最小二乘法拟合

4.最小二乘法线性拟合

我们知道，用作图法求出直线的斜率a和截据b，可以确定这条直线所对应的经验公式，但用作图法拟合直线时，由于作图连线有较大的随意性，尤其在测量数据比较分散时，对同一组测量数据，不同的人去处理，所得结果有差异，因此是一种粗略的数据处理方法，求出的a和b误差较大。用最小二乘法拟合直线处理数据时,任何人去处理同一组数据，只要处理过程没有错误，得到的斜率a和截据b是唯一的。

最小二乘法就是将一组符合Y=a+bX关系的测量数据，用计算的方法求出最佳的a和b。显然，关键是如何求出最佳的a和b。

(1) 求回归直线

设直线方程的表达式为：

yabx (2-6-1)

要根据测量数据求出最佳的a和b。对满足线性关系的一组等精度测量数据（xi，yi），假定自变量xi的误差可以忽略，则在同一xi下，测量点yi和直线上的点a+bxi的偏差di如下：

d1y1abx1

d2y2abx2



dnynabxn

显然最好测量点都在直线上（即d1=d2=„„=dn=0），求出的a和b是最理想的，但测量点不可能都在直线上，这样只有考虑d1、d2、„„、dn为最小，也就是考虑d1+d2+„„+dn为最小，但因d1、d2、„„、dn有正有负，加起来可能相互抵消，因此不可取；而|d1|+

222

|d2|+„„+ |dn|又不好解方程，因而不可行。现在采取一种等效方法：当d1+d2+„„+dn

222

对a和b为最小时，d1、d2、„„、dn也为最小。取（d1+d2+„„+dn）为最小值，求a和b的方法叫最小二乘法。

令 Ddi1n2i＝Ddi1n2i[yiabxi]2 (2-6-2)

i1nD对a和b分别求一阶偏导数为：

nnD2[yinabxi] ai1i1nnnD22[xiyiaxibxi] bi1i1i1 Ⅱ 基本概念与数据处理 – 27 –

再求二阶偏导数为：

n2D2D22n； 2xi22abi1n2D2D22n0显然： ； 2xi0 22abi1满足最小值条件，令一阶偏导数为零：

yi1ninabxi0 (2-6-3)

i1nn2n

xyii1niaxibxi0 (2-6-4)

i1i11n1n引入平均值： xxi； yyi；

ni1ni11n21nxxi； xyxiyi

ni1ni12则： yabx0

xyaxbx20 （2-6-5） 解得： aybx （2-6-6）

bxyxyxx22 （2-6-7）

将a、b值带入线性方程yabx，即得到回归直线方程。

(2) y、a、b的标准差

在最小二乘法中，假定自变量误差可以忽略不计，是为了方便推导回归方程。操作中函数的误差大于自变量的误差即可认为满足假定。实际上两者均是变量，都有误差，从而导致结果y、a、b的标准差(n≥6)如下：

– 28 – Ⅱ 基本概念与数据处理

ydi1n2in2n(yi1nibxia)2n2 (2-6-8)

(根式的分母为n-2,是因为有两个变量)

axi1ni12innxi2(xi)2i1yx2n(xx)22y (2-6-9)

bnnxi2(xi)2i1i1nny1n(xx)22y (2-6-10)

(3)相关系数

相关系数是衡量一组测量数据xi、yi线性相关程度的参量，其定义为： rxyxy(x2x)(y2y)22 （2-6-11）

r值在0<|r|≤1中。 |r|越接近于1，x 、y 之间线性好；r为正，直线斜率为正，称为正相关；r为负，直线斜率为负，称为负相关。|r|接近于0，则测量数据点分散或xi、yi之间为非线性。不论测量数据好坏都能求出a和b，所以我们必须有一种判断测量数据好坏的方法，用来判断什么样的测量数据不宜拟合，判断的方法是|r|表2-6-2 相关系数起码值r0

n 3 4 5 6 7 8 r0 1.000 0.990 0.959 0.917 0.874 0.834 n 9 10 11 12 13 14 r0 0.798 0.765 0.735 0.708 0.684 0.661 n 15 16 17 18 19 20 r0 0.641 0.623 0.606 0.590 0.575 0.561 在进行一元线性回归之前应先求出r值，再与r0比较，若|r|> r0，则x和y具有线性关系，可求回归直线；否则反之。

