数学建模题目

提交论文的要求:

论文基本内容和格式大致分三大部分：

一、标题、摘要部分

1．题目：应写出较确切的题目； 2．姓名、班级、学号、联系方式；

3．摘要(含关键词)200-300字，包括模型的主要特点、建模方法和主要结果； 二、正文

正文要求把求解的思路与过程描述清除,注意排版格式的整齐美观。大致可包括以下部分:

1．问题分析

2．模型假设即补充一些假设条件，使问题简化，但需合理(是此次比赛论文好坏的关键)

3．符号说明

4．模型建立与求解(必要时包括计算方法设计或计算机实现) 5．结果分析与检验(简述)

6．讨论模型的优缺点，改进方向，推广新思想(简述) 7．参考文献

三、附录部分(如果有下列内容的话) 1．计算程序，框图；

2．各种求解演算过程，计算中间结果。

《数学建模》课程供选试题

一、某储蓄所每天的营业时间是上午9：00到下午5：00. 根据经验，每天不同阶段所需要的服务员数量如下： 时间段（时） 服务员数量 9~10 4 10~11 3 11~12 4 12~1 6 1~2 5 2~3 6 3~4 8 4~5 8 储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员. 全时服务员每天报酬100元，从上午9：00到下午5：00工作，但中午12：00到下午2：00之间安排1小时的午餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4小时，报酬40元. 问该储蓄所应如何雇佣全时和半时两类服务员？试建立模型，并利用数学软件编写相关程序。

二、一家保姆服务公司专门向雇主提供保姆服务。根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。保姆从该公司而不是从雇主那里得到报酬，每人每月工资800元。春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后，将有15%的保姆自动离职。如果公司不允许解雇保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划；哪些季度需求的增加不影响招聘计划？可以增加多少？ 1题

4万亿投资与劳动力就业

2008以来，世界性的金融危机席卷全球，给我国的经济发展带来很大的困难。沿海地区许多中小企业纷纷裁员，造成大量的人员失业。据有关资料估计，从2008年底，相继有2000万人被裁员，其中有1000万人是民工。部分民工返乡虽然能够从一定程度上缓解就业压力，但2009年的600多万毕业大学生给我国就业市场带来巨大压力。但可喜的是，我国有庞大的外汇储备，民间资本实力雄厚，居民储蓄充足。中国还是发展中国家，许多方面的建设还处于落后水平，建设投资的潜力巨大。为保持我国经济快速发展，特别是解决就业问题带来希望，实行政府投资理所当然。在2009年两代会上，我国正式通过了4万亿的投资计划，目的就是保GDP增长，保就业，促和谐。但是有几个问题一直困扰着我们，请你运用数学建模知识加以解决。问题如下：

1、GDP增长8%，到底能够安排多少人就业？如果要实现充分就业，2009年的GDP到底要增长多少？

2、要实现GDP增长8%，4万亿的投资够不够？如果不够，还需要投资多少？

3、不同的产业(或行业)吸纳的劳动力就业能力不同，因此投资的流向会有所不同。请你决策，要实现劳动力就业最大化，4万亿的投资应该如何分配到不同的产业(或行业)里？ 4、请你给出相关的政策与建议。

2题

深洞的估算

假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1KG的 石头，并准确的测定出听到回声的时间T=5S，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。

1、不计空气阻力；

2、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数k1=0.05；

3、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.0025； 4、在上述三种情况下，如果再考虑回声传回来所需要的时间。 3题

优秀论文评选

在某数学建模比赛的评审过程中，组委会需要在一道题目的150 篇参赛论文中选择4 篇论文作为特等奖论文。评审小组由10 名评委组成，包括一名小组组长(出题人)，4 名专业评委(专门从事与题目相关问题研究的评委)，5 名普通评委(从事数学建模的教学和组织工作，参与过数学建模论文的评审)。组委会原先制定的评审步骤如下：

step1:首先由普通评委阅读所有150 篇论文，筛选出20 篇作为候选论文。

Step2:然后由小组内的所有评委阅读这些候选论文，每人选择4 篇作为推荐的论文。 Step3:接着进入讨论阶段，在讨论阶段中每个评委对自己选择的4 篇论文给出理由，大家进行讨论，每个评委对论文的认识都会受到其他评委观点的影响。

