微分几何(彭家贵_陈卿)习题答案(1)

习题一（P13）

2.设a(t)是向量值函数，证明：

（1）a常数当且仅当a(t),a(t)0； （2）a(t)的方向不变当且仅当a(t)a(t)0。

（1）证明：a常数a2常数a(t),a(t)常数

a(t),a(t)a(t),a(t)0

2a(t),a(t)0a(t),a(t)0。

（2）注意到：a(t)0，所以

a(t)的方向不变单位向量e(t)a(t)a(t)常向量。 若单位向量e(t)a(t)a(t)常向量，则e(t)0e(t)e(t)0。 反之，设e(t)为单位向量，若e(t)e(t)0，则e(t)//e(t)。

由e(t)为单位向量e(t),e(t)1e(t),e(t)0e(t)e(t)。从而，由e(t)//e(t)e(t)e(t)e(t)0e(t)常向量。

所以，a(t)的方向不变单位向量e(t)a(t)a(t)常向量 e(t)e(t)0a(t)a(t)a(t)d(1)a(t)a(t)dta(t)0 1a(t)a(t)a(t)ddt(12a(t))1a(t)a(t)a(t)0 a(t)a(t)0。即

a(t)的方向不变当且仅当a(t)a(t)0。

补充：

定理 r(t)平行于固定平面的充要条件是r(t),r(t),r(t)0。

1

证明：\"\"：若r(t)平行于固定平面，设n是平面的法向量，为一常向量。

于是，r(t),n0r(t),n0,r(t),n0

r(t),r(t),r(t)共面r(t),r(t),r(t)0。

\"\"：若r(t),r(t),r(t)0，则r(t),r(t),r(t)共面。若r(t)r(t)0

则r(t)方向固定，从而平行于固定平面。

若r(t)r(t)0，则r(t)r(t)r(t)。令n(t)r(t)r(t),则

n(t)r(t)r(t)r(t)r(t)r(t)r(t)r(t)(t)r(t)(t)r(t)(t)r(t)r(t)(t)n(t)n(t)n(t)0，又n(t)0n(t)有固定的方向，又n(t)r(t) r(t)平行于固定平面。

3.证明性质1.1与性质1.2。

性质1.1（1）证明：设v1(x1,x2,x3),v2(y1,y2,y3),v3(z1,z2,z3),v2v3(w1,w2,w3)，则

iv2v3y1z1jy2z2yy32zz32jx2w2ky3y3,z3z3y1y1,z1z1y2w1,w2,w3 z2w1y2z3y3z2,w2y3z1y1z3,w3y1z2y2z1,i左=v1(v2v3)x1w1kxx32ww32x3x3,w3w3x1x1,w1w1x2w2x2w3x3w2,x3w1x1w3,x1w2x2w1x2[y1z2y2z1]x3[y3z1y1z3],x3[y2z3y3z2]x1[y1z2y2z1],x1[y3z1y1z3]x2[y2z3y3z2] [x2z2x3z3]y1[x2y2x3y3]z1,[x3z3x1z1]y2[x3y3x1y1]z2,[x1z1x2z2]y3[x1y1x2y2]z3[x2z2x3z3]y1,[x3z3x1z1]y2,[x1z1x2z2]y3[x2y2x3y3]z1,[x3y3x1y1]z2,[x1y1x2y2]z3[x2z2x3z3x1z1]y1,[x3z3x1z1x2z2]y2,[x1z1x2z2x3z3]y3[x2y2x3y3x1y1]z1,[x3y3x1y1x2y2]z2,[x1y1x2y2x3y3]z3[x1z1x2z2x3z3]y1,y2,y3[x2y2x3y3x1y1]z1,z2,z3v1,v3v2v1,v2v3右（2）证明：设v1(x1,x2,x3),v2(y1,y2,y3),v3(z1,z2,z3),v4(w1,w2,w3)，则

