知识点分类
一．立方根（共1小题）
1．（2021•包头）一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a+b的立方根为 ．二．估算无理数的大小（共1小题）
2．（2023•内蒙古）若a，b为两个连续整数，且a＜三．整式的加减（共1小题）
3．（2022•包头）若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为
．
＜b，则a+b＝ ．四．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）4．（2021•包头）因式分解：五．分式的加减法（共1小题）5．（2022•包头）计算：
+
＝ ．+ax+a＝ ．六．分式的混合运算（共1小题）6．（2021•包头）化简：
七．二次根式有意义的条件（共1小题）7．（2022•包头）若代数式是
．
+在实数范围内有意义，则x的取值范围
＝ ．八．根与系数的关系（共1小题）
8．（2023•内蒙古）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣8＝0的两个实数根，则＝
．
九．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
9．（2022•包头）如图，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，直线AB与x轴相交于点C，D是线段OA上一点．若AD•BC＝AB•DO，连接CD，记△ADC，△DOC的面积分别为S1，S2，则S1﹣S2的值为 ．
第1页（共20页）
一十．二次函数的性质（共1小题）
10．（2023•内蒙古）已知二次函数y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0），若点P（m，3）在该函数的图象上，且m≠0，则m的值为 ．一十一．抛物线与x轴的交点（共1小题）
11．（2021•包头）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 ．一十二．全等三角形的判定与性质（共1小题）
12．（2022•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D为AB边上一点，且BD＝BC，连接CD，以点D为圆心，DC的长为半径作弧，交BC于点E（异于点C），连接DE，则BE的长为
．
一十三．正方形的性质（共1小题）
13．（2021•包头）如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若DE＝DC，EF＝EC，则∠BAF的度数为
．
第2页（共20页）
一十四．切线的性质（共1小题）
14．（2021•包头）如图，在▱ABCD中，AD＝12，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接OC．若OC＝AB，则▱ABCD的周长为
．
一十五．弧长的计算（共1小题）
15．（2022•包头）如图，已知⊙O的半径为2，AB是⊙O的弦．若AB＝2长为 ．
，则劣弧
的
一十六．扇形面积的计算（共1小题）
16．（2023•内蒙古）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
一十七．旋转的性质（共1小题）
17．（2023•内蒙古）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，将△ABC绕点
第3页（共20页）
A逆时针方向旋转90°，得到△AB′C′．连接BB′，交AC于点D，则为 ．
的值
一十八．相似三角形的判定与性质（共2小题）
18．（2023•内蒙古）如图，AC，AD，CE是正五边形ABCDE的对角线，AD与CE相交于点F．下列结论：①CF平分∠ACD；②AF＝2DF；③四边形ABCF是菱形；④AB2＝AD•EF．其中正确的结论是
．（填写所有正确结论的序号）
19．（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为
．
一十九．加权平均数（共1小题）
20．（2022•包头）某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均为100分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示：候选人甲乙
通识知识专业知识实践能力8080
9085
8590
第4页（共20页）
根据实际需要，学校将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按2：5：3的比例确定每人的最终成绩，此时被录用的是 ．（填“甲”或“乙”）二十．方差（共1小题）
21．（2021•包头）某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x，10．若这组数据的中位数为8，则这组数据的方差为
．
第5页（共20页）
内蒙古包头市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题
