蔚县第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若f（﹣1）=0，则不等式f（x）＜0的解集是（ A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞）+∞）

2． 已知函数y=x3+ax2+（a+6）x﹣1有极大值和极小值，则a的取值范围是（ A．﹣1＜a＜2

B．﹣3＜a＜6

C．a＜﹣3或a＞6

）

D．a＜﹣1或a＞2

C．（﹣1，0）∪（0，1）

）

D．（﹣1，0）∪（1，

3． 已知实数a，b，c满足不等式0＜a＜b＜c＜1，且M=2a，N=5﹣b，P=（）c，则M、N、P的大小关系为（ 　

4． 复数z=

（其中i是虚数单位），则z的共轭复数=（

D．﹣ +i

）

B．f（x）=

，g（x）=）

）

A．M＞N＞PB．P＜M＜NC．N＞P＞M

A．﹣iB．﹣﹣iC． +i

5． 下面各组函数中为相同函数的是（ A．f（x）=

，g（x）=x﹣1

C．f（x）=ln ex与g（x）=elnx　

6． 设D为△ABC所在平面内一点，A．C．

B．D．

D．f（x）=（x﹣1）0与g（x）=，则（

）

7． 设f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能是（ ）

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A．B．C．

D．

8． 下列关系式中，正确的是（ A．∅∈{0}

B．0⊆{0}

）

D．∅={0}

）

C．0∈{0}

9． 若全集U={﹣1，0，1，2}，P={x∈Z|x2＜2}，则∁UP=（ A．{2}B．{0，2}于（

）

C．

D．

）

C．{﹣1，2}

D．{﹣1，0，2}

10．已知f（x）为偶函数，且f（x+2）=﹣f（x），当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x；若n∈N*，an=f（n），则a2017等

A．2017B．﹣8

11．半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ A．

πR3

B．

πR3

C．

πR3

D．

πR3

12．已知△ABC中，a=1，b=A．150°

B．90°

2，B=45°，则角A等于（

C．60°

）

D．30°

二、填空题

13．设抛物线y4x的焦点为F，A,B两点在抛物线上，且A，B，F三点共线，过AB的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点P，若PF3，则M点的横坐标为 2.14．当a＞0，a≠1时，函数f（x）=loga（x﹣1）+1的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣y+n=0上，则4m+2n的最小值是　　．2xy202215．设变量x,y满足约束条件x2y20，则z(a1)x3(a1)y的最小值是20，则实数axy10______．

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【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力．16．袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为　　　　　　．　

17．已知x，y满足条件　

18．已知双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=

x，它的一个焦点在抛物线y2=48x的准

，则函数z=﹣2x+y的最大值是　　　　　　．线上，则双曲线的方程是　　．

三、解答题

19．已知椭圆E的长轴的一个端点是抛物线y2=4（1）求椭圆E的标准方程；

（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆E相交于A、B两点，且在x轴上存在点M，使得关，试求点M的坐标．

与k的取值无

x的焦点，离心率是

．

20．如图，A地到火车站共有两条路径和，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所

用时间落在个时间段内的频率如下表：

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现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。

（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望 。

21．已知奇函数f（x）=（Ⅰ）求c的值；

（c∈R）．

（Ⅱ）当x∈[2，+∞）时，求f（x）的最小值．　

22．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，计算得

xi=80，

yi=20，

xiyi=184，

xi2=720．

（1）求家庭的月储蓄对月收入的回归方程；（2）判断月收入与月储蓄之间是正相关还是负相关；

（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

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23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知椭圆C的极坐标方程为212，点F1,F2为其左、右焦点，直线的参数方程为

3cos24sin22tx22（为参数，tR）.y2t2（1）求直线和曲线C的普通方程；

（2）求点F1,F2到直线的距离之和.