2

iv1v2x1y1iv3v4z1w1jx2y2jz2w2kxx32y2y3kzz32w2w3x3x3,y3y3x1x1,y1y1x2y2X1,X2,X3X1x2y3x3y2,X2x3y1x1y3,X3x1y2x2y1.z3z3,w3w3z1z1,w1w1z2w2Y1,Y2,Y3Y1z2w3z3w2,Y2z3w1z1w3,Y3z1w2z2w1.左=v1v2,v3v4X1Y1X2Y2X3Y3(x2y3x3y2)(z2w3z3w2)(x3y1x1y3)(z3w1z1w3)(x1y2x2y1)(z1w2z2w1)[x2z2y3w3y2w2x3z3y1w1x3z3x1z1y3w3x1z1y2w2y1w1x2z2][x2w2y3z3y2z2x3w3y1z1x3w3x1z1y3w3x1w1y3z3x1w1y2z2y1z1x2w2][(x1y1z1w1x2y2z2w2x3y3z3w3)x2z2y3w3y2w2x3z3y1w1x3z3x1z1y3w3x1z1y2w2y1w1x2z2][(x1y1z1w1x2y2z2w2x3y3z3w3)x2w2y3z3y2z2x3w3y1z1x3w3x1w1y3z3x1w1y2z2y1z1x2w2](x1z1x2z2x3z3)(y1w1y2w2y3w3)(x1w1x2w2x3w3)(y1z1y2z2y3z3)=v1,v3v2v4v1,v4v2v3右（3）证明：设v1(x1,x2,x3),v2(y1,y2,y3),v3(z1,z2,z3),，则

iv1v2x1y1jx2y2x2x3yy32kx3x3,y3y3x1x1,y1y1x2X1,X2,X3y2X1x2y3x3y2,X2x3y1x1y3,X3x1y2x2y1v3,v1,v2v3,v1v2z1X1z2X2z3X3z1(x2y3x3y2)z2(x3y1x1y3)z3(x1y2x2y1)(z1x2y3y1z2x3x1y2z3)(z1y2x3x1z2y3y1x2z3)同理，

iv3v1z1x1jz2x2kz2z3x2x3z3z3,x3x3z1z1,x1x1z2x2Y1,Y2,Y3Y1z2x3z3x2,Y2z3x1z1x3,Y3z1x2z2x1v2,v3,v1v2,v3v1y1Y1y2Y2y3Y3y1(z2x3z3x2)y2(z3x1z1x3)y3(z1x2z2x1)(z1x2y3y1z2x3x1y2z3)(z1y2x3x1z2y3y1x2z3)v3,v1,v2

3

iv2v3y1z1jy2z2ky2y3zz32y3y3,z3z3y1y1,z1z1y2Z1,Z2,Z3z2Z1y2z3y3z2,Z2y3z1y1z3,Z3y1z2y2z1v1,v2,v3v1,v2v3x1Z1x2Z2x3Z3x1(y2z3y3z2)x2(y3z1y1z3)x3(y1z2y2z1)(z1x2y3y1z2x3x1y2z3)(z1y2x3x1z2y3y1x2z3)v3,v1,v2所以，v1,v2,v3v3,v1,v2v2,v3,v1。 性质1.2

ifff证明：（1）(f)(,,)xyzxfxjyfyk zfzffffff,,yzzyzxxzxyyxffffff,,(0,0,0)0.yzzyzxxzxyyx222222

i证明：（2）,F,xPjyQkRQPRQP,,, yzzxxyzRRQPRQPxyzyzxzxyRQPRQP0.xyxzyzyxzxzy222222

4.设O;e1,e2,e3是正交标架，是1,2,3的一个置换，证明： （1）O;e(1),e(2),e(3)是正交标架；

（2）O;e1,e2,e3与O;e(1),e(2),e(3)定向相同当且仅当是一个偶置换。 （1）证明：当ij时，(i)(j)e(i),e(j)0；

当ij时，(i)(j)e(i),e(j)1，

4



所以，O;e(1),e(2),e(3)是正交标架。 （2）证明：

A)当(12)(1)2,(2)1,(3)3

0100e(1),e(2),e(3)e2,e1,e3e1,e2,e3100,det101001; 001001B)当(13)(1)3,(2)2,(3)1

001001e(1),e(2),e(3)e3,e2,e1e1,e2,e3010,det0101; 100101C)当(23)(2)3,(3)2,(1)1

100100e(1),e(2),e(3)e1,e3,e2e1,e2,e3001,det0011; 010010D) 当(1)(12)(12)，此时，O;e(1),e(2),e(3)O;e1,e2,e3； E) 当(123)(12)(13)(1)2,(2)3,(3)1,

