贵州省遵义航天高级中学2016届高三第一次模拟数学(理)试题

理科数学试题

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．已知集合A{1,2}，B{x|ax30}，若BA，则实数a的值是（ ） A．3 B．0,3 C． 3,3 D．0,322,3

2.执行如图所示的程序框图，若输出K的值为8，则判断框中可填入的条件是（ ） A、s34 B、s56 C、s1112 D、s1524

（第2题图） 3、函数f(x)lnx122x的图象大致是（ ）

4．在边长为1的正三角形ABC中，设BC2BD，CACE，若ADBE14， 则的值为（ ）（A）

12（B）2（C）1（D）3

3 15、已知某几何体的三视图右图5所示，正视图和侧视图是边长为1的正

方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是1主视图（ ）．

11第 1 页 共 9 页

俯视图1侧视图（A）2 （B）1 （C）

211 （D） 236.若a,b 是函数fxxpxqp0,q0 的两个不同的零点，且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则P+q的值等于（ ）

A．6 B．7 C．8 D．9

7、将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，上海交通大学，中山大学这3所大学就读，则每所大学至少保送1人的不同保送方法数为（ ）种。

（A）150 （B）180 （C）240 （D）540 8．已知

，函数f(x)=sin(x+)在（，）上单调递减，则的取值范围是( )

A．, B．, C．(0,] D．(0,2]

22424131519、设

为不同的平面，m,n,l为不同的直线，则m的一个充分条件为

（A），l，ml （B）m，，

（C），，m （D）n，n，m

3x1,x1,则满足ffa2fa的a取值范围是（ ） 10.设函数fxx2,x1（A）,1 （B）0,1 （C）, （D）1,

2323x2y211．已知双曲线221(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被

ab直线

xy1截得的弦长为6a，则双曲线的离心率为( ) abA．3 B．2 C．3 D．2 12．定义在(0,则（ ）

A．3f()f() B．3f()2cos1f(1)

2)上的函数f(x)，f'(x)是它的导函数，且恒有f'(x)f(x)tanx成立。

636C．6f()2f() D．2f()f()

6443第 2 页 共 9 页

二、填空题（每小题5分，共60分） 13、若“x0,14、(x,tanxm”是真命题，则实数m的最小值为 414（用数字表示） )的展开式中常数项为 ．

3x15. 设函数f(x)ax2b(a0)，若

2

2

30f(x)dx3f(x0)，则x0_______

16、如图，已知圆M：（x-3）+（y-3）=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E、F分别为AB、AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动，

.

的最大值是__

三、解答题： 17（12分）、△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)； (2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．

18（12分）．一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个．．作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为5,15，15,25，25,35，35,45，由此得到样本的重量频率分布直方图（如右图），

（Ⅰ）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；

（Ⅱ）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在5,15内的小球个数为

X，求X的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).

19（12分）、在直三棱柱ABCABC中，底面ABC是边长为2的正三角形，D是棱AC的中点，且AA22.（Ⅰ）试在棱CC上确定一点M，使AM平面

AABD；

（Ⅱ）当点M在棱CC中点时，求直线AB与平面ABM所成正弦值.

DBC

x2y220（12分）、在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆221ab0的离

ab2心率为，且右焦点F到左准线l的距离为3.

2 （1）求椭圆的标准方程；

A B M

C

（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，

C，若PC=2AB，求直线AB的方程.

21、已知函数f(x)=lnx-kx+1

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（1）求函数f(x)的单调区间； （2）若f(x)

恒成立，试确定实数k的取值范围；

（3）证明： (n n1)

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所作的第一题计分。作答时请写清题号。（共10分） 22、如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，PAB的平分线AC 交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于Q点， (1)求证:QCBCQC2QA2;

（2）若AQ=6，AC=5.求弦AB的长.

1x3t223、在直角坐标系xy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，xy3t2轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为23sin． （I）写出圆C的直角坐标方程；

(2)p为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标． 24、已知函数fx2xax1.

(Ⅰ)当a3 时,求不等式fx2 的解集;

(Ⅱ)若fx5x 对xR 恒成立,求实数a的取值范围.