Step4:在充分讨论后，大家对这些推荐的论文进行投票，每个评委可以投出4票，获得至少6 票的论文可以直接入选，如果入选的论文不足，对剩余的论文(从20篇候选论文中除去已经入选的论文)重复step2至step4 步的评审工作。如果三轮讨论后入选的论文仍然不够，则由评选小组组长确定剩下名额的归属。

如果有超过4 篇的论文获得了至少6票，则由评选小组组长确定最终的名额归属。问题:

1、请建立数学模型定量地讨论上面的评审规则的公平性。

2、假设小组组长、专业评委、普通评委受超过半数人的观点影响的概率分别为0.3，0.4，0.6。组委会希望给每个评委的投票设置一定的权重，应该如何设置才最合理，用数学模型支持你的观点。 4题

送货问题

某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。路线是唯一的双向道路(如图１)。货运公司现有一种载重 6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时(不考虑塞车现象)，每日工作不超过8小时。运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。一个单位的原材料A,B,C分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在上，大件在下。卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满

足各公司当天的需求量(见表１)。 问题：

1、货运公司派出运输车6辆，每辆车从港口出发(不定方向)后运输途中不允许掉头，应如何调度(每辆车的运载方案，运输成本)使得运费最小。

2、每辆车在运输途中可随时掉头，若要使得成本最小，货运公司怎么安排车辆数？应如何调度？

3、(1)如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车，载重运费都是1.8元/吨公里，空载费用分别为0.2，0.4，0.7元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数和调度方案？(2)当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时，分析运输调度的难度所在，给出你的解决问题的想法(可结合实际情况深入分析)。

图１ 唯一的运输路线图和里程数 公司 材料 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 5 3 1 A 4 1 2 3 1 B 1 5 0 1 2 C 5 2 4 2 4 表１ 各公司所需要的货物量

0 4 3 2 2 5 5题

生产与存贮问题

一个生产项目，在一定时期内,增大生产量可以降低成本费,但如果超过市场的需求量,就会因积压增加存贮费而造成损失。相反,如果减少生产量,虽然可以降低存贮费,但又会增加生产的成本费,同样会造成损失。因此,如何正确地制定生产计划,使得在一定时期内,生产的成本费与库存费之和最小,这是厂家最关心的优化指标，这就是生产与存贮问题。 假设某车间每月底都要供应总装车间一定数量的部件。但由于生产条件的变化,该车间每月生产单位部件所耗费的工时不同,每月的生产量除供本月需要外,剩余部分可存入仓库备用。今已知半年内,各月份的需求量及生产该部件每单位数所需工时数如下所示: 月份( k)： 1 2 3 4 5 6 月需求量(bk)： 8 5 3 2 7 4 单位工时(ak)： 11 18 13 17 20 10

设库存容量H = 9,开始时库存量为2,期终库存量为0。要求制定一个半年逐月生产计划,使得既满足需求和库存容量的限制,又使得总耗费工时数最少。

6题

人民币的汇率问题

人民币汇率对经济的影响近年来成为人们议论的热点，有不少经济学家在探讨人民币汇率对我国及世界经济发展的影响。一些学者希望提高人民币对一些主要货币的汇率，另一些学者则希望稳定人民币的汇率。试建立数学模型解决下列问题： 1、以英镑汇率或日元汇率为例研究其变化对该国经济的影响； 2、人民币汇率与主要货币(如英镑、日元、欧元等)的汇率关系； 3、人民币汇率变化对我国及世界经济的影响。

7题

宠物狗销售

背景：一家宠物店卖小狗。这家店每天需要在每只小狗身上花费10元钱，因此宠物店不想在店里存储太多的小狗。通过调查研究，在给定的天数x内，所卖出的小狗的数量服从泊松分布(λ =0.1)。

宠物店每十天平均能卖出一只小狗，而每卖出一只小狗的利润是20元。当一个顾客来到宠物店里时，如果店里没有宠物卖，那么该顾客就会到别的宠物店去。如果宠物店预定小狗的话,则所预定的小狗需要到6天后才能到店里。现在该宠物店正在考虑一种预定小狗的最好策略。