001001e(1),e(2),e(3)e2,e3,e1e1,e2,e3100,det1001; 010010F) 当(132)(13)(12)(1)3,(3)2,(2)1,

01000e(1),e(2),e(3)e3,e1,e2e1,e2,e3001,det11001. 100010所以，O;e1,e2,e3与O;e(1),e(2),e(3)定向相同当且仅当是一个偶置换。习题二（P28）

1. 求下列曲线的弧长与曲率： （1）yax2

xx解：r(x)(x,ax2)r(x)(1,2ax)l(x)r(t)dt14a2t2dt

00 5

令2|a|ttan,14a2t2sec，则

I14a2t2dt=3113secdI 2a2|a|2secd(sectansec)dtandsecsecdtansecsec3dsecd1tansecIsecdI[tansecln|sectan|]C

212|a|t14a2t2ln2|a|t14a2t2C 2所以，

=14a2t2dt1113secdI2|a|t14a2t2ln2|a|t14a2t2C 2a2|a|4|a|xxl(x)r(t)dt14a2t2dt0012|a|x14a2x2ln2|a|x14a2x2 4|a|2. 设曲线r(t)(x(t),y(t))，证明它的曲率为 (t)x(t)y(t)x(t)y(t)(x)2(y)322.

证明：r(t)(x(t),y(t))r(t)(x(t),y(t))r(t)(x(t),y(t))

drdtdtr(t)(x(t),y(t))dsdsdsdtn(s)(y(t),x(t))dst(s)d2rddtdtd2tt(s)2r(t)r(t)r(t)2dsdsdsdsdst(s)(s)n(s)dtd2tdtr(t)r(t)2(s)(y(t),x(t))dsdsds2dtd2tdtx(t)x(t)2(s)y(t)dsdsds2d2tdtdty(t)y(t)(s)x(t)ds2dsds

6

22

dtd2tdtd2tx(t)x(t)2y(t)y(t)2dsdsdsds(s)dtdty(t)x(t)dsdsdtdtx(t)y(t)x(t)y(t)dsdsx(t)y(t)x(t)y(t)dt(y)2(x)2ds(y)2(x)2dsdtds由|r(t)|(x)2(y)2 dtx(t)y(t)x(t)y(t)(s),即3(y)2(x)222222(t)x(t)y(t)x(t)y(t)(y)2(x)322。3. 设曲线C在极坐标下的表示为rf()，证明曲线C的曲率表达式为

dff()2d()2dff()d22d2ff()2d232.

证明：xrcosf()cos,yrsinf()sin

r()(f()cos,f()sin)

r()(f()cosf()sin,f()sinf()cos)

r()(f()cosf()sin,f()sinf()cos)

(f()cos2f()sinf()cos,f()sin2f()cosf()sin)所以，xf()cosf()sin；yf()sinf()cos； xf()cos2f()sinf()cos；

yf()sin2f()cosf()sin。

因此，

7

xyxyf()cosf()sinf()sin2f()cosf()sinf()sinf()cosf()cos2f()sinf()cos f2()2f()2f()f()(y)2(x)2f()cosf()sin2f()sinf()cos2f()2f()2

2()x()y()x()y()f2()2dfdf()d2fd233. (x)2(y)2222f2()dfd4. 求下列曲线的曲率与挠率： （4）r(t)(at,2alnt,at)(a0)

