题型一 三视图识图
例1 将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧(左)视图为( )
破题切入点 根据三视图先确定原几何体的直观图和形状，然后再解题． 答案 B
解析 还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线．D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线． 题型二 空间几何体的表面积和体积
例2 如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为( )
A．363(π＋2) C．1083π
B．363(π＋2) D．108(3π＋2)
破题切入点 先根据三视图的结构特征确定几何体的构成——半圆锥与棱锥的组合体，然后把三视图中的数据转化为该组合体的数字特征，分别求出对应几何体的体积，则两者体积之和即该组合体的体积． 答案 B
解析 由俯视图，可知该几何体的底面由三角形和半圆两部分构成，结合正视图和侧视图可知该几何体是由半个圆锥与一个三棱锥组合而成的，并且圆锥的轴截面与三棱锥的一个侧面重合，两个锥体的高相等．
1
由三视图中的数据，可得该圆锥的底面半径r＝6，三棱锥的底面是一个底边长为12，高为6的等腰三角形，两个锥体的高h＝122－62＝63， 11
故半圆锥的体积V1＝×π×62×63＝363π.
231
三棱锥的底面积S＝×12×6＝36，
211
三棱锥的体积V2＝Sh＝×36×63＝723.
33故该几何体的体积V＝V1＋V2＝363π＋723 ＝363(π＋2)．故选B.
题型三 立体几何中的计算综合问题
例3 (2014·陕西)四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.
(1)求四面体ABCD的体积； (2)证明：四面体EFGH是矩形．
破题切入点 由三视图和几何体得知原几何体中各元素的量和性质来求解． (1)解 由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1， ∴AD⊥平面BDC，
112
∴四面体ABCD体积V＝××2×2×1＝.
323
(2)证明 ∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH， ∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH. 同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG， ∴四边形EFGH是平行四边形，
又∵AD⊥平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG. ∴四边形EFGH是矩形．
总结提高 (1)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高． (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样．
(3)立体几何中有关表面积、体积的计算首先要熟悉几何体的特征，其次运用好公式，作好辅
2
助线等．
1．(2013·四川)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是( )
答案 D
解析 由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.
2．如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
17
A. 27答案 C
解析 由三视图可知几何体是如图所示的两个圆柱的组合体．其中左面圆柱的高为4 cm，底面半径为2 cm，右面圆柱的高为2 cm，底面半径为3 cm，则组合体的体积V1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm3)，原毛坯体54π－34π10
积V2＝π×32×6＝54π(cm3)，则所求比值为＝. 54π27
3．(2014·浙江)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )
5
B. 9
10
C. 27
1D. 3
3
A．90 cm2 答案 D
B．129 cm2 C．132 cm2
D．138 cm2
解析 该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6 cm,4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm,4 cm,5 cm，所以表面1
5×3＋4×3＋2××4×3＝99＋积S＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋239＝138(cm2)．
4．(2014·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．54 答案 B
解析 由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正视图和侧视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的．在长方体中分析还原，如图(1)所示，故1
该几何体的直观图如图(2)所示．在图(1)中，直角梯形ABPA1的面积为×(2＋5)×4＝14，计
2135
算可得A1P＝5.直角梯形BCC1P的面积为×(2＋5)×5＝.因为A1C1⊥平面A1ABP，A1P⊂平
22115
面A1ABP，所以A1C1⊥A1P，故Rt△A1PC1的面积为×5×3＝. 22
B．60 C．66
D．72
1
又Rt△ABC的面积为×4×3＝6，矩形ACC1A1的面积为5×3＝15，故几何体ABC－A1PC1
23515
的表面积为14＋＋＋6＋15＝60.
22
5．两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和球O2的表面积
4
之和的最小值为( ) A．(6－33)π C．(6＋33)π 答案 A
解析 设球O1，O2的半径分别为r1，r2， 由题意知O1A＋O1O2＋O2C1＝3，
而O1A＝3r1，O1O2＝r1＋r2，O2C1＝3r2， ∵3r1＋r1＋r2＋3r2＝3.∴r1＋r2＝
222
从而S1＋S2＝4πr21＋4πr2＝4π(r1＋r2)
B．(8－43)π D．(8＋43)π
3－3
， 2
r1＋r22
≥4π·＝(6－33)π.
