论文1235

摘要：Floater和Hormann提出的有理重心插值具有很好的性质，在逼近论及相关领域中有重要的应用。对Floater和Hormann的插值方法，当d=2时， 证明了插值节点等距时，其对应的Lebesgue函数的最大值在区间的两个端点处取到。

关键词：有理重心插值；Lebesgue函数；逼近

1引言

Floater和Hormann[1]提出的重心有理插值具有很好的性质，在逼近论及相关领域中有

重要的应用。有理插值对应的Lebesgue函数在区间[a,b]上的最大值称为Lebesgue常数[2]，它反映了有理插值的稳定性。Hormann等研究过等距节点下Floater-Hormann有理重心插值的Lebesgue常数的上界和下界[3]。他们绘制的图形表明，对于不同的d，Lebesgue函数的最值所在的区间也不一样。当d=0及d=1时，Lebesgue函数在[a,b]的中点或中点附近取得最值。当d2时，Lebesgue函数应该在[a,b]的区间的两端取得最值，并且随着d值的增大，Lebesgue函数在两端取得最值的趋势越明显[3]，但他们没有从理论上证明这一现象。本文证明了当d=2时， Floater和Hormann重心有理插值所对应的最大值确实在端区间取到。

2主要的结果和证明

Floater-Hormann[1]有理重心插值的基函数为

bj(x)(1)jjxxj(1)ii,xxi0inj0,...,n. (1)

相应的Lebesgue函数n(x)定义为

n(x)bj(x)j0j0nnjxxjj0n(1)jjxxj (2)

（2）中的权重由下面的组合数给出

jdk0k,nddjkj2,kd,njifjd,

ifdjnd,ifjnd.考虑到对称性我们假定 k[n/2]-1其中[x]代表不超过x的最大整数。 当xjkk1,时,xj,令 t2nx2k11,1,

nnn从而Lebesgue函数可以表示为

n,k,d(t)[1]

kj0kj2j1t(1)jkj2j1tj0j0nk1jk1kj0Nn,k,d(t)2j1t: (3) jDn,k,d(t)nk1(1)jk12j1tKai Hormann证明了（3）没有奇点，也就是说，Dn,k,d(t)0。 对于d=2，我们有：

定理1.当d=2且k是正偶数时,

n,k1n,k并且n,k2n,k。

证明. 由(3)我们得到

n,k1,2(t)j0k1j0k1j2j1tjk1(1)k1j2j1tj0j0nk2jk2Nn,k1(t)Nn,k(t)f1(t)2j1t:. jDn,k1(t)Dn,k(t)g1(t)nk2(1)jk22j1t当 k 为偶数，n 是奇数时,

f1(t)g1(t)1211212k3t2k1t2k1t2(nk)5t2(nk)3t2(nk)1t121(1)n2(1)n1(1)n22k3t2k1t2k1t2(nk)5t2(nk)3t2(nk)1tn 是奇数时 g1(t)0，那么显然有n,k1(t)n,k(t)。 当k 和n都是偶数时 ,

g1(t) 880(2k3t)(2k1t)(2k1t)(2n2k5t)(2n2k3t)(2n2k1t)同样有 n,k1(t)n,k(t)。

所以，对于偶数k，对任意的n，都有n,k1(t)n,k(t).类似地我们可以证明，k是偶数时,

n,k2n,k。证毕。

下面我们证明本文的主要结论:

定理2.当d=2时，Floater-Hormann有理重心插值对应的Lebesgue函数在两个端区间上取得最值。

证明.当n 是奇数时 ,

n,(n1)2(t)(n1)2j0(n1)2j0(n1)2j2j1tj0j0(n1)2j(n1)2(1)j(n1)2j2j1t2j1t= j(n1)2(1)j(n1)22j1t44314431(...)(...)1t3tn2tnt1t3tn2tnt(n1)21(n1)244(1)3(1)44(1)(n1)213(1)(n1)2(...)(...)1t3tn2tnt1t3tn2tnt显然n,(n1)2(t)n,(n1)2(t)，因为n,(n1)2(t)是一个C1上的连续函数，所以

n,(n1)2(t)在n,(n1)2(0)处取得最大值。

当(n1)2是奇数的时候,

111314(1...)35n4n2n:a1b1 (4) n,(n1)2(0)11131c1d14(1...)35n4n2n对于(4),令

1111113131a14(1...),c14(1...),b1,d1.

35n435n4n2nn2n又

134431(...)1t1t3t2n5t2n3t2n1t, n,0(t)134431(...)1t1t3t2n5t2n3t2n1t如前所述，n,0(t)近似在区间(1,1)的中间部分取得最大值，所以我们考虑t0处获得

*n,0(t)的一个下界。

1114314(1...)352n72n52n32n1:a2b2 (5) n,0(t)n,0(t*)111431c2d24(1...)352n72n52n32n1其中 a2,b2,c2,d2仿（4）式给出。 那么

111111(1...)(...)a23n6n4n2n2n7. c2(11...11)(11...1)3n6n4n2n2n74122n10111...(1...)a1335(n6)(n4)3n6n4n5,

111222c1(1...)...3n6n4335(n6)(n4)然而

2n24n161111...(...)(2n9)(2n7)n2n2n92n7n(n2)n1

111122(...)...n2n2n92n7n(n2)(2n9)(2n7)因此

a2a1. c2c1d22 c2b216n242n21d1，4c1d24n26n6假令

d2dt,从而 12t(t), c2c1a1b1a2d1a2c1ac2a14t, 121211c1d1c1d1c1d112tc1(12t)12t类似的，我们可以得出

a2b2a24tc2d2c2(1t)1t

由于

a2a1a24ta14t,因此 , c2c1c2(1t)1tc1(12t)12t从而

a2b2a1b1.

c2d2c1d1*这也即说明n,0(t)n,0(t)n,(n1)2(t).