解：r(t)(a,2at,a2a2a22a6at2),r(t)(0,t2,t3),r(t)(0,t3,t4)； ijkr(t)r(t)a2aatt2a2,2a22a22t4t3,t2 02a2at2t3(t)2a44a4r(t)r2a42a2242a22t8t6t4t412ttt4t1 t)a22a2a2r(a2t2t4t2t1

r,r,r(2a22a22a222a6a22a3t4,t3,t2),(0,t3,t4)t6。

所以，

2a222(t)r(t)r(t)r(t)3t4t1a2t4t212t23； a32a23at22t2t1t6t11 8

222(t)r,r,r2a22tr(t)r(t)222a3t6t4t1。 at2125. 证明：E3的正则曲线r(t)的曲率与挠率分别为

(t)r(t)r(t)r(t)3，(t)r,r,rrr2。

证明：

drdsdrdtdtdst(s)r(s)r(t)dtds 2t(s)r(t)dtd2tdsr(t)ds2323

t(s)r(t)dtdsdtdt3r(t)dsds2r(t)dtds3根据弗雷内特标架运动方程

dt0t

dsn00bn，得：

00bt(s)(s)n(s)n(s)1(st(s)b(s)t(s)n(s)1(st(s)t(s)12(s)r(t)dtrdtd2tds(t)dsr(t)ds2

31(s)dtdsr(t)r(t) 311dt(s)dsr(t)r(t)3(s))r(t)dt(t)r(t) dsr(t)r(t)r(t3rdsr(t)3dtt(s)(s)n(s)t(s)(s)n(s)(s)n(s)由n(s）=(s)t(s)(s)b(s)t(s)(s)n(s)(s)(s)t(s)(s)b(s) (s)n(s)2(s)t(s)(s)(s)b(s)t(s),b(s)(s)(s) 9

dtdtd2td3t1dt因为t(s),b(s)r(t)3r(t)r(t)3,r(t)r(t)233dsdsdsds(s)ds6=1dt(s)dsr,r,r66所以，(s)(s)=1dtr,r,rdt(s)dsr,r,r(s)=r,r,r2(s)dsrr2。 6．证明：曲线

33 r(s)(1s)2,(1s)2,s(1s1) 332以s为弧长参数，并求出它的曲率，挠率与Frenet标架。

11证明：1）r(s)(1s)2,(1s)2,1(1s1) 222所以，r(s)(1s)(1s)14421(1s1)该曲线以s为弧长参数。

t(s)r(s)(1s)12(1s)12,,0(1s1)44 (s)(1s)1(1s)1116168(1s2)n(s)t(s)(s)112(1s)(1s)2,2(1s)(1s)2,0

ijk11b(s)t(s)n(s)(1s)2(1s)21222 112(1s)(1s)22(1s)(1s)201112(1s)(1s)2,2(1s)(1s)2,4(1s2)2 由n(s)13s11s,3s1s,0及

 10

1112b(s)2(1s)(1s)2,2(1s)(1s)2,4(1s)2得

(s)n(s),b(s)11113s13s2,,0,2(1s)(1s)2,2(1s)(1s)2,4(1s)21s1s1113s13s2(1s)(1s)22(1s)(1s)21s1s

2(13s)(1s)2(13s)(1s)22(1s)所以，

12212212211222）(s),(1s1)；(s)22(1s)，(1s1)。

8(1s2)3）所求Frenet标架是r(s);t(s),n(s),b(s)，其中

1122(1s)(1s)1(1s1)， t(s),,22211n(s)2(1s)(1s)2,2(1s)(1s)2,0(1s1)，

1112222b(s)2(1s)(1s),2(1s)(1s),4(1s)(1s1)。

10.设T(X)XTP是E中的一个合同变换，detT1。r(t)是E中的正则曲线。求曲线rTr与曲线r的弧长参数、曲率、挠率之间的关系。

tt33解：（1）S(t)r()d00d(Tr)d(rTP)ddr()Tdr()dS(t) dd000ttt可见，rTr与曲线r除相差一个常数外，有相同的弧长参数。 （2）(t)r(t)r(t)r(t)3r(t)Tr(t)Tr(t)T3

sgn(detT)r(t)r(t)Tr(t)3r(t)r(t)r(t)3(t)

