一、选择题：（本大题有12小题，每小题5分，共60分，请从A，B，C，D四个选项中，选出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选，多选，错选均得零分.） 1．如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（ ） A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ab2 D．ac（a﹣c）＜0
2．等差数列中，a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于（ ） A．160 B．180 C．200 D．220
3．若A={x|x2﹣1＜0}，B={x|lgx＜1}，则A∩B=（ ） A．{x|﹣1＜x＜10} B．{x|0＜x＜10} C．{x|0＜x＜1}
D．{x|﹣1＜x＜1}
4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A．a=8，b=16，A=30°，有两解 C．a=5，c=2，A=90°，无解 5．函数A． B． D．
6．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．设向量c﹣a），若向量∥A．
B．
C．
，则角C的大小是（ ） D．
=（a+c，b），
=（b﹣a，
B．b=18，c=20，B=60°，有一解
D．a=30，b=25，A=150°，有一解
的定义域是（ ）
7．已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2n，则a10=（ ） A．1 024 B．1 023 C．2 048 D．2 047 8．在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=A．﹣ B．﹣ C． D．
9．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和之比为A．
B． C． D．
，
，则△ABC的面积为（ ）
，则
等于（ ）
，则
•
等于（ ）
10．在△ABC中，b2﹣bc﹣2c2=0，A．
B． C．2 D．
- 1 -
11．已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当Sn最大时n的值为（ ） A．8
B．9
C．10 D．16
12．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（ ）
A．
B． C． [ -1， ,6 ] D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置） 13．数列{an}的通项公式为an=logn+1（n+2），则它前14项的积为 4． 14．点（a，1）在直线x﹣2y+4=0的右下方，则a的取值范围是 ． 15．已知数列{an}满足a20= ．
16．△ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为
三、解答题：解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17．△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosA=（1）求
的值；
．
，则其外接圆的半径为 ．
，则
（2）若b=2，△ABC的面积S=3，求a的值．
18．若等差数列{an}的首项a1=13，d=﹣4，记Tn=|a1|+|a2||…+|an|，求Tn． 19．已知函数f（x）=lg的定义域为R，则实数m的取值范围是 ． 20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知向量=（cos
，sin
），且满足|
+
|=
．
=（cos
，sin
），
（1）求角A的大小； （2）若b+c=
a，试判断△ABC的形状．
），（n∈N*）均在函数y=3x﹣2的图象上．
21．设数列{an}的前n项为Sn，点（n，（1）求数列{an}的通项公式．
- 2 -
（2）设bn=小正整数m．
，Tn为数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜对所有n∈N*都成立的最
22．（1）已知关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是{x|x＜﹣2，或x＞﹣﹣bx+c＞0的解集．
}，求不等式ax2
（2）已知M是关于x的不等式2x2+（3a﹣7）x+3+a﹣2a2＜0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集．
- 3 -
2018-2019学年青海省西宁五中高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题有12小题，每小题5分，共60分，请从A，B，C，D四个选项中，选出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选，多选，错选均得零分.） 1．如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，那么下列选项中不一定成立的是（ ） A．ab＞ac B．c（b﹣a）＞0 C．cb2＜ab2 D．ac（a﹣c）＜0 【考点】71：不等关系与不等式．