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参考答案与试题解析
一．立方根（共1小题）
1．（2021•包头）一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，则a+b的立方根为 2 ．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵一个正数a的两个平方根是2b﹣1和b+4，∴2b﹣1+b+4＝0，∴b＝﹣1．∴b+4＝﹣1+4＝3，∴a＝9．
∴a+b＝9+（﹣1）＝8，∵8的立方根为2，∴a+b的立方根为2．故答案为：2．
二．估算无理数的大小（共1小题）
2．（2023•内蒙古）若a，b为两个连续整数，且a＜【答案】3．
【解答】解：∵1＜3＜4，∴1＜
＜2，
＜b，则a+b＝ 3 ．∴a＝1，b＝2，则a+b＝1+2＝3，故答案为：3．
三．整式的加减（共1小题）
3．（2022•包头）若一个多项式加上3xy+2y2﹣8，结果得2xy+3y2﹣5，则这个多项式为 y2
﹣xy+3 ．【答案】y2﹣xy+3．
【解答】解：由题意得，这个多项式为：
第6页（共20页）
（2xy+3y2﹣5）﹣（3xy+2y2﹣8）＝2xy+3y2﹣5﹣3xy﹣2y2+8＝y2﹣xy+3．故答案为：y2﹣xy+3．
四．提公因式法与公式法的综合运用（共1小题）4．（2021•包头）因式分解：【答案】a（x+1）2．
【解答】解：原式＝a（x2+x+1）＝a（x+1）2，故答案为：a（x+1）2．五．分式的加减法（共1小题）5．（2022•包头）计算：【答案】a﹣b．【解答】解：原式＝＝＝a﹣b，
故答案为：a﹣b．
六．分式的混合运算（共1小题）6．（2021•包头）化简：【答案】1．【解答】解：原式＝＝＝1．故答案为1．
七．二次根式有意义的条件（共1小题）7．（2022•包头）若代数式x≠0 ．第7页（共20页）
+ax+a＝ a（x+1）2 ．
+＝ a﹣b ．＝ 1 ．（m+2）•
+在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥﹣1且【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意，得解得x≥﹣1且x≠0，故答案为：x≥﹣1且x≠0．八．根与系数的关系（共1小题）
8．（2023•内蒙古）若x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣8＝0的两个实数根，则
＝ ﹣
，
．
【答案】﹣．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣8，则
＝
＝﹣．
故答案为：﹣．
九．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题）
9．（2022•包头）如图，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，直线AB与x轴相交于点C，D是线段OA上一点．若AD•BC＝AB•DO，连接CD，记△ADC，△DOC的面积分别为S1，S2，则S1﹣S2的值为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象上有A（1，6），B（3，b）两点，
第8页（共20页）
∴1×6＝3b，∴b＝2，∴B（3，2），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，
，
解得：
，
∴y＝﹣2x+8，令y＝0，﹣2x+8＝0，解得：x＝4，∴C（4，0），∵AB＝BC＝
AD•BC＝AB•DO，∴AD•
＝2
•DO，
＝2＝
，，
∴AD＝2DO，∴S1＝2S2，∴S1﹣S2＝S2，∵S1+S2＝S△AOC，
∴S1﹣S2＝S2＝S△AOC＝××4×6＝4．故答案为：4．
一十．二次函数的性质（共1小题）
10．（2023•内蒙古）已知二次函数y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0），若点P（m，3）在该函数的图象上，且m≠0，则m的值为 2 ．【答案】2．
【解答】解：∵点P（m，3）在二次函数y＝﹣ax2+2ax+3（a＞0）的图象上，∴3＝﹣am2+2am+3，∴﹣am（m﹣2）＝0，
第9页（共20页）
解得m＝2或m＝0（舍去），故答案为：2．
一十一．抛物线与x轴的交点（共1小题）
11．（2021•包头）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，点D（4，y）在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为 4 ．【答案】4．
【解答】解：当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0），
抛物线的对称轴为直线x＝1，