可见，rTr与曲线r有相同的曲率。 （3）(t)r,r,rr(t)r(t)2rT,rT,rTr(t)Tr(t)T2rT,rTrT 2r(t)r(t) 11

rT,sgn(detT)(rr)TrT,sgn(detT)(rr)Tsgn(detT)22r(t)r(t)r(t)r(t)rT,(rr)Tr,(rr)sgn(detT)22r(t)r(t)r(t)r(t)

sgn(detT)sgn(detT)r,r,rr(t)r(t)2r,r,rr(t)r(t)2(t)可见，rTr与曲线r的曲率相差一个符号。 13.（1）求曲率(s)a（s是弧长参数）的平面曲线r(s)。 22as解：设所求平面曲线r(s)x(s),y(s)因为s是弧长参数，所以

|r(s)|1x(s)y(s)1

可设x(s)cos,x(s)sin，由曲率的定义，知

22daaas(s)22d22ds22dsarctan dsasasasassx(s)cos(arctan),x(s)sin(arctan)

aasx(s)cos(arctan)dsa1s1tan2(arctan)ads

1s212adsa1a2s2dsaln(sa2s2)

ssy(s)sin(arctan)ds1cos2(arctan)2dsaa11ssec2(arctan)2asdsa2s2a2s2ds11s1tan2(arctan)2ads

所以，所求平面曲线r(s)aln(sa2s2),a2s2)。

tt20.证明：曲线r(t)(t3sint,2cost,3tsint)与曲线r(t)(2cos,2sin,t)22是合同的。

证明：1）对曲线C:rr(t)作参数变换t2u，则r(2cosu,2sinu,2u)。 可知

12

1C是圆柱螺线(a2,b2)，它的曲率和挠率分别为14，4。

因此，只要证明曲线C:rr(t)的曲率1，挠率1，从而根据曲44线论基本定理，它们可以通过刚体运动彼此重合。 2）下面计算曲线C的曲率与挠率。

由r(t)(13cost,2sint,3cost)|r(t)|22，

进而r(t)(3sint,2cost,sint)

r(t)r(t)(23cost2,4sint,232cost)2(13cost,2sint,3cost)

1

|r(t)r(t)|42。

4

1r(t)(3cost,2sint,cost)r(t),r(t),r(t)8。

421.证明：定理4.4

定理4.4 设(s)0是连续可微函数，则

（1） 存在平面E2的曲线r(s)，它以s为弧长参数，(s)为曲率； （2） 上述曲线在相差一个刚体运动的意义下是唯一的。 证明：先证明（1），为此考虑下面的一阶微分方程组

drdse1(s)de(1.1)1(s)e2(s)

dsde2ds(s)e1(s)0002给定初值r0,e10,e2，其中e1,e2是E中的一个与自然标架定向相同的正交标架，以及

s0(a,b)，则由微分方程组理论得，(1.1)有唯一一组解r(s);e1(s),e2(s)满足初始条件：

r(s);e(s),e(s)|12ss00r0;e10,e2。

若r(s)为所求曲线，则e1(s),e2(s)必是它的Frenet标架。因此，我们首先证明

e(s),e(s)12s(a,b)

均是与自然定向相同的正交标架。

将微分方程组(1.1)改写成

2dei(1.2)aijej(s),i1,2

dsj1 13

其中

aij0(s)22(s)0。 是一个反对称矩阵，即aijaji0i,j1,2.令

(1.3)gij(s)ei(s),ej(s)(gij)i,j1,2.

对(1.3)求导，并利用(1.2)有：

(1.4)ddsgs)ddseddij(i(s),ej(s)dsei(s),ej(s)ei(s),dsej(s)2ek(s),ej(s)ei(s),ajkek(s)k122aikek(s),ej(s)ajkei(s),ek(s)k1k122aikek(s),ej(s)ajkek(s),ei(s)k1k12aikgkj(s)ajkgki(s)i,j1,2.k1(1.4)表明gij(s)i,j1,2是微分方程组(1.5)

(1.5)d2dsfij(s)aikfkj(s)ajkfki(s)i,j1,2.