【分析】本题根据c＜b＜a，可以得到b﹣a与a﹣c的符号，当a＞0时，则A成立，c＜0时，B成立，又根据ac＜0，得到D成立，当b=0时，C不一定成立． 【解答】解：对于A，∵c＜b＜a且ac＜0， ∴则a＞0，c＜0， 必有ab＞ac， 故A一定成立 对于B，∵c＜b＜a ∴b﹣a＜0，
又由c＜0，则有c（b﹣a）＞0，故B一定成立， 对于C，当b=0时，cb2＜ab2不成立， 当b≠0时，cb2＜ab2成立， 故C不一定成立，
对于D，∵c＜b＜a且ac＜0 ∴a﹣c＞0
∴ac（a﹣c）＜0，故D一定成立 故选C．
2．等差数列中，a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78，则此数列前20项和等于（ ） A．160 B．180 C．200 D．220 【考点】8F：等差数列的性质．
【分析】先根据a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78可得到a1+a20=18，再由等差数列的前20项和的式子可得到答案．
【解答】解：∵a1+a2+a3=﹣24，a18+a19+a20=78
- 4 -
∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3（a1+a20） ∴a1+a20=18 ∴故选B
3．若A={x|x2﹣1＜0}，B={x|lgx＜1}，则A∩B=（ ） A．{x|﹣1＜x＜10} B．{x|0＜x＜10} C．{x|0＜x＜1} 【考点】1E：交集及其运算．
【分析】利用交集定义和对数函数性质求解． 【解答】解：∵A={x|x2﹣1＜0}={x|﹣1＜x＜1}， B={x|lgx＜1}={x|∴A∩B={x|0＜x＜1}． 故选：B．
4．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是（ ） A．a=8，b=16，A=30°，有两解 C．a=5，c=2，A=90°，无解 【考点】HX：解三角形．
【分析】利用正弦定理分别对A，B，C，D选项进行验证． 【解答】解：A项中sinB=∴B=
•sinA=1，
B．b=18，c=20，B=60°，有一解
}={x|0＜x＜10}，
D．{x|﹣1＜x＜1}
=180
D．a=30，b=25，A=150°，有一解
，故三角形一个解，A项说法错误．
sinB=
，
B项中sinC=
∵0＜C＜π，故C有锐角和钝角两种解． C项中b=D项中sinB=
=•sinA=
，故有解． ，∵A=150°，
∴B一定为锐角，有一个解． 故选：D．
- 5 -
5．函数A． B． D．
的定义域是（ ）
【考点】33：函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数y的解析式，列出不等式，求出解集即可． 【解答】解：函数∴
（x2﹣2）≥0，
，
∴0＜x2﹣2≤1， ∴2＜x2≤3， 解得﹣
≤x＜﹣
或
＜x≤
；
∴函数y的定义域是． 故选：D
6．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．设向量﹣a，c﹣a），若向量A．
B．
∥ C．
，则角C的大小是（ ） D．
=（a+c，b），
=（b
【考点】HR：余弦定理；96：平行向量与共线向量． 【分析】因为
，根据向量平行定理可得（a+c）（c﹣a）=b（b﹣a），展开即得b2+a2
﹣c2=ab，又根据余弦定理可得角C的值． 【解答】解：∵2cosC=1∴C=故选B．
7．已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2n，则a10=（ ） A．1 024 B．1 023 C．2 048 D．2 047 【考点】11：集合的含义；8H：数列递推式． 【分析】根据条件
∴（a+c）（c﹣a）=b（b﹣a）∴b2+a2﹣c2=ab
，从而{an+1﹣an}为等比数列，求该数列的前9项和便可得到
- 6 -
，这样即可求出a10．
【解答】解：；
∴
；
∴（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a10﹣a9） =
；
∴a10﹣a1=a10﹣1=1022； ∴a10=1023． 故选：B．
8．在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=，则
•
等于（ ）
A．﹣
B．﹣
C．
D．
【考点】HR：余弦定理；9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据利用余弦定理求出cosA，通过向量数量积的量，
，求解即可．
【解答】解：在△ABC中，由余弦定理得：cosA=
=
=
，=
=﹣
=﹣
=．
故选：A．
9．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和之比为，则
等于（A．
B．
C．
D．
【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】利用等差数列的性质可得： =，即可得出．
- 7 -
）
=
【解答】解：利用等差数列的性质可得： ===．
故选：C．
10．在△ABC中，b2﹣bc﹣2c2=0，A．
B．
C．2
，D．
，则△ABC的面积为（ ）
