广东省广州市增城第一中学高二数学上学期期末综合训练试题(一)

数学(理科)综合训练（一）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一个是符合题目要求的． 1. 不等式x2x30的解集是

A . 3,1 B. 1,3 C. ,12. \"tan1\"是\"

23, D. ,31,

4\"的

A充分而不必要条件 B必要不而充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件

x2y21的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ） 3. 以椭圆

2516x2y2x2y2x2y2x2y21 B 1 C 1或1 D 以上A 16489271648927都不对

4. 若直线axy10与直线2xy20平行，则实数a的值为

A．2 B．2 C．

211 D． 22

5. 过定点P(0,2)作直线l，使l与曲线y4x有且仅有1个公共点，这样的直线l共有

（ ）

A. 1条 B. 2条

2 C. 3条 D. 4条

6. 圆心在抛物线y2x(y0)上，并且与抛物线的准线及x轴都相切的圆的方程是（ ） A．xyx2y10 B．x2y2x2y10 412222C．xyx2y10 D．xyx2y04

227. 设原命题：若ab2，则a,b中至少有一个不小于1．则原命题与其逆命题的真假情况

是

（ ）

B．原命题假，逆命题真 D．原命题与逆命题均为假命题

A．原命题真，逆命题假 C．原命题与逆命题均为真命题

x2y21上一动点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cosF1PF2的最小值是8. 设P是椭圆94( )

1115

A. B. C．－ D．－ 2999

9. 已知直线l：4x－3y＋6＝0和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和

直线l2的距离之和的最小值是( )

1137A．2 B．3 C. D.

516

10. 已知函数f(x)sin2x3(xR)，给出下面四个命题：①函数f(x)的最小正周2期为；②函数f(x)是偶函数；③函数f(x)的图象关于直线x对称；④函数f(x)4在区间0,上是增函数，其中正确命题的个数是 2A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

11. 双曲线的渐近线方程为x2y0，焦距为10，这双曲线的方程为_______________ 2212. 已知椭圆axa2y1的焦距为4，则a的值为____________ 2y2x21的离心率e=2，则m=___ _. 13. 若双曲线

16mx2y2x2y2=1有相同的焦点，14. 已知双曲线221(a＞0，b＞0)和椭圆且双曲线的离心

ab169率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程. 15. （本小题满分12分）

已知a,b,c是ABC三内角A,B,C的对边，且b6,c4,A3．

（1）求a的值； （2）求sinC的值．

16. （本小题满分12分）

某校在高二年级开设了A，B，C三个兴趣小组，为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查，用分层抽样方法从A，B，C三个兴趣小组的人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表（单位：人）

兴趣小组 小组人数 24 36 48 抽取人数 A B x 3 C （1）求x，y的值；

y （2）若从A，B两个兴趣小组抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自兴趣小组B的概率．

17. (本小题满分14分)

如图2，在三棱锥PABC中，AB5,BC4,AC3，点D是线段PB的中点， 平面PAC平面ABC．

（1）在线段AB上是否存在点E, 使得DE//平面PAC？ 若存在, 指出点E的位置, 并加以证明；若不存在, 请说明理由; （2）求证：PABC

（3）若PC4,PA5，求异面直线AD与BC所成的角的余弦值。

P · CDBA 图2

18. （本小题满分14分）

已知数列an是首项为1，公比为2的等比数列，数列bn的前n项和Snn．

2（1）求数列an与bn的通项公式； （2）求数列

19. （本小题满分14分）已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上.若右焦点到直线

bn的前n项和． anxy220的距离为3.

（1）求椭圆的方程;

（2）设椭圆与直线ykxm(k0)相交于不同的两点M、N.当AMAN时，求m的取值范围.

20. （本小题满分14分）如图，在直角坐标系xoy中，点P(1,)到抛物线C：y22px(p0)的准线的距离为线OM平分。 （1）求p,t的值。

（2）求△ABP面积的最大值。

125。点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直4yMPxAOB

2014-2015学年度增城一中高二第一学期期末考试

数学综合测试答案

1-5 CBBAC 6－10 DACAC 11. 3 ； 12.