策略A：每卖出一只小狗，宠物店就新预定一只。这个策略意味着每次店里只有一个小狗，因此宠物店就不会花费太多在小狗身上。

策略B：宠物店每隔10天就预定一只新的小狗，该狗6天后到。使用这个策略后,如果顾客连续几个星期没有光顾宠物店，则宠物店必须花大量的钱在小狗上。 问题：

1、编写程序,来模拟这两种策略，并比较哪一种策略好。 2、请提出第三种更好的策略，写出数学证明,并用软件模拟。 8题

列车售餐问题

长途列车由于时间漫长，需要提供车上的一些服务。提供一天三餐是主要的服务。由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。以T238次哈尔滨到广州的列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格一律15元。由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。列车上也卖方便面及面包等食品，但价格也偏贵。如一般售价3元的方便面卖5元。当然，由于列车容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，适当提高价格是正常的。但高出的价格应有一个限制，不能高得过头。假如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可提供每餐100人的方便面。请你根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。 9题

居民区供水问题

某居民区的民用自来水是由圆柱形水塔提供,水塔高12.2米,直径17.4米.水塔是由水

泵根据水塔内水位高低自动加水,一般每天水泵工作两次.现在需要了解居民区用水规律与水泵的工作功率.按照设计,当水塔的水位降至最低水位,约8.2米,水泵自动启动加水;当水位升高到一个最高水位, 约10.8米,水泵停止工作.

可以考虑采用用水率(单位时间的用水量)来反映用水规律,并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率,表1是某一天的测量记录数据,测量了28个时刻,但是由于其中有3个时刻遇到水泵正在向水塔供水,而无水位记录(表1中用//表示).

试建立合适的数学模型,推算任意时刻的用水率,一天的总用水量和水泵工作功率. 表1 原始数据(单位:时刻(小时),水塔中水位(米)) 时刻t 水位 时刻t 水位 时刻t 水位 时刻t 水位 0 9.677 7.006 8.525 12.954 10.210 19.959 8.433 0.921 9.479 7.928 8.388 13.875 9.936 20.839 8.220 1.843 9.308 8.967 8.220 14.982 9.653 22.015 // 2.949 9.125 9.9811 // 15.903 9.409 22.958 10.820 3.871 8.982 10.925 // 16.826 9.180 23.880 10.597 4.978 8.814 10.954 10.820 17.931 8.921 24.986 10.354 5.900 8.686 12.032 10.500 19.037 8.662 25.908 10.180

10题 导弹攻击

某军一导弹基地发现正北方向120千米处海上有一艘敌艇以90千米/小时的速度向正东方向行驶.该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇,导弹速度为450千米/小时,自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇。 试问导弹在何时何地击中敌艇?

如果当基地发射导弹的同时,敌艇立即仪器发现.假定敌艇即刻以135千米/小时的速度向与导弹方向垂直方向逃逸,问导弹何时何地击中敌艇?

敌艇与导弹方向成何夹角逃逸最好?结论中有何启示?

11题 城市供水量预测

为了节约能源和水源，供水公司需要根据日供水量记录估计未来一时间段（未来一天或一周）的用水量，以便安排未来（该时间段）的生产调度计划。

现在有某城市7年的历史记录，记录中给出了日期，每日用水量（吨/日）；当日的最高温度和最低温度；一号水厂和二号水厂日供水量（见附录2）。

请充分地利用这些数据建立数学模型给出 1．预测2007年1月份城市的计划供水量。

2．预测2007年1月份城市中每个水厂的计划供水量。

3．由于水资源的匮乏，必须要节约水资源。除制定法规和加强宣传外，提高水价格也是节水的主要措施。采用每年调一次水价的措施，希望2007年8月份的供水量不超过5045万吨，请确定合理的水价调整方案。

附表1：2000-2006年的调价方案 (月初调整水价)

调价日期 调价后综合 水价（元/吨） 2000.05 3.0 2001.06 3.4 2002.05 3.9 2003.06 4.3 2004.07 4.7 2005.06 5.0 2006.08 5.2 注：数据见附录2“A题数据”。

12题 ACM/ICPC队员的选拔

ACM/ICPC全国大学生程序设计竞赛是高等院校的重要赛事。由于竞赛场地、经费等原因，不是所有想参加竞赛的人都能被录用。为了能够选拔出真正优秀的同学代表学校参加全国竞赛，ACM/ICPC教练组需要投入大量的精力，但是每年在参赛的时候还是有很多不如意之处：有的学生言过其实，有的队员之间合作不默契，影响了ACM/ICPC的成绩。