Ⅱ 基本概念与数据处理 – 29 –

例9：灵敏电流计的电流常数Ki和内阻Rg的测量公式为R2RsURg测得的

KiR1d数据同例7，其中间处理过程如下，试用最小二乘法求出Ki和Rg，并写出回归方程的表达式。

解：测量公式与线性方程表达式y＝a+bx比较：

yR2 xU bRs aRg

KiR1d数据处理如表2-6-3：

表2-6-3 Rs＝0.100Ω R1＝4350.0Ω d＝40.0mm i R2(Ω) U(V) 2(10ΩR2421 400.0 2.82 ) 16.00 7.95 11.3 2 350.0 2.49 12.25 6.20 8.72 3 300.0 2.15 9.000 4.62 6.45 4 250.0 1.82 6.250 3.31 4.55 5 6 7 8 50.0 0.56 0.250 0.31 0.28 平均值 225.0 1.67125 6.375 3.34625 4.615625 200.0 150.0 100.0 1.51 1.18 0.84 4.000 2.250 1.000 2.28 3.02 1.39 1.77 0.71 0.84 U(V) R2U(10ΩV) 222

中间过程可多取位：

2 x＝1.67125 y＝225.0 x＝3.34625 y＝6.375×10 xy＝461.5625

24

相关系数

rxyxy(x2x)(y2y)220.998

查表得知，当n=8时，r0=0.834，两者比较r>r0，说明x、y(即U、R2)之间线性相关，可以求回归直线。

求回归方程的系数

bxyxyxx22＝154.6192304

aybx＝-33.4

代换

Rga＝33.4Ω

– 30 – Ⅱ 基本概念与数据处理

Rsb＝154.6192304

KiRidKi＝

Rs-9

＝3.7170×10A/mm bRid计算标准差为：

y＝2.64561902； a＝2.300545589； b＝1.257626418

计算不确定度： ΔRg＝a＝2Ω； 测量结果表达式

电流计内阻： Rg＝(33±2)Ω

Kib－9

＝＝0.81％； ΔK ＝0.03×10A/mm KbRgRg＝6.1％

电流常数： K ＝(3.72±0.03)×10A/mm 回归方程： R2＝155U－33 5.计算器在数据处理中的应用

－9

Ki＝0.81％ K在处理数据时，不同的计算器的编程方式各不相同，下面以震旦AURORA SC180型计算器为例作以介绍。 （1）计算标准偏差S

① 标准偏差S的计算器运行公式：

1ns(xix)2n1i11n因为 xxi

ni1x2xxix2ii1i1i1nnn2n1

Ⅱ 基本概念与数据处理 – 31 –

所以 sxi1n2i(xi)2i1nnn1 （只有为xi单变量）

② 操作步骤和方法

(ⅰ) 按[MODE][0]键，计算器进入单变量统计计算状态。屏右上角显示“STAT1”指示符。

(ⅱ) 清除内存数据：按[INV][ON/C.CE]键。

(ⅲ) 数据输入：依次先键入数值，然后按[DATA]键，每完成一次输入的同时，屏幕均会显示数据的个数n值。

(ⅳ) 数据修正：按[DATA]键之前，要删除错误数据，按[ON/C.CE]；按[DATA]键后要删除错误数据，再次输入该错误值，然后按[INV][DEL]。

(ⅴ) 取分析结果：

[INV][x]：平均值 [INV][[INV][

x]：数据和 x]: 数据平方和

2

[INV][S]：测量列的标准偏差 [INV][n]：数据个数

例10：一组等精度测量值为：83.1、83.3、83.3、83.7、83.9、83.6、83.4、83.4、83.1、83.2，试求x、

解：

按 键 [MODE][0] [INV][ON/C.CE] 83.1[DATA] 83.3[DATA] 83.3[DATA] 83.7[DATA] 83.9[DATA] 83.6[DATA] 83.4[DATA] 显 示 ST1 0 0 n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n 6 n 7 x、x、S、n 。

2

– 32 – Ⅱ 基本概念与数据处理

83.4[DATA] 83.1[DATA] 83.2[DATA] [INV][x] n 8 n 9 n 10 83.4 834 69556.22 0.262466929 10 x] [INV][x] [INV][2[INV][S] [INV][n] 注：当n≥6时，认为＝S 。 （2）最小二乘法求回归直线