24．（本小题满分12分）已知函数fxaxbxlnx（a,bR）．

21

（2）当a0时，是否存在实数b，当x0,e（e是自然常数）时，函数f(x)的最小值是3，若存在，求

（1）当a1,b3时，求函数fx在,2上的最大值和最小值；

2出b的值；若不存在，说明理由；

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蔚县第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：根据题意，可作出函数图象：∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1）故选A．

2． 【答案】C

【解析】解：由于f（x）=x3+ax2+（a+6）x﹣1，有f′（x）=3x2+2ax+（a+6）．若f（x）有极大值和极小值，则△=4a2﹣12（a+6）＞0，从而有a＞6或a＜﹣3，故选：C．

【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．　

3． 【答案】A

【解析】解：∵0＜a＜b＜c＜1，∴1＜2a＜2，5﹣b=（故选：A

【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．　

＜5﹣b＜1，

）c＞（

＜（）c，

）c＜1，

）b＞（

即M＞N＞P，

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4． 【答案】C【解析】解：∵z=∴=故选：C．

【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．　

5． 【答案】D

【解析】解：对于A：f（x）=|x﹣1|，g（x）=x﹣1，表达式不同，不是相同函数；

对于B：f（x）的定义域是：{x|x≥1或x≤﹣1}，g（x）的定义域是{x}x≥1}，定义域不同，不是相同函数；对于C：f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数；对于D：f（x）=1，g（x）=1，定义域都是{x|x≠1}，是相同函数；故选：D．

【点评】本题考查了判断两个函数是否是同一函数问题，考查指数函数、对数函数的性质，是一道基础题．　

6． 【答案】A

【解析】解：由已知得到如图由故选：A．

=

=

=

；

．

=

，

【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量　

7． 【答案】D

表示为．

【解析】解：根据函数与导数的关系：可知，当f′（x）≥0时，函数f（x）单调递增；当f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减

结合函数y=f（x）的图象可知，当x＜0时，函数f（x）单调递减，则f′（x）＜0，排除选项A，C

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当x＞0时，函数f（x）先单调递增，则f′（x）≥0，排除选项B故选D

【点评】本题主要考查了利用函数与函数的导数的关系判断函数的图象，属于基础试题　

8． 【答案】C

【解析】解：对于A∅⊆{0}，用“∈”不对，

对于B和C，元素0与集合{0}用“∈”连接，故C正确；对于D，空集没有任何元素，{0}有一个元素，故不正确．　

9． 【答案】A【解析】解：∵x2＜2∴﹣

＜x＜

＜x＜

，x∈Z|}={﹣1，0，1}，

∴P={x∈Z|x2＜2}={x|﹣∴∁UP={2}故选：A．　

10．【答案】D

【解析】解：∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即f（x+4）=f（x），即函数的周期是4．

∴a2017=f（2017）=f（504×4+1）=f（1），∵f（x）为偶函数，当﹣2≤x≤0时，f（x）=2x，∴f（1）=f（﹣1）=，∴a2017=f（1）=故选：D．

【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性和周期性之间的关系是解决本题的关键．　

11．【答案】A

【解析】解：2πr=πR，所以r=，则h=故选A　

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又∵全集U={﹣1，0，1，2}，

，

，所以V=

12．【答案】D【解析】解：∵根据正弦定理可知 ∴sinA=∴A=30°故选D．

【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．　

=

，B=45°

二、填空题

13．【答案】2

【解析】由题意，得p2，F(1,0)，准线为x1，设A(x1,y1)、B(x2,y2)，直线AB的方程为

2k24，x1x21．又yk(x1)，代入抛物线方程消去y，得kx(2k4)xk0，所以x1x22k112112设P(x0,y0)，则y0(y1y2)[k(x11)k(x21)]，所以x02，所以P(2,)．

22kkkk13因为|PF|x0121，解得k22，所以M点的横坐标为2．

k2222214．【答案】　2

　．

【解析】解：整理函数解析式得f（x）﹣1=loga（x﹣1），故可知函数f（x）的图象恒过（2，1）即A（2，1），故2m+n=1．∴4m+2n≥2

=2

=2

．

当且仅当4m=2n，即2m=n，即n=，m=时取等号．∴4m+2n的最小值为2故答案为：2　

15．【答案】2【

解

析

】

．

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16．【答案】　　．

【解析】解：方法一：由题意，第1次摸出红球，由于不放回，所以袋中还有5个不同的红球和4个不同的白球

故在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为方法二：先求出“第一次摸到红球”的概率为：P1=

，

=，

设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是P2再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P=根据条件概率公式，得：P2=故答案为：