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则C（0，﹣3），当x＝4时，y＝x2﹣2x﹣3＝5，则D（4，5），连接AD交直线x＝1于E，交y轴于F点，如图，∵BE+DE＝EA+DE＝AD，∴此时BE+DE的值最小，设直线AD的解析式为y＝kx+b，把A（﹣1，0），D（4，5）代入得∴直线AD的解析式为y＝x+1，当x＝1时，y＝x+1＝2，则E（1，2），当x＝0时，y＝x+1＝1，则F（0，1），
∴S△ACE＝S△ACF+S△ECF＝×4×1+×4×1＝4．故答案为4．
，解得
，
第10页（共20页）
一十二．全等三角形的判定与性质（共1小题）
12．（2022•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，D为AB边上一点，且BD＝BC，连接CD，以点D为圆心，DC的长为半径作弧，交BC于点E（异于点C），连接DE，则BE的长为 3
﹣3 ．
【答案】3﹣3．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴AB＝
AC＝3
，∠A＝∠B＝45°，
∵BD＝BC＝3，AC＝BC，∴BD＝AC，AD＝3∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠DEC．∵BD＝BC，∴∠DCE＝∠CDB，∴∠CED＝∠CDB，
∵∠CDB＝∠CDE+∠EDB，∠CED＝∠B+∠EDB，∴∠CDE＝∠B＝45°．
第11页（共20页）
﹣3．
∴∠ADC+∠EDB＝180°﹣∠CDE＝135°．∵∠ADC+∠ACD＝180°﹣∠A＝135°，∴∠ACD＝∠EDB．在△ADC和△BED中，
，
∴△ADC≌△BED（SAS）．∴BE＝AD＝3故答案为：3
﹣3．﹣3．
一十三．正方形的性质（共1小题）
13．（2021•包头）如图，BD是正方形ABCD的一条对角线，E是BD上一点，F是CB延长线上一点，连接CE，EF，AF．若DE＝DC，EF＝EC，则∠BAF的度数为 22.5° ．
【答案】22.5°．
【解答】解：如图，连接AE，∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠BDC＝45°，∵DE＝DC＝AD，∴∠DEC＝∠DCE＝∵∠DCB＝90°，
∴∠BCE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣67.5°＝22.5°，∵EF＝EC，
∴∠FEC＝180°﹣∠EFC﹣∠ECF＝180°﹣22.5°﹣22.5°＝135°，∵∠BEC＝180°﹣∠DEC＝180°﹣67.5°＝112.5°，
第12页（共20页）
＝67.5°，
∴∠BEF＝135°﹣112.5°＝22.5°，∵AD＝DE，∠ADE＝45°，∴∠AED＝
＝67.5°，
∴∠BEF+∠AED＝22.5°+67.5°＝90°，∴∠AEF＝180°﹣90°＝90°，在△ADE和△EDC中，
，
∴△ADE≌△EDC（SAS），∴AE＝EC，∴AE＝EF，
即△AEF为等腰直角三角形，∴∠AFE＝45°，∵EF＝EC，
∴∠BFE＝∠BCE＝22.5°，
∴∠AFB＝∠AFE+∠BFE＝45°+22.5°＝67.5°，∵∠ABF＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣∠AFB＝90°﹣67.5°＝22.5°，故答案为：22.5°．
一十四．切线的性质（共1小题）
14．（2021•包头）如图，在▱ABCD中，AD＝12，以AD为直径的⊙O与BC相切于点E，连接OC．若OC＝AB，则▱ABCD的周长为 24+6
．
第13页（共20页）
【答案】24+6．
【解答】解：连接OE，过点C作CF⊥AD交AD于点F，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC，∴∠EOD+∠OEC＝180°，∵⊙O与BC相切于点E，∴OE⊥BC，∴∠OEC＝90°∴∠EOD＝90°，∵CF⊥AD，∴∠CFO＝90°，∴四边形OECF为矩形，∴FC＝OE，
∵AD为直径，AD＝12，∴FC＝OE＝OD＝AD＝6，∵OC＝AB，CF⊥AD，∴OF＝OD＝3，
在Rt△OFC中，由勾股定理得，OC2＝OF2+FC2＝32+62＝45，
第14页（共20页）
∴AB＝OC＝3，
+3
＝24+6
，
∴▱ABCD的周长为12+12+3故答案为：24+6
．
一十五．弧长的计算（共1小题）
15．（2022•包头）如图，已知⊙O的半径为2，AB是⊙O的弦．若AB＝2长为 π ．
，则劣弧
的
【答案】见试题解答内容【解答】解：∵⊙O的半径为2，∴AO＝BO＝2，∵AB＝2
，
＝AB2，
∴AO2+BO2＝22+22＝∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOB＝90°，∴
的长＝
＝π．
故答案为：π．
一十六．扇形面积的计算（共1小题）
16．（2023•内蒙古）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 π ．【答案】π．
第15页（共20页）
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AD＝CD，∠DBE＝45°，∴△AOD≌△COB（SSS），∵正方形ABCD的边长为2，∴BD＝