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【分析】由已知的等式分解因式，求出b与c的关系，用c表示出b，然后根据余弦定理表示出cosA，把a与cosA的值代入即可得到b与c的关系式，将表示出的含c的式子代入即可得到关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值，从而求得c的值，即可求得△ABC的面积． 【解答】解：由b2﹣bc﹣2c2=0因式分解得：（b﹣2c）（b+c）=0，解得：b=2c，b=﹣c（舍去）． 又根据余弦定理得：cosA=将c=由故选B．
11．已知等差数列{an}中，Sn是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当Sn最大时n的值为（ ） A．8
B．9
C．10 D．16
代入得：4b2+b2﹣24=
可得 sinA=
=
=
，化简得：4b2+4c2﹣24=7bc，
b2，即b2=16，解得：b=4或b=﹣4（舍去），则b=4，故c=2．
，故△ABC的面积为
=
，
【考点】8E：数列的求和．
【分析】根据所给的等差数列的S16＞0且S17＜0，根据等差数列的前n项和公式，看出第九项小于0，第八项和第九项的和大于0，得到第八项大于0，这样前8项的和最大． 【解答】解：∵等差数列{an}中，S16＞0且S17＜0 ∴a8+a9＞0， a9＜0， ∴a8＞0，
∴数列的前8项和最大 故选A
- 8 -
12．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是（ ）
A． B． C． [ -1， ,6 ] D．
【考点】7C：简单线性规划．
【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；由目标函数中z的几何意义可求z的最大值与最小值，进而可求z的范围 【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示
由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z为直线y=3x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小 结合图形可知，当直线y=3x﹣z平移到B时，z最小，平移到C时z最大 由
可得B（，3），
- 9 -
由∴故选A
可得C（2，0），zmax=6
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置） 13．数列{an}的通项公式为an=logn+1（n+2），则它前14项的积为 4． 【考点】81：数列的概念及简单表示法；4H：对数的运算性质． 【分析】利用对数的换底公式可得an=logn+1（n+2）=【解答】解：∵an=logn+1（n+2）=则a1a2•…•a14=故答案为：4．
14．点（a，1）在直线x﹣2y+4=0的右下方，则a的取值范围是 （﹣2，+∞） ． 【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．
【分析】因为原点（0，0）在直线x﹣2y+4=0的右下方区域，所以代入直线方程左侧的值大于0，代表所有原点所在区域，点（a，1）和（0，0）在直线的同侧，所以点的坐标代入直线左侧的代数式后大于0．
【解答】解：点（a，1）在直线x﹣2y+4=0的右下方区域， 则a﹣2+4＞0，解得：a＞﹣2． 故答案为：（﹣2，+∞）．
15．已知数列{an}满足【考点】8H：数列递推式． 【分析】先根据
可得到a2，a3，a4的值，从而可得到数列{an}是
以3为周期的数列，根据20=3×6+2得到a20=a2=﹣
，进而得到答案． ，则a20= ﹣
．
=
，
=4，
，代入即可得出．
- 10 -
【解答】解：∵，
∴，，，…
∴数列{an}是以3为周期的数列，又20=3×6+2 ∴a20=a2=﹣故答案为：﹣
16．△ABC的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为【考点】HP：正弦定理．
【分析】由条件利用余弦定理求得第三边x，再利用正弦定理求得外接圆的半径R的值． 【解答】解：设另一条边为x，则x2=22+32﹣2×2×3×设cosθ=
，则sinθ=
． =
=
=
，∴外接圆的半径
，∴x2=9，∴x=3． ，则其外接圆的半径为
．
∴再由正弦定理可得 2R=R=故答案为：
，
．
三、解答题：解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
17．△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosA=（1）求
的值；
．
（2）若b=2，△ABC的面积S=3，求a的值． 【考点】HX：解三角形．
【分析】（1）利用诱导公式及二倍角的余弦公式对式子化简，=（2）由
，代入可求
可求sinA，代入三角形的面积公式 S=
可求c，然后利用余弦定理可
=
得a2=b2+c2﹣2bccosA可求a
- 11 -
【解答】解：（1）==（2）∵
=∴
S=
=
==3
∴c=5，a2=b2+c2﹣2bccosA=∴
18．若等差数列{an}的首项a1=13，d=﹣4，记Tn=|a1|+|a2||…+|an|，求Tn． 【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】先求出an=17﹣4n，等差数列{an}的前n项和Sn=15n﹣2n2，由n≤4时，Tn=Sn，n≥5时，Tn=﹣Sn+2S4，能求出Tn．
