九年级下数学相似三角形经典习题(含答案)

九年级下数学相似三角形经典习题

例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形.

例２ 已知:如图,

例３ 如图,已知ABD∽ACE，求证：ABC∽ADE．

例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的?

(1）所有的直角三角形都相似. （2）所有的等腰三角形都相似．

（3)所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．

例5 如图，D点是ABC的边AC上的一点，过D点画线段ＤE,使点E在ABC的边上，并且点D、点Ｅ和ABC的一个顶点组成的小三角形与ABC相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法.

例6 如图,一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直,看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．

ABCＤ中,AE:EB1:2,求AEF与CDF的周长的比,如果SAEF6cm,求SCDF.

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例7 如图,小明为了测量一高楼ＭN的高,在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到Ｃ点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC1.5ｍ，小明的眼睛离地面的高度为１.6m,请你帮助小明计算一下楼房的高度(精确到0.１m)．

例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形,说明理由.

例９ 根据下列各组条件，判定ABC和ABC是否相似，并说明理由：

(1)AB3.5cm,BC2.5cm,CA4cm, AB24.5cm,BC17.5cm,CA28cm. (2)A35,B104,C44,A35．

（3）AB3,BC2.6,B48,AB1.5,BC1.3,B48.

例10 如图，下列每个图形中,存不存在相似的三角形，如果存在,把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据.

例１1 已知:如图,在ABC中,ABAC,A36,BD是角平分线，试利用三角形相似的关系说明ADDCAC.

例12 已知ABC的三边长分别为5、12、1３,与其相似的ABC的最大边长为２6，求ABC的面积S．

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例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法.小芳的测量方法是:拿一根高3.５米的竹竿直立在离旗杆27米的Ｃ处(如图)，然后沿BＣ方向走到D处，这时目测旗杆顶部Ａ与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、Ｄ两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行？请说明理由.

例14.如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选点B和C，使ABBC,然后再选点Ｅ,使ECBC，确定BC与ＡE的交点为Ｄ,测得BD120米,DC60米，EC50米,你能求出两岸之间AB的大致距离吗?

例１５．如图，为了求出海岛上的山峰ＡＢ的高度,在D和F处树立标杆DＣ和FE，标杆的高都是３丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内,从标杆DC退后１23步的G处，可看到山峰Ａ和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的Ｈ处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上.求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（古代问题)

例1６ 如图,已知△ABC的边ＡＢ=23，AC＝2,BC边上的高AD=3.

(1)求BC的长;

（２)如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC，BC上，求这个正方形的面积.

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相似三角形经典习题答案

例1． 解 ①、⑤、⑥相似,②、⑦相似,③、④、⑧相似

例2． 解 ABCD是平行四边形,∴AB//CD,ABCD，∴AEF∽CDF，

又AE:EB1:2，∴AE:CD1:3,∴AEF与CDF的周长的比是1：3. 又

SAEF1()2,SAEF6(cm2)，∴SCDF54(cm2). SCDF3例3 分析 由于ABD∽ACE，则BADCAE，因此BACDAE，如果再进一步证明问题得证．

证明 ∵ABD∽ACE,∴BADCAE.

又BACBADDAC,∴DAEDACCAE, ∴BACDAE.

∵ABD∽ACE,∴

BACA,则ADAEABAC． ADAEABAC,∴ABC∽ADE ADAE在ABC和ADE中，∵BACADE,例4.分析 （１)不正确,因为在直角三角形中,两个锐角的大小不确定,因此直角三角形的形状不同.

(2)也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同. (3)正确．设有等腰直角三角形AＢC和ABC,其中CC90,

则AA45,BB45,

设ABC的三边为ａ、ｂ、c,ABC的边为a、b、c， 则ab,c∴

2a,ab,c2a，

abca,,∴ABC∽ABC． abca(4)也正确,如ABC与ABC都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例,因此ABC∽ABC．

答:（1）、(2）不正确．(3）、(4)正确. 例5.解:

画法略.

例６.分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即DF60厘米0.6米，GF12厘米0.12DFGF米,CE30米,求BC.由于ADF∽AEC,DFAF,又ACF∽ABC,∴,从而可以求出BC的长． ECBCECAC解 AEEC,DF//EC，∴ADFAEC,DAFEAC，∴ADF∽AEC.∴

又GFEC,BCEC，∴GF//BC,AFGACB,AGFABC, ∴AGF∽ABC，∴

DFAF． ECACAFGFDFGF，∴. ACBCECBC--

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又DF60厘米0.6米，GF12厘米0.12米，EC30米，∴BC6米．即电线杆的高为６米． 例7．分析 根据物理学定律:光线的入射角等于反射角，这样,BCA与MNA的相似关系就明确了.