32； 13. 9 ；14. 4 ；

2215. 解：（1）根据余弦定理：abc2bccosA， 将b6,c4,A3代入可得：a64264cos222328．

所以a27． （2） 根据正弦定理：

ac， sinAsinC3sinA2142由（1）知 a27，代入上式，得sinCc． a72716. 解：（1）由题意可得，

x3y， 243648解得x2，y4．

（2）记从兴趣小组A中抽取的2人为a1，a2，从兴趣小组B中抽取的3人为b1，b2，b3，则从兴趣小组A，B抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有a1,a2，a1,b1， a1,b2，a1,b3，a2,b1，a2,b2，a2,b3，b1,b2，b1,b3，b2,b3共10种．设选中的2人都来自兴趣小组B的事件为X，则X包含的基本事件有b1,b2，b1,b3，

b2,b3共3种． 所以PX10．

3． 1017.解 （1）解：在线段AB上存在点E, 使得DE//平面PAC, 点E是线段AB的中点. 故选中的2人都来自兴趣小组B的概率为 下面证明DE//平面PAC:

3P D C B 取线段AB的中点E, 连接DE， ∵点D是线段PB的中点，

∴DE是△PAB的中位线. ∴DE//PA. ∵PA平面PAC，DE平面PAC，

∴DE//平面PAC. （2）证明：∵AB5,BC4,AC3,

∴ABBCAC. ∴ACBC. ∵平面PAC平面ABC，且平面PAC ∵PA平面PAC，

∴PABC.

(3)以CA，CB，CP为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，则A（3，0，0），B（0，4，0）

C（0，0，4），D（0，2，2），AD20),(0),3(平面ABCAC，BC平面ABC，

∴BC平面PAC.

2222,3,CB0,4,0

cosAD,CB3,2,20,4,02494417 17∴异面直线AD与BC所成的角的余弦值217. 1718.解：（1）因为数列an是首项为1，公比为2的等比数列，

所以数列an的通项公式为an2n1． 因为数列bn的前n项和Snn2．

2所以当n≥2时，bnSnSn1nn12n1，

2当n1时，b1S11211，所以数列bn的通项公式为bn2n1． （2）由（1）可知，

bbn2n1n1． 设数列n的前n项和为Tn， an2an3572n32n1n2n1， ① 24822113572n32n1n1n， ② 即 Tn22481622则 Tn1①－②，得Tn1112111248n112n22n1 2n112 1112 32n1 2n2n32n3T6， 所以． n2n2n1故数列bn2n36的前项和为． nn12anx2219.解：（1）依题意可设椭圆方程为 2y1 ，则右焦点F（a21,0）由题设

aa21222x2y21. 3 解得a3 故所求椭圆的方程为32ykxm（2）设P为弦MN的中点，由 得 (3k21)x26mkx3(m21)0 x22y13由于直线与椭圆有两个交点，0,即 m3k1 ①

22xpmxMxN3mk 从而ypkxpm 223k123k1yp1xpm3k21 又AMAN,APMN，则 3mkkApm3k2112 即 2m3k1 ②

3mkk2把②代入①得 2mm 解得 0m2 由②得 k22m10 解得3m11 .故所求m的取范围是（,2） 2212pt1p20 解：（1）由题意得2. p5，得124t1（2）设A(x1,y1),Bx2,y2，线段AB的中点坐标为Q(m,m) 由题意得，设直线AB的斜率为k（k0）.

2y12px1由2，得(y2y1)(y1y2)k(x2x1)，得k2m1 y22px2所以直线的方程为ym1(xm)，即x2my2m2m0. 2mx2my2m2m0由2，整理得y22my2m2m0， yx所以4m4m，y1y22m，y1y22m2m.从而得

2AB11y1y214m24m4m2， 2k设点P到直线AB的距离为d，则

d12m2m214m22，设ABP的面积为S，则S1ABd12(mm2)mm2. 2由4m4m0，得0m1.

12，则St(12t). 2122设St(12t)，0t，则S16t.

2令tmm2，0t由S16t0，得t

26661，故ABP的面积的最大值为. 0,，所以Smax9962