【点评】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题．看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．　

17．【答案】　4　．

【解析】解：由约束条件

作出可行域如图，

=，

=，

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化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时，直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4．故答案为：4．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．　

18．【答案】

【解析】解：因为抛物线y2=48x的准线方程为x=﹣12，则由题意知，点F（﹣12，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=144，

又双曲线的一条渐近线方程是y=所以=

，

x，

解得a2=36，b2=108，所以双曲线的方程为故答案为：

．

．

【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，确定c和a2的值，是解题的关键．　

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）由题意，椭圆的焦点在x轴上，且a=c=e•a=

×

=

，

，…1分

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故b===，…4分

，即x2+3y2=5…6分

所以，椭圆E的方程为

（2）将y=k（x+1）代入方程E：x2+3y2=5，得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0；…7分设A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，0），则x1+x2=﹣∴∴

，x1x2=

；…8分

=（x2﹣m，y2）=（x2﹣m，k（x2+1））；

=（x1﹣m，y1）=（x1﹣m，k（x1+1）），

，

=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2

=m2+2m﹣﹣

要使上式与k无关，则有6m+14=0，解得m=﹣；∴存在点M（﹣，0）满足题意…13分

【点评】本题考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，也考查了椭圆的标准方程及其几何性质，考查了一定的计算能力，属于中档题．　

20．【答案】

【解析】（1）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1,2，用频率估计相应的概率可得

P（A1）=0。1+0。2+0。3=0。6，P（A2）=0。1+0。4=0。5，

P（A1） ＞P（A2）, P（B2） ＞P（B1）,

甲应选择Li乙应选择L2。

P（B1）=0。1+0。2+0。3+0。2=0。8，P（B2）=0。1+0。4+0。4=0。9，

（2）A,B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知

,又由题意知，A,B独立，

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），

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∴=﹣=，

比较系数得：c=﹣c，∴c=0，∴f（x）=

=x+；

，

（Ⅱ）∵f（x）=x+，∴f′（x）=1﹣当x∈[2，+∞）时，1﹣

＞0，

∴函数f（x）在[2，+∞）上单调递增，∴f（x）min=f（2）=．

【点评】本题考查了函数的奇偶性问题，考查了函数的单调性、最值问题，是一道中档题．　

22．【答案】

【解析】解：（1）由题意，n=10， =∴b=

∴y=0.3x﹣0.4；（2）∵b=0.3＞0，∴y与x之间是正相关；

（3）x=7时，y=0.3×7﹣0.4=1.7（千元）．　

=0.3，a=2﹣0.3×8=﹣0.4，

xi=8， =

yi=2，

x2y2

1；（2）22．23．【答案】（1）直线的普通方程为yx2，曲线C的普通方程为43【解析】

试题分析：（1）由公式cosx可化极坐标方程为直角坐标方程，利用消参法可化参数方程为普通方程；

siny第 14 页，共 16 页

考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式．24．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法等基础知识，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、分析与解决问题的能力、探究能力、运算求解能力．

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（2）当a0时，fxbxlnx．

假设存在实数b，使gxbxlnxx0,e有最小值3，

f(x)b1bx1．………7分xx4（舍去）．………8分e①当b0时，f(x)在0,e上单调递减，f(x)minfebe13,b②当0111

e时，f(x)在0,上单调递减，在,e上单调递增，bbb

12∴f(x)ming1lnb3,be，满足条件．……………………………10分

b14③当e时，f(x)在0,e上单调递减，f(x)mingebe13,b（舍去），………11分

be2综上，存在实数be，使得当x0,e时，函数f(x)最小值是3．……………………………12分

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