2
6．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝3，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S—ABC的体积为( ) A．33 答案 C
解析 如图，过A作AD垂直SC于D，连接BD.
由于SC是球的直径，所以∠SAC＝∠SBC＝90°，又∠ASC＝∠BSC＝30°，又SC为公共边， 所以△SAC≌△SBC. 由于AD⊥SC，所以BD⊥SC. 由此得SC⊥平面ABD.
1
所以VS—ABC＝VS—ABD＋VC—ABD＝S△ABD·SC.
3由于在Rt△SAC中，∠ASC＝30°，SC＝4， SA·CA所以AC＝2，SA＝23，由于AD＝＝3.
SCSB·CB
同理在Rt△BSC中也有BD＝＝3.
SC又AB＝3，所以△ABD为正三角形，
111
所以VS—ABC＝S△ABD·SC＝××(3)2·sin 60°×4＝3，所以选C.
3327．(2014·辽宁)某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
B．23
C.3
D．1
5
A．8－2π 答案 B
1
解析 这是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体，
4如图，几何体的高为2， 1
V＝23－×π×12×2×2＝8－π.
4
8．已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得几何体的体积为( )
π
B．8－π C．8－
2
π
D．8－ 4
A.C.2π1
＋ 322π1
＋ 66
4π1
B.＋ 362π1D.＋ 32
答案 C
解析 由三视图确定该几何体是一个半球体与三棱锥构成的组合体，如图，其中AP，AB，AC两两垂直，且AP＝AB＝AC＝1，故AP⊥平面ABC，1111S△ABC＝AB×AC＝，所以三棱锥P－ABC的体积V1＝×S△ABC×AP＝
223311
××1＝，又Rt△ABC是半球底面的内接三角形，所以球的直径2R＝26BC＝2，解得R＝
214π22π
，所以半球的体积V2＝××()3＝，故所求几何体的体积V＝22326
6
12π
V1＋V2＝＋. 66
9．(2014·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．
答案 22
解析 根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥P－ABC. 由三视图的形状特征及数据，可推知PA⊥平面ABC，且PA＝2. 底面为等腰三角形，AB＝BC， 设D为AC的中点，AC＝2， 则AD＝DC＝1，且BD＝1，
易得AB＝BC＝2，所以最长的棱为PC， PC＝PA2＋AC2＝22.
10．已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为3的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________． 答案
3 3
63
解析 如图，作PM⊥平面ABC，设PA＝a，则AB＝2a，CM＝a， PM＝3a. 3
设球的半径为R， 所以326a2＝R2， a－R＋33
将R＝3代入上式，
23解得a＝2，所以d＝3－3＝. 33
11．已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；
(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？ 解 (1)作圆锥的轴截面，如图所示．
7
因为rR＝H－xH，所以r＝R－RHx，
所以S圆柱侧＝2πrx ＝2πRx－2πRHx2
(0 H <0， 所以当x＝2πRH 4πR＝2时，S圆柱侧最大． H 故当x＝H 2，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大． 12．(2014·北京)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点． (1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1； (2)求证：C1F∥平面ABE； (3)求三棱锥E－ABC的体积． (1)证明 在三棱柱ABC－A1B1C1中， BB1⊥底面ABC，所以BB1⊥AB. 又因为AB⊥BC， 所以AB⊥平面B1BCC1， 又因为AB⊂平面ABE， 所以平面ABE⊥平面B1BCC1. (2)证明 取AB的中点G，连接EG，FG. 因为E，F分别是A1C1，BC的中点， 所以FG∥AC，且FG＝12AC. 因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1， 所以FG∥EC1，且FG＝EC1， 所以四边形FGEC1为平行四边形．所以C1F∥EG. 又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE， 所以C1F∥平面ABE. (3)解 因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC， 所以AB＝AC2－BC2＝3. 所以三棱锥E－ABC的体积V＝1 3S△ABC·AA1 ＝13×12×3×1×2＝33 . 8 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容