与其他编程竞赛相比，ACM/ICPC题目难度更大，更强调算法的高效性，不仅要解决一个指定的命题，而且必需要以最佳的方式解决指定的命题；它涉及知识面广，与大学计算机系本科以及研究生如程序设计、离散数学、数据结构、人工智能、算法分析与设计等相关课程直接关联，对数学要求更高，由于采用英文命题，对英语要求高；ACM/ICPC采用3人合作、共用一台电脑，所以它更强调团队协作精神；由于许多题目并无现成的算法，需要具备创新的精神，ACM/ICPC不仅强调学科的基础，更强调全面素质和能力的培养。

目前选拔队员主要考虑以下几个环节

ACM培训课程的签到记录，程序设计课程笔试成绩,上机操作成绩，学生个人简介，面试，老师和学生的推荐等，通过考察这几个环节选拔出队员。 然后按照3人一组分为若干小组，为了使得小组具有较好的知识结构，一般总是将不同专业的学生安排在一起，使得每个小组至少包含有计算机编程能力强、数学基础好、英语好的同学。 各组通过做题进行交流和磨合，合作比较好的保留，合作不好的进行调整。

下表列出了24个学生的部分信息，空白处为学生不愿意提供或未能了解的情况： 学生 S1 S2 S3 S4 S5 专业 计算机 数学 物理 物理 电气 笔试成绩 96 95 92 91 90 上机成绩 A++ A+ A++ A+ A++ 英语 四级 六级 未过四级 四级 班级排名 2 2 听课次数 2 6 3 2 4 思维 敏捷 A A B B A 知识面 A B A A B 数学基础 优秀 优秀 其他情况 程序员 计算机三级 程序员 S6 S7 S8 S9 数学 电子 信息 计算机 数学 88 87 87 86 A++ A+ A++ A+ 4 3 5 3 6 C A B B A B A A 良好 S10 S11 S12 S13 S14 S15 S16 S17 S18 S19 S20 S21 S22 S23 S24 生物 计算机 计算机 化工 化工 电气 电子信息 数学 化工 计算机 土木 生物 化工 电子信息 机械 85 84 84 83 82 82 82 81 81 81 80 80 79 79 79 A A+ A++ A+ A++ A A A+ A A++ A A A+ B++ A+ 四级 未过四级 六级 四级 未过四级 六级 六级 2 5 2 4 5 6 7 5 6 4 4 6 5 6 7 5 4 5 C A C B B A C A C A A B B C B A A B A C A B B A B A A B A B 优秀 一般 良好 程序员

现在需要解决以下几个问题：

1．根据你们所了解的ACM知识，选拔ACM队员要考察学生的哪些情况？哪些素质是ACM的关键素质，如何进行考察？

2．根据上表中信息，建立ACM队员选拔的数学模型，从中选出12位同学，并组成4个队，使得这三个队具有良好的知识机构。

3．有的指导老师在对学生培训的时候发现一个同学通过了高级程序员，然后直接录用，不再考察其它情况，这种做法是否可取。

4．为ACM教练组写1份1000－1500字的报告，提出ACM队员选拔机制建议，帮助教练组提高建模队员选拔的效率和质量。

13题 大学生就业问题

如果我们将每年毕业的大学生中既没有找到工作又没有继续深造的情况视为失业，就可以用失业率来反映大学生就业的状况。下面的表中给出了某城市的大学生失业数占城市总失业人数的比率，比率的计算是按照国际劳工组织的定义，对16岁以上失业人员进行统计的结果。

年份 失业率（%） 男性 出生于城市 1989 1990 4.4 5.1 出生于农村 6.0 13.2 女性 出生于城市 5.7 4.7 出生于农村 10.8 11 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 9.7 10 12 11.3 11 11.1 10.7 8.6 6.9 6.7 8.7 11 11.7 10.6 9.4 9.1 7.6 6.3 6.4 17.2 20 22 22 22 21 18 14 13 11 16 20 24 25 20 19 16 14.1 13.3 8.7 8 10 11.2 10.4 10.2 9.9 8.2 6.7 6.3 6.9 7.0 7.2 6.9 6.3 5.9 5.4 4.9 4.7 15.8 17 19 21 19 20 16 13 11 11 13 14 18 16 17 15 14 12.6 12.8

请建立相应的模型对大学生就业状况进行分析找出其中的规律并讨论下面两个问题： 1、 就业中是否存在性别歧视； 2、 学生的出生对就业是否有影响。