解 因为BCCA,MNAN,BACMAN，所以BCA∽MNA．

所以MN:BCAN:AC，即MN:1.620:1.5.所以MN1.6201.521.3（ｍ）. 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单,其实很巧妙,省却了使用仪器测量的麻烦．

例8．分析 这两个图如果不是画在格点中,那是无法判断的.实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度.

解 在格点中DEEF,ABBC，所以EB90， 又EF1,DE2,BC2,AB4．所以

DEEF1.所以DEF∽ABC. ABBC2说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．

AB3.5cm1BC2.5cm1CA4cm1,,,所以ABC∽ABC; AB24.5cm7BC17.5cm7CA28cm7(２）因为C180AB41,两个三角形中只有AA,另外两个角都不相等，所以ABC与ABC不相似；

ABBC2（3）因为BB,,所以ABC相似于ABC．

ABBC1例1０．解 (１)ADE∽ABC 两角相等; (２）ADE∽ACB 两角相等;

(3）CDE∽CAB 两角相等; （４)EAB∽ECD 两边成比例夹角相等； （5）ABD∽ACB两边成比例夹角相等; (６）ABD∽ACB 两边成比例夹角相等．

例1１.分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是７2°,而BD是底角的平分线，∴CBD36,则可推出ABC∽BCD,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．

例9.解 (１）因为

证明 A36,ABAC，∴ABCC72. 又BD平分ABC，∴ABDCBD36．

∴ADBDBC，且ABC∽BCD，∴BC:ABCD:BC,∴BCABCD，∴ADACCD. 说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法,并且根据相等的

角的位置,可以确定哪些边是对应边.

(2）要说明线段的乘积式abcd，或平方式abc,一般都是证明比例式，

222adba,或,再根据比例的cbac基本性质推出乘积式或平方式.

例1２分析 由ABC的三边长可以判断出ABC为直角三角形,又因为ABC∽ABC，所以ABC也是直角三角形,那么由ABC的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出ABC的两条直角边长，再求得ABC的面积.

解 设ABC的三边依次为，BC5,AC12,AB13,则ABBCAC,∴C90．

222BCACAB131， BCACAB26211又BC5,AC12，∴BC10,AC24． ∴SACBC2410120．

22又∵ABC∽ABC，∴CC90．

例13．分析 判断方法是否可行,应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高.按这种测量方法，过F作

FGAB于G,交CＥ于H,可知AGF∽EHF,且GF、HF、EH可求,这样可求得AG，故旗杆AB可求.

解 这种测量方法可行.理由如下：

设旗杆高ABx.过Ｆ作FGAB于G，交CE于Ｈ（如图)．所以AGF∽EHF.

因为FD1.5,GF27330,HF3,所以EH3.51.52,AGx1.5．

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由AGF∽EHF,得

AGGFx1.530,即，所以x1.520，解得x21.5(米) EHHF23所以旗杆的高为２1.5米.

说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行. 例14. 解：ADBEDC,ABCECD90,

ABBDBDEC12050,AB100（米),答:两岸间AB大致相距100米. ECCDCD60DGFH例１5. 答案：AB1506米,BD30750步，（注意：KC） AK,KEAK．

CDFE∴ABD∽ECD，

例16. 分析：要求ＢＣ的长,需画图来解,因ＡB、AC都大于高AD,那么有两种情况存在，即点D在BＣ上或点D在BC

的延长线上，所以求BC的长时要分两种情况讨论.求正方形的面积,关键是求正方形的边长． 解:（１)如上图,由AD⊥BC,由勾股定理得BD＝３,ＤC=1，所以BC=BD＋ＤC=3＋1=4. 如下图，同理可求BD=３,DC＝1,所以BC＝BＤ－CＤ＝3-１＝2．

22222222（2)如下图，由题目中的图知BC＝4，且ABAC(23)216,BC16，∴ABACBC．所

以△ABC是直角三角形．

由AEＧF是正方形,设GF=x,则ＦC=２-x， ∵GF∥ＡＢ，∴

x2xGFFC，即． ∴x33,∴S正方形AEGF(33)21263. 2ABAC23如下图,当BＣ＝２，AC=２,△ABＣ是等腰三角形，作ＣP⊥AB于P，∴AP=

1AB3, 2

在Rt△AＰＣ中,由勾股定理得ＣP=1, ∵GＨ∥AB，∴△CGＨ∽△ＣＢA，∵

x231x23232156483,x∴S正方形GFEH( )x121123123因此，正方形的面积为1263或

156483.

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