2006年杭州市第一次高考科目教学质量检测

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数学参考评分标准（理科）

一. 选择题 （本大题共10小题, 每小题5分, 共50分） 题号 答案 1 A 2 B 3 A 4 C 5 B 6 D 7 C 8 A 9 C 10 D 二．填空题: （本大题有4小题, 每小题4分, 共16分）

1010911. （– ，3] . 12 C10pC10p9(1p) .

13.

5 . 14. 0 < a 5– 2 (或q < x  p , 其中q > 0, p5– 2) . 5

三. 解答题: （本大题有6小题, 每小题14分，共84分) 15. (本小题满分14分)

由(b + c)x 2 –2ax + (b – c ) = 0有相等实根，

得 ⊿= 4a 2 – 4( b + c )(b – c) = 0， 3分 即 a 2 + c 2 – b 2 = 0 ，

∴ B = 90 . 3分 又sinCcosA – cosCsinA=0 ，

得 sin (C – A) = 0 . 2分

∵–

< C – A < ， 2分 22∴ A = C，

∴△ABC是B为直角的等腰直角三角形. 2分

16. (本小题满分14分)

ax0 由，得a > 0 , x > 0 . 3 分

xa不等式化成： lg(2ax) < lg(10a + 10x) 3分 得2ax < 10a + 10x

(a – 5)x < 5a 2分 当 0 < a < 5时， a – 5 < 0, 解得x >0, 2分 当 a = 5时，不等式为0•x < 25, 得x > 0, 2分 当 a > 5时， a – 5 > 0, 解得0 < x <17．(本小题满分14分) 解1: |

5a. 2分 a53233211a - b | = | (sinx–cosx, -) | 2分

22222313= (sinx–cosx)2 + 3 分

2243= sin2(x – ) +. 3分

43

2, ∴–< x - < , 2分 33333 ∴ 0  sin2(C– ) < , 2分

433361得 |a -b |  [, ). 2分 2222323113解2: |a – b | = | a |2 – a·b + | b |2 2分

22244313 = sin2 – sinxcosx + (cos2x +1) 2分

2443133=sin2–sinxcosx + cos2x +

2444313= (cosx – sinx)2 + 2 分

2243= sin2(x – ) +. 2分

432  0 < x < , ∴–< x - < , 2分

33333 ∴ 0  sin2(C– ) < , 2分

4332361得|a - b |  [, ). 2分

2222  0 < x <

18 . (本小题满分14分)

解：

(1) P(x) = R (x) – C (x) = – 10x3 + 45x2 + 3240x – 5000 (xN且x[1, 20]); 2分 MP (x) = P ( x + 1 ) – P (x) = – 30x2 + 60x +3275 (xN且x[1, 20]). 2分 (2) P`(x) = – 30x2 + 90x + 3240 = – 30( x +9 )(x – 12) (xN且x[1, 20]) 3分 当1< x < 12时, P`(x) > 0, P(x)单调递增, 当 12 ∴ x = 12 时, P(x)取最大值, 3分 即, 年建造12艘船时, 公司造船的年利润最大. 1分 (3) 由MP(x ) = – 30( x – 1) 2 + 3305 (xN且x[1, 20]).

∴当1< x  20时，MP (x)单调递减. 2分 MP (x)是减函数说明: 随着产量的增加，每艘利润与前一台比较，利润在减少.1分

19． (本小题满分14分)

（1） 长度ξμm P 宽度ημm P 29 0.3 19 0.3 30 0.5 20 0.4 31 0.2 21 0.3

4分

（2）P(ζ = 96) = 0.30.3 = 0.09;

P(ζ = 98) = 0.30.4 + 0.50.3 = 0.27;

P(ζ = 100) = 0.50.4 + 0.20.3 + 0.30.3 = 0.35; P(ζ = 102) = 0.20.4 + 0.50.3 = 0.23; P(ζ = 104) = 0.20.3 = 0.06. 得，周长分布律如下表所示

周长μ μm 96 98 100 102 104 P 0.09 0.27 0.35 0.23 0.06 6分 （3）方法1（利用周长的分布计算）

Eμ= 96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.8 4分 方法2（利用矩形长与宽的期望计算） 由长和宽的分布率可以算得

Eξ=29×P(ξ=29)+30×P(ξ=30)+31×P(ξ=31) =29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9

Eη=19×P(η=19)+20×P(η=20)+21×P(η=21) =19×0.3+20×0.4+21×0.3=20

由期望的性质可得

Eμ=2(Eξ+Eη)=2×(29.9+20)=99.8 4分

20. (本小题满分14分)

m2m[(a1)m2]m0am2(1) 由, 得32m1mam2mam2由(1)得 m =

(1)(2) 2分

2, a1当a = 2时, m = 2, 满足(2)式;

x2当a = 3时, m = 1, 不满足(2)式, 舍去. 得f ( x ) = ( x  1). 3分

2x21()2an111(2) 由条件得f() 21an4S2(aa)nn22()2an∴ an(1 – an) = 2Sn (3) , 2分 令n = 1,得 a1 = –1,

又an – 1 (1 – an – 1 ) = 2S n – 1 , ∴( an + a n – 1 )( an + 1 – a n – 1 )= 0,

由an – a n – 1 = – 1 , a1 = –1,得{an}是首项为– 1, 公差为– 1的等差数列,

∴ an= – 1 + (n – 1 )( – 1)= – n . 3分 (3) 由(2)知,满足条件的数列不惟一.

考虑到a1  1, 由 an = – a n – 1 及an – a n – 1 = – 1和a1 = –1,

构造数列{ –1, –2, 2,–2, –3, – 4, … , – n +2, … }. 2分 用数学归纳法证明,该数列满足(3)式,

当n = 1, 2, 3, 4, 5时,直接代入可得(3)式成立, 假设n = k ( k  5)时,(3)成立, 则n = k + 1时, Sk+1 =S k + a k+1 =

111ak(1 – ak) + a k + 1 = (–a k +1)(1 + ak+1) + a k + 1 =ak+1(1 – a k+1). 222 所以n = k + 1时(3)式成立, 即该数列满足题设条件.

得满足条件的数列不惟一.

构造数列也可能是:

{ –1, 1, –1, –2, –3, – 4, … , – n , … };

{ –1, –2,2, –2, 2, –2, … , (–1) n – 1 2 , … }( n > 1 ) { –1, –2,2, –2, –3, – 4, … , – n , … }等等.