采用同样的方法，当(n1)2是偶数的时候，我们可以得出同样的结论。 对于定理2的第二部分，当n是偶数的时候，

n,n21(t)2j1tjn21(1)n21jj0j0n21n21jj0n2jn22j1tj02j1t= j(1)n2jn22j1t44314431(...)(...)1t3tn3tn1t1t3tn1tn1t n22n21n21n244(1)3(1)44(1)3(1)(...)(...)1t3tn3tn1t1t3tn1tn1t=:Nn,n21(t)Dn,n21(t)a (6) bab(=2t121121)()

n3tn1tn1tn3tn1tn1t121 222222(n1)t(n1)t(n3)t可见当n较大时，有ab.

略去较小的误差，我们近似可以看做Nn,n21(t)Nn,n21(t).从而有

n,n21(t)n,n21(t)，所以n,n21(t)在n,n21(0)处取得最大值。

当n21是偶数的时候，

1114118(1...)11a1b13n5n3n1n1n3 (7) n,n21(0):11111411c1d18(1...)3n5n3n1n1n311314(1...)1a132n52n32n12b2 (8) n,0(t)n,0(0):111131cd224(1...)32n52n32n1其中a1，b1，c1，d1以及a2，b2，c2，d2仿（4）式给出。 采用定理2第一部分同样的分析方法，我们可以得出：

1111a1a12ta1b1a12t2b22 且. 11111c1dc(1t)1tcdc(12t)12t222111111a2a1a1a1b12b2,所以有 1因为 >1 11c2c1c2d2c1d111111111也即是有n,0(t)n,0(0)n,n21(t), 这样我们就证明了定理2。

3 数值算例

图1 d2时的 Lebesgue函数n(t)的n1个等距节点在n10,20时的图像

图2 d2时的 Lebesgue函数n,n21(t)在n20,40处的图像

4 数据分析

令l2(aab2a2a2b2a2)，它表示2和2之间的逼近程度，类似地可以定义l1: c2c2d2c2c2c2d2表3 取不同的n值，（5）和（6）式中n,0和n,n21值的变化趋势

n,0 n,n2-1 a2c2 n,0(0)3.7131 4.0239 4.1696 4.6177 5.2046 5.6489 7.1135 3.7144 4.0236 4.1689 4.6166 5.2038 5.6463 7.1134 n 49 79 99 199 499 999 9999 b2d2 3.9991 3.9050 3.9418 3.9538 3.9772 3.9910 3.9955 L2 -0.04% 0.01% 0.02% 0.02% 0.02% 0.05% 0.00% b1d1 a1c13.2019 3.5959 3.7393 4.1825 4.7661 5.2071 6.6724 n,(n-1)2(0)3.1849 3.5822 3.7276 4.1753 4.7625 5.2051 6.6721 L1 0.53% 0.38% 0.31% 0.17% 0.08% 0.04% 0.00% 1.9997 1.9400 1.9625 1.9700 1.9850 1.9940 1.9970 baaba和的值越接近的时候，的值就越接近的值， dccdcab3121譬如将n,0中的换成，可以计算出当n=49,79,99时

cd2n32n12n32n1由表中的变化趋势可以看出，当

的值分别为3.6928,4.0066,4.1540，显然更接近于

a的值,因此在做插值逼近的时候，适当c地对插值系数进行修正，可以得出更好的逼近效果.

5结束语

通过以上分析，证明了当d=2时等距插值节点对应的Lebesgue函数的最大值在区间的两个端点取到，进一步作图可以看到，当d2时，等距插值节点对应的Lebesgue函数都具有这个性质。等距节点的Lebesgue函数其他的一些优良性质，譬如对称性，最值的渐进性，还有切比雪夫节点、呈对数分布的插值节点的相应的一些性质还有待继续探究。

参考文献

[1]M.S. Floater, k. Hormann, Barycentric rational interpolation with no poles and high rates of approximation, Numer.Math.107 (2) 2007:315-331.

[2]Bos,L.,De Marchhi,S.,Hormann,K.:On the Lebesgue constant of Berrut’s rational interpolation at equidistant nodes.J. Comput.Appl. Math.236(4), 2011:504-510. [3]Bos,L.,De Marchhi,S.,Hormann,K.:On the Lebesgue constant of Berrut’s barycentric rational interpolation at equidistant nodes,Numer.Math.2012,121:461-471.

The Nature of the Value on the Lebesgue Function of

Barycentric Rational Interpolation

Abstract:The family of barycentric rational interpolants introduced by Floater and Hormann is very well-suited for the approximation of functions and related areas as well as their derivatives.As for the interpolants methods of Floater and Hormann ,when d=2,it can be proved that the Lebesgue function obtains its maximum at two endpoints intervals.

Key words:barycentric rational interpolation; the Lebesgue function;approximation