北京朝阳陈经纶中学2017-2018学年上学期高二期中试卷数学(理科)word含解析

一、选择题：（本大题共1 0个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）

1．在平面直角坐标系xOy中，在y轴上截距为1且倾斜角为

A．x+y+10

B．x+y10

3π的直线方程为（ ）． 4C．xy+10 D．xy10

【答案】A

3π可得直线的斜率k1，又直线在y轴上的截距为1，由直线斜截4式可知直线方程为yx1，即x+y+10． 【解析】解：由直线的倾斜角为

故选A．

2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的正视图为（ ）．

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】解：由正视图的概念可知，该几何体的正视图为D选项． 故选D．

3．下列命题中，正确的是（ ）．

①若一平面内有两条直线都与另一平面平行，则这两个平面平行； ②若一平面内有无数条直线与另一平面平行，则这两个平面平行； ③若一平面内任何一条直线都平行于另一平面，则这两个平面平行； ④若一平面内的两条相交直线分别与另一平面平行，则这两个平面平行．

A．①③

B．②④

C．③④

D．②③④

【答案】C

【解析】解：①项、若一平面内有两条直线都与另一平面平行，则这两个平面可能相交，可能平行，故①错误；

②项、若一平面内有无数条平行直线都与另一个平面平行，则这两个平面可能相交，可能平行，故②错误；

③项、由面面平行的判定定理可知，若一平面内任何一条直线都平行于另一平面，则这两个平面平行，故③正确；

④项、由面面平行的判定定理可知，若一平面内的两条相交直线分别与另一平面平行，则这两个平面平行，故④正确． 故选C．

4．已知三点A(1,0)，B(0,3)，C(2,3)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（ ）．

A．

4 3 B．25 3 C．21 3

5D．

3【答案】C

【解析】解： △ABC外接圆的圆心在直线BC的垂直平分线上，

即圆心在直线x1上，可设圆心P(1,b)，由PAPB得|b|1(b3)2，解得b23所以圆心坐标P1,3，

2321所以圆心到原点的距离OP1． 33223， 3故选C．

5．设m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面： ①若m，，则m； ②若n，n，m，则m； ③若∥，m，则m∥； ④若，，m，则m． 上述四个命题中，正确命题的序号是（ ）．

A．①②

B．①④

C．②③

D．③④

【答案】C

【解析】①项、若m，，则m∥或m与相交，故①错误； ②项、若n，n，则∥，又m，则m，故②正确； ③项、由面面平行的性质可得，若∥，m，则m∥，故③正确；

④项、若，，则与可能平行也可能相交，只有当∥，且m时有m，当、

相交时不满足m，故④错误．

故选C．

6．向量a(1,1,0)，b(0,1,1)，c(1,0,1)，d(1,0,1)中，共面的三个向量是（ ）． A．a，b，c B．b，c，d C．c，d，a D．d，a，b 【答案】D

【解析】解：由题意可得abd， 所以a，b，d三个向量共面．

故选D．

7．某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）．

22223侧(左)视图

正(主)视图俯视图

A．25

B．26

C．27

D．42 【答案】C 【解析】解：

PCB

A由三视图可知该四面体如图所示，其中BC2，BC边上的高为23，PC底面ABC，且PC2，由以上条件可知，PCA为直角，最长的棱为PA或AB，

在直角三角形PAC中，由勾股定理得PAPC2AC222(23)225， 又在钝角三角形ABC中，AB(2BC)2(23)2161227， ∴该四面体的六条棱的长度中，最大的是27． 故选C．

(,)是直线xy2k与圆x2y2k22k3的公共点，8． 己知kR，点Pab则ab的最大值为（ ）．

A．15 B．9

C．4

D．1

【答案】B

【解析】解：∵直线xy2k与圆x2y2k22k3有公共点， ∴圆心(0,0)到直线xy2k的距离d|2k|≤k22k3， 2化简得k22k3≤0，解得3≤k≤1，

又P(a,b)是直线xy2k与圆x2y2k22k3的公共点， ab2k∴2， 22abk2k3(ab)2(a2b2)4k2(k22k3)323110kk3k， ∴ab2222332当k3时，ab取得最大值9． 故选B．

9．如图，四边形ABCD中，ABADCD 1，BD2，BDCD，将四边形ABCD沿对角线BD折成四面ABCD．使平面ABD平面BCD，则下列结论正确的是（ ）．

AABDBCD

C

A．BAC90

B．ACBD

C．CA与平面ABD所成的角为30

1D．四面体ABCD的体积为

3【答案】A

【解析】解：A项、∵平面ABD⊥平面BCD，CD⊥BD，∴CD⊥平面ABD，∴CD⊥AB， 又ABAD1，BD2，∴△ABD是等腰三角形，∴AB⊥AD， 又CD垂直，