① 求回归直线参量a、b、r的计算器运行公式

由(2-6-6)、(2-6-7)、(2-6-11)式得到以下只含xi、yi两个变量的公式：

anyi1nibxii1nnnnii

bxyi1i1ni1nxiyii1n

(xi)2nxi2i1rnxiyixiyii1i1i1nnn[nxi2(xi)2][nyi2(yi)2]i1i1i1i1nnnn

② 操作步骤和方法：

(ⅰ) 按[MODE][.]，计算器进入双变量统计计算状态。屏幕右上角显示“STAT2”指示符。

(ⅱ) 清除内存数据：按[INV][ON/C.CE]键

(ⅲ) 双变量数据输入：先键入x的值、 按[a]键， 然后键入y的值、 按[b]键，再按[DATA]键，完成输入。屏幕会同时显示数据的个数，即n值。

(ⅳ) 数据修正：同单变量数据输入。 (ⅴ) 取分析结果

[INV][a]：回归直线的截距 [INV][b]：回归直线的斜率

Ⅱ 基本概念与数据处理 – 33 –

[INV][r]：相关系数 还可以取以下值：

[INV][x]、[INV][y]、[INV][Σx]、[INV][Σx]、[INV][Σy]、[INV][Σy]、

2

2

[INV][Σxy]， 以便计算y、a、b(计算器没有该三项的计算程序)。 例11： 灵敏电流计实验所测数据如下：

RS＝0.100Ω R1＝4350.0Ω d＝40.0mm R2（Ω） 400.0 U（V） 2.82 350.0 2.49 300.0 2.15 250.0 1.82 200.0 1.51 150.0 1.18 100.0 0.84 50.0 0.56 要求所使用计算器具有计算最小二乘法的功能，求回归直线以及电流计的电流常数Ki和内阻Rg。

解： 测量公式R2则： 按 键 [MODE][.] [INV][ON/C.CE] 2.82{a}400.0[b][DATA] 2.49[a]350.0[b][DATA] 2.15[a]300.0[b][DATA] 1.82[a]250.0[b][DATA] 1.51[a]200.0[b][DATA] 1.18[a]150.0[b][DATA] 0.84[a]100.0[b][DATA] 0.56[a]50.0[b][DATA] [INV][a] [INV][b] [INV][r] 显 示 ST2 0 0 n 1 n 2 n 3 n 4 n 5 n 6 n 7 n 8 a -32.12335698 b 153.8509241 r 0.9998323336 RsURg与线性方程表达式y＝a+bx比较y＝R2 x＝U，

KiR1d查表知道，当n＝8时，r0＝0.834， r>r0，说明U、R2之间线性相关。得到： 回归方程 R2＝154U－32 电流计内阻 Rg＝32

－9

电流常数 K＝3.74×10A/mm

– 34 – Ⅱ 基本概念与数据处理

习 题

1．指出下列测量结果的有效数字： (1) I＝5010mA

8

(2) C＝2.99792458×10m/s

2．按“四舍五入”修约法，将下列数据只保留3位有效数字：

(1) 1.005 (2) 979.499 (3) 980.501 (4) 6.275 (5) 3.134 3．单位变换：

(1) m＝3.162±0.002kg

＝ g ＝ mg ＝ T (2) θ＝(59.8±0.1)°

＝( )ˊ(3) L＝98.96±0.04cm

＝ m ＝ mm ＝ µm

4．改错并且将一般表达式改写成科学表达式：

1192

(1) Y＝(1.96×10±5.78×10)N/m (2) L＝(160000±100)m

5．按有效数字运算规则计算下列各式：

-5

(1) 1000＝

3

(2) 3.2×10＋3.2＝

0

(3) tg305ˊ＝

(4)

100.325＋100.125＝

100.325100.1252

(5) R1＝5.10kΩ，R2＝5.10×10Ω，R3＝51Ω。 求： R＝R1+R2+R3＝

(6) L＝1.674m-8.00cm＝

Ⅱ 基本概念与数据处理 – 35 –

6．求下列公式的不确定度：

(1) 4m 2dhxy3(2) N＝

22(3) L＝h+

d 3(4) Z＝

xy xy7．用分度值为1mm的米尺测量一物体长度L，测得数据为：98.98cm、98.96cm、98.97cm、 98.94cm、99.00cm、98.95cm、98.97cm，试求L、 ΔL，并写出测量结果表达式 L±ΔL。

8．测量出一个铅圆柱体的直径为d＝(2.040±0.001)cm，高度为h＝(4.120±0.001)cm,质量为m＝(149.10±0.05)g，试计算、，并表示测量结果。 9．某同学测量弹簧倔强系数的数据如下： F(g) y(cm) 2.00 6.90 4.00 10.00 6.00 13.05 8.00 15.95 10.00 19.00 12.00 22.05 14.00 25.10 其中F为弹簧所受的作用力，y为弹簧的长度，已知y-y0＝(

1)F，试用作图法求弹k簧的倔强系数k及弹簧的原来长度y0。

10．用伏安法测电阻时，测出的数据如下，试求回归直线，并求出测量结果R值。 I(mA) U(V) 2.00 1.00 4.00 2.01 6.00 3.05 8.00 4.00 10.00 12.00 14.00 16.00 18.00 20.00 5.01 5.99 6.98 8.00 9.00 9.96 11. 用双臂电桥对某一电阻作多次等精度测量，测得数据如下： R（Ω）：12.06 12.10 12.12 12.15 12.16 12.17 12.19 12.21 12.22

12.25 12.26 12.35 12.42 12.83

试用3准则判断该测量列中是否有坏值，计算出检验后的算术平均值及平均值的标准差，正确表达测量结果。

– 36 – Ⅱ 基本概念与数据处理

相关系数公式：