k1的解。 定义1,ij;ij0,ij.i1,2.则

ddsij0,i,j1,2.且

2(a1kk1a1kk1)a11a110,ij1k122(a2kk2a2kk2)a22a220,ij2aak1ikkjjkki k12(a1kk2a2kk1)a12a210,i1,j2k12(a2kk1a1kk2)a21a120,i2,j1k1即 dds2ijaikkjajkki,i,j1,2.

k1 14

所以，ij,i1,2.是微分方程组(1.5)的解。

注意到：gij(s0)i,j1,2iji,j1,2i,j1,2，所以gij(s)i,j1,2是微分方程组(1.5)

满足初始条件gij(s0)iji,j1,2的唯一解。从而

gij(s)ij,i,j1,2.

所以，e1(s),e2(s)s(a,b)

均是正交标架。

由于F(s)e1(s),e2(s),e1(s)e2(s)s(a,b)是关于s的连续函数，且

F(s)1或-1。故由

F(s0)e1(s0),e2(s0),e1(s0)e2(s0)=1知，

F(s)e1(s),e2(s),e1(s)e2(s)=1，s(a,b)。

可见，e1(s),e2(s)s(a,b)

均是与自然定向相同的正交标架。

于是由微分方程组(1.1)有：

drdr这表明s为弧长参数。从而由e1(s)推出t(s)e1(s)是e1(s)=1，

dsds单位切向量。由

de1de(s)e2(s)推出(s)1t(s)是曲线r(s)的曲率，从而由dsdsde111de1(s)e2(s)推出由n(s)t(s)e2(s)，即e2(s)是单位正法向量。 ds(s)(s)ds可见，微分方程组(1.1)的满足初始条件：

r(s);e(s),e(s)|12ss00r0;e10,e2

唯一一组r(s);e1(s),e2(s)的确表明：存在平面E2的曲线r(s)，它以s为弧长参数，

(s)为曲率，当(s)是连续可微函数时。

再证明（2）：设r1(s)与r2(s)是平面E2中两条以s为弧长参数的曲线，且定义在同一个参数区间(a,b)上，1(s)2(s)0

s(a,b)。则存在刚体运动

15

T(X)XTP把曲线r2(s)变为r1(s)，即r1Tr2。

证明开始：设0(a,b)，考虑两条曲线在s0处的Frenet标架

r(0);t(0),n(0)与r(0);t(0),n(0)。

111222则存在平面E中一个刚体运动T把第二个标架变为第一个标架，即r1与Tr2在s0处

2的Frenet标架重合。因此我们只须证明当曲线r2(s)与r1(s)在s0处的Frenet标架重合

时，r2r1。

曲线Frenet标架的标架运动方程为

drdst(s)dt(1.6)(s)n(s)

dsdnds(s)t(s)这是一个关于向量值函数r,t,n的常微分方程。曲线r2(s)的Frenet标架与r1(s)的

Frenet标架都是微分方程组(1.6)的解。它们在s0处重合就意味着这两组解在s0的初值相等，由解对初值的唯一性定理立即得到r2r1。定理证明完成。

习题三（P68）

2（1）r(u,v)a(uv),b(uv),4uv是什么曲面？

xa(uv)x2y2解：yb(uv)22z马鞍面

abz4uv4.证明：曲面F(,)0的切平面过原点。

证明：无妨假定方程F(,)0确定一个zf(x,y)的隐函数，于是

yzxxyzxx 16

yF1zF2yf1fF1(2)F2[(2)fx]0xxF2yzxxxF(,)0

11xxfF1F1()F2(fy)0yxxF2设r(x,y)x,y,f(x,y)，则

yF1zF2ijkrx1,0,fx1,0,xF2yF1zF2yF1zF2F1rr10,,1 xyxF2xF2F2Fry0,1,fy0,1,1FF2011F2所以，P(x,y,z)处的切平面为