【解答】解：∵等差数列{an}的首项a1=13，d=﹣4， ∴an=13+（n﹣1）×（﹣4）=17﹣4n， 等差数列{an}的前n项和Sn=由an=17﹣4n＞0，得n＜
，
×（﹣4）=15n﹣2n2，
a4=17﹣16=1，a5=17﹣4×5=﹣3， ∵Tn=|a1|+|a2||…+|an|， ∴n≤4时，Tn=Sn=15n﹣n2， n≥5时，Tn=﹣Sn+2S4=n2﹣15n+88． ∴
19．已知函数f（x）=lg的定义域为R，则实数m的取值范围是 m＞【考点】33：函数的定义域及其求法．
【分析】由于f（x）的定义域为R，则（m2﹣3m+2）x2+（m﹣1）x+1＞0恒成立，讨论m2﹣3m+2=0，和m2﹣3m+2＞0，且判别式小于0，解出它们，求并集即可． 【解答】解：由于f（x）的定义域为R， 则（m2﹣3m+2）x2+（m﹣1）x+1＞0恒成立，
- 12 -
．
或m≤1 ．
若m2﹣3m+2=0，即有m=1或2，当m=1时，1＞0，恒成立， 当m=2时，x+1＞0不恒成立．
若m2﹣3m+2＞0，且判别式小于0，即（m﹣1）2﹣4（m2﹣3m+2）＜0， 即有m＞2或m＜1，且m＞则m＞
或m＜1，
或m≤1， 或m≤1．
或m＜1，
综上，可得，m＞故答案为：m＞
20．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知向量=（cos
，sin
），且满足|
+
|=
．
=（cos，sin），
（1）求角A的大小； （2）若b+c=
a，试判断△ABC的形状．
【考点】GZ：三角形的形状判断；GF：三角函数的恒等变换及化简求值．
【分析】（1）根据所给的向量的坐标和向量模的条件，得到关于角A的三角函数关系，本题要求角A的大小，利用整理出来的三角函数值和角是三角形的内角，得到结果． （2）本题是一个解三角形问题，应用上一问给出的结果，和
．根据正弦定
理把边之间的关系变化为角之间的关系，逆用两角和的正弦公式，得到结果． 【解答】解：（1）∵ （2）∵∴
，∴
，∴
，∴2b2﹣5bc+2c2=0，
，∴
=2+2cosA=3，∴
，∴
当b=2c时，a2+c2=3c2+c2=4c2=b2，△ABC是以∠C为直角的直角三角形 当b=
时，a2+b2=c2，△ABC是以∠B为直角的直角三角形
终上所述：△ABC是直角三角形
21．设数列{an}的前n项为Sn，点（n，
），（n∈N*）均在函数y=3x﹣2的图象上．
- 13 -
（1）求数列{an}的通项公式． （2）设bn=小正整数m．
【考点】8I：数列与函数的综合；84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和． 【分析】（1）由点
在y=3x﹣2的图象上，得
=3n﹣2，即sn=3n2﹣2n；由an=Sn
，Tn为数列{bn}的前n项和，求使得Tn＜
对所有n∈N*都成立的最
﹣Sn﹣1可得通项公式，须验证n=1时，an也成立． （2）由（1）知，bn=令
=…=；即
；求和Tn=，解得m即可． 在y=3x﹣2的图象上，得
=3n﹣2，∴
，可得
；
【解答】解：（1）依题意，点sn=3n2﹣2n；
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（3n2﹣2n）﹣=6n﹣5 ①；
当n=1时，a1=S1=3×12﹣2=1，适合①式，所以，an=6n﹣5 （n∈N*） （2）由（1）知，bn=
=
=
；
故Tn=因此，使
==
成立的m，必须且仅须满足
；
，即m≥10；
所以，满足要求的最小正整数m为10．
22．（1）已知关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是{x|x＜﹣2，或x＞﹣﹣bx+c＞0的解集．
（2）已知M是关于x的不等式2x2+（3a﹣7）x+3+a﹣2a2＜0的解集，且M中的一个元素是0，求实数a的取值范围，并用a表示出该不等式的解集． 【考点】74：一元二次不等式的解法．
【分析】（1）不等式ax2+bx+c＜0的解集得出a＜0，且对应方程的两实数根，利用根与系数的关系求出
}，求不等式ax2
和的值，再化不等式ax2﹣bx+c＞0，从而求出它的解集；
- 14 -
（2）x=0代入不等式2x2+（3a﹣7）x+3+a﹣2a2＜0，求出a的取值范围；再求对应二次不等式2x2+（3a﹣7）x+（3+a﹣2a2）＜0的解集．
【解答】解：（1）关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集是{x|x＜﹣2，或x＞﹣∴a＜0，且方程ax2+bx+c=0的两实数根为﹣2和﹣
，
}，
由根与系数的关系知，；
解得=， =1；
x+1＜0，
∴不等式ax2﹣bx+c＞0可化为x2﹣解得
＜x＜2，
，2）；
∴所求不等式的解集为（
（2）根据题意，把x=0代入不等式2x2+（3a﹣7）x+3+a﹣2a2＜0， 得3+a﹣2a2＜0， 即2a2﹣a﹣3＞0， 解得a＜﹣1或a＞
；
，+∞）；
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（
二次不等式对应的方程为2x2+（3a﹣7）x+（3+a﹣2a2）=0， 其两根为3﹣2a，
a+
， a+
，
a+
＜x＜3﹣2a}；
当a＜﹣1时，3﹣2a＞
∴不等式2x2+（3a﹣7）x+（3+a﹣2a2）＜0的解集为{x|当a＞
时，3﹣2a＜
a+
，
∴不等式2x2+（3a﹣7）x+（3+a﹣2a2）＜0的解集为{x|3﹣2a＜x＜
a+}．
- 15 -
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