭轨．在条件　ｌ或２之下，在　Ｙ平面上，该闭轨有表达式　＝±√　一＝　．７　三　√　Ｙ一　，　。　≤ｐ＜ｑ＜ｃ．　，　＜　．　（３６）　在条件３或４之下，在　一Ｙ平面上，该闭轨有表达式　，，＝±（３７）　在条件５之下，在　一Ｙ平面上，该闭轨有表达式　＝±√———　—　，／　，ｃ＜　＜　　：．　（３８）　维普资讯 http://www.cqvip.com

第１期　唐民刚等：广义ＣＨ方程的周期波解及数值模拟　在条件６之下，在　一Ｙ平面上，该闭轨有表达式　Ｙ一＝土　／．／　———　————一＇。　：＜　十　　＜。．－　（、３Ｊ　／９）　把以上表达式分别代人系统（４）的第一式，并分别沿相应的闭轨积分就可获得命题２的所有结论．　３数值模拟　注意到上面所研究的周期波解“＝　（　）的图形与方Ｎ（３）的积分曲线是等同的，因此可利用方程（３）的　积分曲线的变化情况来了解周期波的变化情况．下面用２组数据来模拟方Ｎ（３）的积分曲线．　例１取　：一１，ｋ＝１，得ｃ０＝１．进一步取ｃ＝０．５＜ｃ０，得ｇ１（ｃ）＝一１．１２５，ｇ２（ｃ）＝一０．６２５，让ｇ＝１＞　ｇ　（ｃ），有　０＋＝一０．５６１５５．在　０＋与ｃ之间取３＂ｉ－ｆ￣ｏ．１，０．４，０．４９９作为　（０）的值并令　（０）＝０，我们模拟　出方程（３）的积分曲线如图３所示．　Ｖ　Ｕ．６．４　～。．？　－斗＼Ｖ－．Ａ　＾…６　ｌ６…曲　ｚｌ／　…２　１Ａ　．６Ｉ　ｌ（ａ）　（０）＝０．１，　（０）＝０　（ｂ）　（【））＝０．４，　（０）＝０　（ｃ）　（０）＝＝０．４９９，　（（））＝０　图３当。＝一１．．Ｉ｝＝１．ｃ＝０．５及ｇ＝１时．方程（３）的积分曲线模拟图　注ｌ　由图３看到，当ｇ＞ｇ　（ｃ），　‘　＜　＜ｃ且　。趋于ｃ时，周期波慢慢失去光滑性。变成周期尖波．　例２利用图１中的数据。＝一１，ｋ＝ｌ，ｃ　＝ｌ，ｇ　（ｃ）＝一１．１２５，ｇ２（ｃ）＝一０．６２５．取ｇ＝一０．８，显然有　ｇｌ（ｃ）＜ｇ＜ｇ２（ｃ）．从而有ｏ＝２．３０６２３，　：＝３．１　１２４５１５．在　和　：之间取３个值２．８，３．１１２４及　３．１１２４５　１５作为　（０）的值并让　（０）＝０，模拟出方程（３）的积分曲线如图４所示．　＼　（ａ）　（Ｏ）＝２．８，　（０）＝０　（ｂ）　（０）＝３．１１２４，　（０）＝０　（ｃ）　（０）＝３．１１２４５１５，　（０）＝０　图４当“＝一１．ｋ＝１．ｃ＝０．５及ｇ＝一０．８时．方程（３）的积分曲线模拟图　注２　由图４看到，当ｃ＜ｃ。，ｇ　（ｃ）＜ｇ＜ｇ：（ｃ），　０＿＜　。＜　：且　。趋于　：时。周期波的周期慢慢增大，　变成了光滑孤立波．　参考文献：　［１］ＱＩＡＮ　Ｔ　Ｆ，ＴＡＮＧ　Ｍ　Ｙ．Ｐｅａｋｏｎｓ　ａｎｄ　Ｐｅｒｉｏｄｉｃ　Ｃｕｓｐ　Ｗａｖｅｓ　ｉｎ　ａ　Ｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ　Ｃａｍａｓｓａ—Ｈｏｌｍｅｑｕａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｃｈａｏｓ，Ｓｏｌｉｔｏｎｓ　ａｎｄ　Ｆｒａｅｔａｌｓ，２００１，１２：１３４７—１３６０．　Ｅ２１　刘正荣．关于Ｃａｍａｓｓａ—Ｈｏｌｍ方程尖孤立子解的扩展［Ｊ］．云南民族大学学报：自然科学版，２００４，１３（１）：３—９－　［３］左国超，唐民刚．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ软件在学生素质测评中的应用［Ｊ］．云南民族大学学报：自然科学版，２００１，２３（１）：ｌ３—１５‘　［４］　韩茂安，朱德明．微分方程分支理论［Ｍ］．北京：煤炭工业出版社，１９９４・　『５］ＢＡＲＲＯＷ　Ｄ，ＢＥＬＭＯＮＴＥ　Ａ，ＢＯＧＧＥＳＳ　Ａ，ｅｔ　ａ１．Ｓｏｌｖｉｎｇ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉｌａ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ＭＡＰＬＥ　Ｖ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｃｏｌｅ　Ｐｕｂ—　ｌｉｓｈｉｎｇ　Ｃｏｍｐａｎｙ，１　９９８．　『６］ＢＹＲＤ　Ｐ　Ｆ，ＲＲＩＥＤＭＡＮ　Ｍ　Ｄ．Ｈａｎｄｂｏｏｋ　ｏｆ　Ｅｌｌｉｐｔｉｃ　Ｉｎｔｅｇｒａｌｓ　ｆｏｒ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｓ　ａｎｄ　Ｓｃｉｅｎｔｉｓｔｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，１９７１－　（责任编辑杨多立）　１　７