:yF1zF2F(Xx)1(Yy)(Zz)0

xF2F2易见，当(X,Y,Z)(0,0,0)时，有：

左=yF1zF2FyFzF2yF1zF2(0x)1(0y)(0z)1-=0=右

xF2F2F2F2所以结论为真。

6. 证明：曲面S在P点的切平面TPS等于曲面上过P点的曲线在P点的切向量的全体。 证明：设曲面S的参数方程为rr(u,v),(u,v)D，Pr(u0,v0),(u0,v0)D。令

(u(t),v(t))为参数区域D中过(u0,v0)则的参数曲线，r(t)r(u(t),v(t))为曲面上过P点

的曲线。于是

drdtPru(u0,v0)dudtPrv(u0,v0)dvdtP

这表明曲线r(t)r(u(t),v(t))过P点的切向量出。可见过P点的切向量

drdtP都可由ru(u0,v0)与rv(u0,v0)线性表

drdtP都在过P点的切平面上。另一方面，对于任意切向量

wru(u0,v0)rv(u0,v0)TPS，

在参数区域D中取过(u0,v0)且方向为l(,)的参数曲线

(u(t),v(t))(u0t,v0t)

17

则此时，r(t)r(u(t),v(t))r(u0t,v0t) 从而

drdtPru(u0,v0)rv(u0,v0)w。

这表明：在P点的切平面TPS中每一个向量都是过P点的某一曲线的位于P点的切向量。 于是：曲面S在P点的切平面TPS等于曲面上过P点的曲线在P点的切向量的全体。

25. 求双曲抛物面r(u,v)a(uv),b(uv),4uv的Gauss曲率K，平均曲率H，主曲率1,2和它们所对应的主方向. 解： 由ru(a,b,4v)，rv(a,b,4u)

Ea2b216v2，Fa2b216uv，Ga2b216u2。

2rurv22b(uv),2a(uv),ab，n2b(uv),2a(uv),ab， 2EGF其中 EGF28[2b2(uv)22a2(uv)2a2b2]。

8ab由ruu0，ruv(0,0,4)，rvv0LN0,M。

2EGF于是Gauss曲率K：

LNM264a2b2a2b2K，

222222222EGF2EGF2b(uv)2a(uv)ab平均曲率H：

MF8ab(a2b216uv)ab(a2b216uv)H。 3/2223/2222222EGF(EGF)4b(uv)4a(uv)2ab因为M0，所以

M2F2(LNM2)(EGF2)M2EGMEG22HK0， HK22222EGFEGFEGF所以主曲率1：

1HH2KM(FEG)EGF2

ab(a2b216uv)(a2b216u2)(a2b216v2).3/22222224b(uv)4a(uv)2ab对应的主方向为

du:dv(1FM):(1EL)(1FM):1E， 其中

MF(FEG)M(EGF2)MFEGMEG1FMEGF2EGF2.

MEG(FEG)EG1.EGF2

18

所以

du:dvG:Ea2b24u2:a2b24v2。

同理，另一个主曲率2：

2HH2KM(FEG)EGF2ab(a2b216uv)(a2b216u2)(a2b216v2)，

4b2(uv)24a2(uv)22a2b23/2对应的主方向为

u:vG:Ea2b24u2:a2b24v2。

注：设W:TPSTPS为外恩格尔登变换，则

WrunuarubrvWrnWracu,Wrvru,rvvvcrudrvbdWrdurdvWrduuvdvduWruvWru,Wrvdvr,racduuvbddv;

Wrrduudurvdvudurvdvru,rvdvracdubddvru,rvdudvacdubddvduu,rvdvacduducdu0bdadvdvbddv 0LGMFMGNFEGF2EGF2MELFNEMFdu0dv0

