1．已知椭圆C：𝑥2𝑎2+
𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）和点Q（0，2√5），F1，F2分别是椭圆的左、右焦
点，且|F1F2|＝2√5，线段QF2与椭圆相交于点P，且PF1⊥PF2． （1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y＝2x+m与△PQF1的内切圆M相切，与椭圆C交于A，B两点，求|AB|的值．
【解答】解：（1）由已知可得F1（−√5，0），F
2(√5，0)，
0
直线QF2的方程为y＝﹣2（x−√5），设P（x0，y0），则y由PF1⊥PF2得x
20
2+𝑦0=5…②，
=−2(𝑥0−√5)⋯①
3√54√5联立①②解得P（，），则|PF1|＝4，|PF2|＝2，
55
由|PF1|+|PF2|＝6＝2a得a＝3，则b2＝4， 故椭圆C的标准方程为（2）如图所示：
𝑥29
+
𝑦24
=1；
设圆M的半径为r，且圆M与三角形PQF1的三条边QF1，PF1，PQ分别相切于点G，H，N，
连接MN，MH，根据圆的切线长和等腰三角形的性质可得|F1G|＝|F1H|＝|F2N|， 又|PH|＝|PN|，MH⊥PH，MN⊥PN，所以四边形MHPN为正方形，
得|PH|＝|PN|＝r，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝|F1H|+r+|F2N|﹣r＝2|{F1H|F1H|＝2a＝6， 所以|F1H|＝3，所以r＝|PF1|﹣|F1H|＝4﹣3＝1， |QN|＝|QF2|﹣|F1H|＝5﹣3＝2， 所以|QM|=√5，则M（0，√5）， 故内切圆M的方程为x
2
+(𝑦−√5)2=1，
第 1 页 共 3 页
|𝑚−√5|而y＝2x+m与圆M相切，故=1，解得m＝0或m＝2√5，
√5𝑦=2𝑥+𝑚
设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程{𝑥2
92
2
+
，消去y可得： 𝑦2
=149𝑚2−36
， 1𝑥2=40−9𝑚
40x+36mx+9m﹣36＝0，则x1+𝑥2=10，x
所以|AB|=√1+22⋅√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2 =10√40−𝑚2，又m＝0或m＝2√5， 所以|AB|＝3√2或|AB|＝3．
2．已知函数f（x）＝ax2﹣bx﹣（x+1）ln（x+1）（a，b∈R）的导函数为f'（x）．
（Ⅰ）若函数f（x）在过（0，0）点的切线方程为y＝﹣2x，求函数f′（x）的单调区间；
𝑥2−𝑓(𝑥)
（Ⅱ）若a＝1，b＝1，函数g（x）=𝑥−1在（1，+∞）上的最小值为m，且m∈（n，3√5n+1）（n∈Z），求n的值（参考数据ln6≈1.79，ln7≈1.95）．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得函数f（x）的定义域是（﹣1，+∞），f（0）＝0， f′（x）＝2ax﹣ln（x+1）﹣b﹣1，f′（0）＝﹣b﹣1＝﹣2，故b＝1， ∴f′（x）＝2ax﹣ln（x+1）﹣2， 设φ（x）＝2ax﹣ln（x+1）﹣2， 则φ′（x）＝2a−𝑥+1=
1
2𝑎𝑥+2𝑎−1
（x＞﹣1）， 𝑥+1当a＝0时，φ′（x）＜0，φ（x）在（﹣1，+∞）上单调递减， 当a＞0时，令φ′（x）＞0，则x＞2𝑎， ∵
1−2𝑎2𝑎
1−2𝑎
=
12𝑎
−1＞﹣1，
1−2𝑎2𝑎
∴φ（x）在（，+∞）上单调递增，在（﹣1，
1−2𝑎2𝑎
）上单调递减，
当a＜0时，φ′（x）＜0，φ（x）在（﹣1，+∞）上单调递减， 综上：a＞0时，φ（x）在（
1−2𝑎2𝑎
，+∞）上单调递增，在（﹣1，
1−2𝑎2𝑎
）上单调递减，
当a≤0时，φ（x）在（﹣1，+∞）上单调递减； （Ⅱ）当a＝1，b＝1时，函数g（x）=则g′（x）=
𝑥−2𝑙𝑛(𝑥+1)−2
(𝑥−1)
2𝑥2−𝑓(𝑥)𝑥+(𝑥+1)𝑙𝑛(𝑥+1)
=， 𝑥−1𝑥−1（x＞1），
第 2 页 共 3 页
令h（x）＝x﹣2ln（x+1）﹣2（x＞1），则h′（x）＝1−𝑥+1=𝑥+1＞0， 故h（x）在（1，+∞）上单调递增，
而h（5）＝3﹣2ln6＜0，h（6）＝4﹣2ln7＞0，
故存在x0∈（5，6），使得g′（x0）＝0，即x0﹣2ln（x0+1）﹣2＝0， 故ln（x0+1）=＞0，
即g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）上单调递增，
𝑥−2
𝑥0+(𝑥0+1)𝑙𝑛(𝑥0+1)𝑥0+(𝑥0+1)⋅02𝑥02+𝑥0−21
故g（x）最小值＝g（x0）===2(𝑥−1)=2x0+1， 𝑥0−1𝑥0−10
2𝑥−1
𝑥0−2
，且当x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，g′（x）2∵x0∈（5，6），∴x0+1∈（，4），即m∈（，4），
2
2
2
177
又∵m∈（n，n+1），（n∈Z）， ∴n＝3．
第 3 页 共 3 页
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容