∴假设不成立，即AC⊥BD不成立，故B错误；

C项、CA与平面ABD所成的角为CAD45，故C错误；

ADD，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，即BAC90，故A正确；

B项、假设AC⊥BD成立，∵BD⊥CD，∴BD⊥平面ACD，∴BD⊥AD，显然BD与AD不可能

1D项、VABCDVCABD，故D错误．

6故选A．

10．如图，正方体ABCD  A1B1C1D1中，E，F分别为棱DD1，AB上的点．

己知下列判断： 平面B1EF； ①AC1②△B1EF在侧面BCC1B1上的正投影是面积为定值的三角形； ③在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；

④平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点E的位置有关，与点F的位置无关．其中正确判断的个数有（ ）．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

D1A1EDAFBB1C1

C【答案】B

【解析】解：①项、若AC1⊥平面B1EF，则AC1⊥B1F，由三垂线逆定理知：B1F⊥A1B，又当F与A不重合时，B1F与A1B不垂直，故①错误；

②项、∵E在侧面BCC1B1上的投影在CC1上，下在侧面BCC1B1上的投影是B,

1∴△B1EF在侧面BCC1B1上的投影是三角形，且该三角形的面积S棱长棱长为定值，故②正确；

2③项、设平面A1B1C1D1故③正确；

④项、设E与D重合，F位置变化时，平面B1EF与平面ABCD所成的二面角（锐角）的大小也在变化，故④错误．

故选B．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

11．若方程x2 y22ax4y5a表示圆，则实数a的取值范围是___________． 【答案】(,4)(1,)

【解析】解：方程x2 y22ax4y5a可化为：(xa)2(y2)2a25a4，若该方程表示圆，则a25a40即(a1)(a4)0，解得a4或a1，

平面B1EFl，

∵平面A1B1C1D1总存在与l平行的直线，由线面平行的判定定理得与l平行的直线，与平面B1EF平行，

故实数a的取值范围是(,4)(1,)．

12．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1和BD1所成角的大小为___________，直线BC1和平面B1D1DB所成角的大小为___________．

D1A1B1C1

DA【答案】60；30 【解析】解：

CBD1CO1A1B1

DCAB连结DC1，AC11，设AC11B1D1O，连结BO，

∵B1D1∥BD，

∴DBC1即直线BC1和B1D1所成角， ∴△BC1D是等边三角形， ∴△DBC160，

即直线BC1和B1D1所成角的大小是60，

正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1⊥AC11，BB1⊥AC11，B1D1BB1B1，∴C1O⊥平面B1D1DB，

∴OBC1即是直线BC1和平面B1D1DB所成角，

∵OC112BC1，

∴sinOBCOC11BC1， 12∴OBC130，

∴直线BC1和平面B1D1DB所成角为30．

13．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，BAA1=DAA1 60，则AC1___________．

D1C1A1B1

DCAB【答案】23 【解析】解：∵BAA1DAA160， ∴A1在平面ABCD上的射影必落在直线AC上， ∴平面ACC1A1⊥平面ABCD， ∵AB1，AD2，AA1=3， ∵AC1ACCC1ABADAA1，

AA13，BAD 90，

∴|AC1|2(ABABAA1)2|AB|2+|AD|2|AA1|22ABAD2ABAA12ADAA1

111940213223

2223， ∴|AC|23， 故AC123．

14．己知圆x22axy20与圆x2y24交于A，B两点．O是坐标原点，且AOB≥120，则实数a的取值范围是___________． 【答案】(,2][2,)

【解析】解：由x22axy20与圆x2y24得直线AB的方程为x到AB的距离d所以

2

，由于AOB≥120， a

2，圆x2y24的圆心O(0,0)a22

≤2cos60，即≤1，解得a≤-2或a≥2． aa

故实数a的取值范围是(,2][2,)．

15．“降水量”是指从天空降落到地面上的液态或固态（经融化后）降水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的深度，降水量以mm为单位．

为了测量一次降雨的降水量．一个同学使用了如图所示的简易装置：倒置的圆锥．雨后，用倒置的圆锥接到的雨水的数据如图所示，则返一场雨的降水量为___________mm．

24mm

12mm【答案】1

【解析】解：设圆锥形的底面半径为r，则圆锥容器的底面半径为2R，圆锥形液面的体积

1Vπr2124πr2，设降水量为x，则π(2r)2x4πr2，解得x1．

3故这一场雨的降水量1mm．

Q分别是侧面BCC1B1，16．如图，正三棱柱ABCA1B1C1的棱长均为2．点M是侧棱AA1的中点，点P、底面ABC的动点，且A1P∥平面BCM，PQ平面BCM．则点Q的轨迹的长度为___________．