EGF2EGF2(LGMF)(EGF2)MGNFdu0 MELFNEMF(EGF2)dv0(LE)GF(MF)MGNFduMELF(NG)EF(MF)0

dv0 19

FLEMFdu0EMFNGdv0GFLEMFdu01 2EGFFEMFNGdv0GFEFFG1LEMFMFdu0NGdv0ELFMFMdu0

GNdv0du:dvFM:ELGN:FM。 补充：定理

（1）函数是主曲率的充要条件是

ELFM0。

FMGN（2）方向 d = du:dv 是主方向的充要条件是

EduFdvLduMdvFduGdvMduNdv0(WW)。

证明：（1）设du:dv是对应的主方向，则有Wdrdr，即

nudunvdvrudurudv。

分别用ru,rv与上式两边作内积，得

LduMdvEduFdv，MduNdvFduGdv。

所以主方向du:dv满足

(EL)du(FM)dv0, 

(FM)du(GN)dv0.由于du,dv不全为零，可得

ELFM0

FMGN（2）在脐点，KH20，12H。 从而由IIHI可知LHE，MHF，NHG，(WW)中的两个方程成为恒等式。此时，任何方向都是主方向。

在非脐点，分别用1和2代入

20

(EL)du(FM)dv0, (FM)du(GN)dv0.得到相应的主方向

du:dv(1FM):(1EL)(1GN):(1FM)

和

u:v(2FM):(2EL)(2GN):(2FM))。

(EL)du(FM)dv0,将 (FM)du(GN)dv0.改写成

(LduMdv)(EduFdv)0, (MduNdv)(FduGdv)0.

由于1,不全为零，有

LduMdvEduFdvMduNdvFduGdv0。

28．曲面S:rr(u,v)上的一条曲线C称为曲率线，如果曲线C在每一点的切向量都是曲面S在该点的一个主方向。证明：曲线C:r(t)r(u(t),v(t))是曲率线当且仅当沿着C，与

dndtdr平行。 dt证明： 设W:TPSTPS为外恩格尔登变换，则

drdvdvdndrduduWWrurvnunv。 dtdtdtdtdtdtdtdndr与平行。 dtdt所以，曲线C:r(t)r(u(t),v(t))是曲率线当且仅当沿着C，

29.设rr(u,v)是曲面S的一个参数表示，证明：曲面S的参数曲线u常数和v常数

是曲率线的充要条件是FM0。

证明：曲面S的参数曲线u常数，记uu0是曲率线等价于曲线r(v)r(u0,v)在每一点的切向量都是曲面S在该点的一个主方向曲线r(v)r(u0,v)在每一点，

drdndrWrvnv dvdvdv同理，曲面S的参数曲线v常数，记vv0是曲率线等价于曲线r(u)r(u,v0)在每一点

21

的切向量都是曲面S在该点的一个主方向曲线r(v)r(u0,v)在每一点，

drdndrWrunu dududu显然，（假若，则rurv0矛盾！）。从而

ru,rv0F0;Mrv,nuru,nurv,ruru,rv0。

所以，曲面S的参数曲线u常数和v常数是曲率线的充要条件是FM0。 35.若曲面zf(x)g(x)是极小曲面，证明：除相差一个常数外，它可以写成 z1cosay， lnacosax这个曲面称为Scherk面。

证明：设曲面的参数方程为rx,y,f(x)g(y)，则

rx1,0,f(x),ry0,1,g(y)，rxryf(x),g(y),1，

n11f(x)g(y)22f(x),g(y),1

rxx0,0,f(x),rxy0,ryy0,0,g(y)。

因此，E1f2(x),Ff(x)g(y),G1g2(y)，

f(x)g(y)L,M0，N。

22221f(x)g(y)1f(x)g(y)1LG2MFNE0得到ENGL0，即

2EGF2221f(x)g(y)1g(y)f(x)0。

上式可化为

f(x)g(y) (1) 1f2(x)1g2(y)由H由于上式左边是x的函数，右边是y的函数，故只能是常数，设此常数为a。 当a0时，由(1)可知f(x)AxC1，g(y)ByC2，其中A,B,C1,C2是常数。 于是该极小曲面是平面zAxByC，其中CC1C2。(不是Scherk曲面) 下面设a0。由(1)得fa(1f2)，令arctanf，即ftan。则有 sec2fasec2。

于是(x)axc。在x轴方向作一平移，可设c0，从而f(x)tan(ax)，积分得

1f(x)lncosax。

a

22

2同理，由g(y)a1g(y)可得

g(y)1lncosay。 a1cosay。 lnacosax于是

zf(x)g(y) 23