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一模理科数学答案

一、选择题：DCBDC DABDC DA

二、填空题：13、1 14

15、3 16 、6

三、解答题：

17、解：(1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b. 由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B. ∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)， ∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．

2

(2)∵a，b，c成等比数列，∴b＝ac. 由余弦定理得

a2＋c2－b2a2＋c2－ac2ac－ac1

cos B＝＝≥＝，

2ac2ac2ac2

当且仅当a＝c时等号成立， 1

∴cos B的最小值为.

2

18、（1）由题意，得0.020.032a0.018101，解得a0.03…1分

又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克），………2分

而50个样本小球重量的平均值为：X0.2100.32200.3300.184024.6（克）

故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克；……4分 （Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在5,15内的概率为0.2，……5分

则XB(3,).X的可能取值为0、1、2、3，………6分

15644814114，PX1C3， PX0C55125551250303211412314，PX3C3. …10分 PX2C325512555125X的分布列

X 0 2301 48125 2 12125 3 为：

P 64125 1125 第 5 页 共 9 页

EX064481213123………………12分 125125125125519、解析：（Ⅰ)取AC边中点为O

∵底面ABC是边长为2的正三角形，∴OBAC

连接OD， ∵D是边AC的中点 ∴ODAC，ODOB

所以可以建立以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OD为z轴如图所示的坐标系 ，

则有 O(0,0,0)，A(0,1,0)，B(3,0,0)，C(0,1,0)，B(3,0,22)，A(0,1,22)， D(0,0,22)，C(0,1,22)

设M(0,1,t)，则AM(0,2,t22)，AD(0,1,22)，AB(3,1,22) 若AM平面ABD，则有AMAD，AMAB

AMAD02(t22)22032∴ 可得 t

2AMAB02(t22)220即当CM32时，AM平面ABD. 2（Ⅱ) 当点M在棱CC中点时：M(0,1,2)

∴BM(3,1,2)，AM(0,2,2)，设平面ABM的一个法向量n(x,y,z)

BMn3xy2z0∴ 令z2，得 y1，x3 AMn02y2z0∴n(3,1,2)

设直线AB与平面ABM所成角为，则sin|cosn,AB|22 3第 6 页 共 9 页

c220、（1）由题意，得a2解得aa2且c3，

c2，c1，则b1，

x2所以椭圆的标准方程为y21．………………………..5分

2（2）当x轴时，2，又C3，不合题意．

ykx1，x1,y1，x2,y2，

4k2x2k210，

当与x轴不垂直时，设直线的方程为

将的方程代入椭圆方程，得

12kx222k2k,则，C的坐标为，且 22x1,2212k12k12k2221k． 222x2x1y2y11k2x2x112k2若k2k221k20，则线段的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意．

……………………………………..12分 21、（每问4分）（1）由题可知函数f（x）的定义域为(0,+∞),则f′(x)＝1/x−k ①当k≤0时,f′(x)＝1/x−k＞0,f（x）在（0,+∞）上是增函数 ②当k＞0时,若x∈(0,1/k)时,有f′(x)＝1/x−k＞0,若x∈(1/k,+∞)时,有f′(x)＝1/x−k＜0,则f（x）在（0,1/k）上是增函数,在（1/k,+∞）上是减函数 （2）由（1）知当k≤0时,f（x）在（0,+∞）上是增函数 而f（1）=1-k＞0,f（x）≤0不成立 故k＞0

又由（1）知f（x）的最大值为f（1/k）,要使f（x）≤0恒成立,则f（1/k）≤0即可 ∴-lnk≤0，∴k≥1

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22、解析：（1）∵PQ与⊙O相切于点A，∴PACCBA

∵PACBAC ∴BACCBA

∴AC=BC=5

由切割线定理得：

QAQBQCQCBCQC

2 ∴ QCBCQC2QA2 ------------5分 （2） 由AC=BC=5，AQ=6 及（1）， 知 QC=9 由QABACQ 知QAB∽QCA

∴ABQA10 ∴ AB. ----------10分 ACQC323、解析：（I）由23sin，得223sin， 从而有x+y23y，所以x+y322223.

2213132(II)设P(3t, t)，又C(0,3)，则|PC|3tt3t12，2222故当t0时，C取最小值，此时点的直角坐标为3,0.

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