A1B1MPAQB4 3【解析】解： 【答案】

C1

CA1B1lABPC1M

QC∵点P是侧面BCC1B1内的动点，且A1P∥平面BCM，

∴P点的轨迹是过A1点与平面MBC平行的平面与侧面BCC1B1的交线，即连接侧棱BB1，CC1的中点的线段l，

∵Q是底面ABC内的动点，且PQ⊥平面BCM，

∴点Q的轨迹是过l于平面MBC垂直的平面MBC的线段m， 故线段m过△MBC的重心，且与BC平行，

24由正三棱柱ABCA1B1C1中棱长均为2，故线段m的长为：2．

33

三、解答题：（本大题共3个小题，共40分）

17． （12分）已知圆C:(xa)2(y2)24(a0)及直线l:x y30，直线l被圆C截得的弦长为22．（1）求实数a的值．

（2）求过点P(3,5)并与圆C相切的切线方程． 【答案】见解析．

【解析】解：（1）依题意可得圆心C(a,2)，半径r2，则圆心到直线l:xy30的距离d|a23|12(1)2|a1|， 2又∵直线l被圆C截得的弦长为22，则由勾股定理可知，

222d2r，代入化简得|a1|2， 2解得a1或a3， 又a0， ∴a1．

（2）由（1）知圆C:(x1)2(y2)24，圆心坐标为(1,2)，半径r2， 由(3,5)到圆心的距离为4913r2，得到(3,5)在圆外， ①当切线方程的斜率存在时，设方程为y5k(x3)， 由圆心到切线的距离d|2k3|k122r2，

5， 12∴切线方程为5x12y450； 化简得：12k5，解得k②当过(3,5)斜率不存在时，直线方程为x3，与圆相切， 综上，切线方程为5x12y450或x3．

18．（14分）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形．D为线段AC的中点． （1）求证：BD平面ACC1A1． （2）求证：直线AB1∥平面BC1D．

EDM（3）设M为线段BC1上任意一点，在△BC1D内的平面区域（包括边界）是否存在点E，使C?

请说明理由．

C1A1B1

CADB【答案】见解析． 【解析】解：

C1A1OEDAB（1）证明：∵三棱柱ABCA1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形， ∴CC1⊥BC，CC1⊥AC， ∴CC1⊥平面ABC， 又∵BD平面ABC， ∴CC1⊥BD，

又底面为等边三角形，D为线段AC的中点， ∴BD⊥AC， 又ACCC1C， ∴BD⊥平面ACC1A1．

（2）证明：连接B1C交BC1于O，连接OD，则O为B1C的中点， ∵D是AC的中点， ∴OD∥AB1，

又OD平面BC1D，AB1平面BC1D， ∴直线AB1∥平面BC1D．

（3）在△BC1D内的平面区域（包括边界）存在点E，使CE⊥DM，此时E在线段C1D上， 证明如下：过C作CE⊥C1D交线段C1D与E，

由（1）可知，BD⊥平面ACC1A1，而CE平面ACC1A1， ∴BD⊥CE，

由CE⊥C1D，BDC1DD，得CE⊥平面BC1D， ∵DM平面BC1D，

∴CE⊥DM． 19．（14分）如图，在四棱锥PABCD中，PAAD，AB∥CD，CDAD，ADCD2AB =2，

B1

CE、F分为PC、CD的中点，DEEC． （1）求证：平面ABE平面BEF．

（2）若PA1，求四面体BDEF的体积．

ππ（3）设PAa，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，，求a的取值范围．

43PDEFC

AB【答案】见解析． 【解析】解：

zPD yEFAxC

B（1）证明：∵AB∥CD，CD⊥AD，ADCD2AB2，F为CD的中点， ∴ABFD为矩形，AB⊥BF， 又∵DEEC，F是CD中点， ∴CD⊥EF， ∵AB∥CD， ∴AB⊥EF， ∵BFEFF， ∴AB⊥平面BEF， 又AB平面ABE， ∴平面ABE⊥平面BEF．

（2）∵AB⊥平面BEF，AB∥DF， ∴DF⊥平面BEF， ∵ABCD2AB2，

1515∴△BEF中，BF2，EFPD，BEPD，

22221511112， ∴△BEF的面积S2242221111∴四面体BDEF的体积VSDF1．

3326（3）∵DEEC，

∴DC⊥EF，

又PD∥EF，AB∥CD， ∴AB⊥PD， 又AB⊥PD， ∴AB⊥平面PAD， ∴AB⊥PA，

如图，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系， a则B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,a)，C(2,2,0)，E1,1,，

2aBE0,1,∴BD(1,2,0)，，

2平面BCD的法向量n1(0,0,1)， 设平面EBD的法向量为n2(x,y,z)，

x2y0n2BD02则，即，取y1，得x2，z， azy0an2BE022则n22,1,，

a∴cos2a4412a25a24，

ππ∵平面EBD与平面ABCD所成锐二面角,，

4312122cos,∴，即,， 222225a4由1222525≥，得：215≤a≤215，由≤a≤a≥得：或， 22225a455555a4225215,∴a的取值范围是． 55