＝2
，
，
∴阴影部分的面积为扇形BED的面积，即故答案为：π．
一十七．旋转的性质（共1小题）
17．（2023•内蒙古）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，将△ABC绕点A逆时针方向旋转90°，得到△AB′C′．连接BB′，交AC于点D，则5 ．的值为
【答案】5．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，
，
∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝1，
，
，∠BAB'＝90
∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转 90° 得到△AB'C'，°，
∴△ABB'是等腰直角三角形，∴∠ABB'＝45°
∵DF⊥AB，∠DFB＝45°，∴△DFB是等腰直角三角形，∴DF＝BF，
第16页（共20页）
S△DBA＝×BC×AD＝×DF×AB，即 ∵∠C＝∠AFD＝90°，∠CAB＝∠FAD，∴△AFD∽△ACB，∴
，
，
即AF＝3DF，又∵∴∴∴
，，
，，
∴＝＝5，
故答案为：5．
一十八．相似三角形的判定与性质（共2小题）
18．（2023•内蒙古）如图，AC，AD，CE是正五边形ABCDE的对角线，AD与CE相交于点F．下列结论：①CF平分∠ACD；②AF＝2DF；③四边形ABCF是菱形；④AB2＝AD•EF．其中正确的结论是 ①③④ ．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①③④．
【解答】解：①∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝EAB＝
第17页（共20页）
，
在△ABC中，∠ABC＝108°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝
，
同理可得，∠DCE＝∠DEC＝∠EAD＝∠EDA＝36°，
∴∠ACE＝∠BCD﹣∠BCA﹣∠DCE＝108°﹣36°﹣36°＝36°，∴∠ACE＝∠DCE，即CF平分∠ACD，故①正确；
②∵∠ACE＝∠DEC＝36°，∠AFC＝∠DFE，∴∵∴
，，
，
即AF≠2DF，故②错误；
③∵∠BAC＝∠ACE＝36°，∴AB∥FC，
∵∠EAB＝108°，∠EAD＝36°，
∴∠DAB＝∠EAB﹣∠EAD＝108°﹣36°＝72°，∵∠ABC＝108°，
∴∠ABC+∠DAB＝108°+72°＝180°，∴AF∥BC，
∴四边形ABCF是平行四边形，又∵AB＝BC，
∴四边形ABCF是菱形，故③正确；
④∵∠DEF＝∠DAE＝36°，∠EDF＝∠ADE，∴△DEF∽△DAE，
第18页（共20页）
∴，
∵DE＝AE＝AB，∴
，
即AB2＝AD•EF，故④正确；
综上，正确的结论是：①③④；故答案为：①③④．
19．（2021•包头）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC＝2，则MN的长为 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BD⊥CB，MN⊥CB，∴AC∥MN∥BD，∠CNM＝∠CBD，
∴∠MAC＝∠MBD，∠MCA＝∠MDB＝∠CMN，∴△MAC∽△MBD，△CMN∽△CDB，∴∴∴
，，
，
，
∴MN＝．故答案为：．
一十九．加权平均数（共1小题）
第19页（共20页）
20．（2022•包头）某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均为100分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示：候选人甲乙
通识知识专业知识实践能力8080
9085
8590
根据实际需要，学校将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按2：5：3的比例确定每人的最终成绩，此时被录用的是 甲 ．（填“甲”或“乙”）【答案】甲．
【解答】解：甲的测试成绩为：（80×2+90×5+85×3）÷（2+5+3）＝86.5（分），乙的测试成绩为：（80×2+85×5+90×3）÷（2+5+3）＝85.5（分），∵86.5＞85.5，∴甲将被录用．故答案为：甲．二十．方差（共1小题）
21．（2021•包头）某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x，10．若这组数据的中位数为8，则这组数据的方差为 3.6 ．【答案】3.6．
【解答】解：根据题意，数据5，10，7，x，10的中位数为8，则有x＝8，
这组数据的平均数为（5+10+7+8+10）＝8，
则这组数据的方差S2＝[（5﹣8）2+（10﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（10﹣8）2]＝3.6，
故答案为：3.6．
第20页（共20页）
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