上海市杨浦区2019届高三上学期期末质量调研数学试题(小题解析版)

上海市杨浦区2019届高三期末质量调研数学试卷2018.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 设全集U{1,2,3,4,5}，若集合A{3,4,5}，则ðUA 答案：{1,2} 考点：集合的运算。解析：全集U中找集合A没有的元素，所以，ðUA{1,2}2. 已知扇形的半径为6，圆心角为答案：6考点：弧度制下扇形面积的计算。解析：扇形的弧长为：lR扇形面积为：S＝lR3，则扇形的面积为 362，121266。23. 已知双曲线x2y21，则其两条渐近线的夹角为 答案：2考点：双曲线的性质。解析：双曲线x2y21的渐近为：yx，所以，夹角为4. 若(ab)n展开式的二项式系数之和为8，则n 答案：3考点：二项式定理。解析：二项式系数之和为8，所以，2n＝8，故n＝3。5. 若实数x、y满足x2y21，则xy的取值范围是 答案：[,]考点：参数方程，三角函数。解析：由x2y21，可令21122xcos1，则xysincossin2，2ysin1122因为1sin21，所以，xy的范围为：[,]6. 若圆锥的母线长l5(cm)，高h4(cm)，则这个圆锥的体积等于 答案：12 考点：圆锥体积的计算。解析：依题意得圆锥底面半径R＝5242＝3，所以，圆锥的体积为：V＝324＝12(cm3)137. 在无穷等比数列{an}中，lim(a1a2an)n1，则a1的取值范围是 2答案：(0,)(,1)考点：等比数列的前n项和，极限，不等式。1212a1(1qn)a111，所以，a1(1q)，解析：lim(a1a2an)limnn1q1q22因为有极限，所以：当0＜q＜1时，－1＜－q＜0，0＜1－q＜1，0当－1＜q＜0时，0＜－q＜1，1＜1－q＜2，所以，a1的取值范围是(0,)(,1)8. 若函数f(x)ln取值范围为 答案：[1,0]考点：函数的定义域，集合之间的关系。解析：依题意，得A＝（－1,1），因为BA，所以，11(1q)，2211(1q)1，2212121x的定义域为集合A，集合B(a,a1)，且BA，则实数a的1xa1，解得：1a0。a112x9. 在行列式4674x34中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f(x)，则51y1f(x)的零点是 答案：x1考点：矩阵的运算，函数的零点。2x　　4x解析：依题意，得：f(x)＝－＝44x42x4　 411y1f(x)＝4(2x)242x1＝4[(2x)22x]0，解得：2x21，42所以，零点为：x110. 已知复数z1cosx2f(x)i，z2(3sinxcosx)i（xR，i为虚数单位），在复平面上，设复数z1、z2对应的点分别为Z1、Z2，若Z1OZ290，其中O是坐标原点，则函数f(x)的最小正周期为 答案：考点：复数的几何意义，平面向量，三角恒等变换。解析：依题意，有：Z1(cosx,2f(x))，Z2(3sinxcosx,1)，因为Z1OZ290，所以，OZ1OZ2＝0，即(cosx,2f(x))(3sinxcosx,1)＝0，化简，得：31311311sinxcosxcos2x＝sin2x(1cos2x)＝(sin2xcos2x)2244222411＝sin(2x)，所以，最小正周期为：T＝264f(x)11. 当0xa时，不等式答案：2考点：基本不等式，不等式恒成立问题。解析：112恒成立，则实数a的最大值为 x2(ax)21111()min2成立，恒成立，即2x2(ax)2x2(ax)211111822，xax2a2x2(ax)2xax()2118)当xax，即a2x时，(2，minx(ax)2a2所以，82，解得：0a2，所以，a的最大值为22a1*n（），nN(1)bnn212. 设d为等差数列{an}的公差，数列{bn}的前n项和Tn，满足Tn且da5b2，若实数mPk{x|ak2xak3}（kN*，k3），则称m具有性质Pk，若Hn是数列{Tn}的前n项和，对任意的nN*，H2n1都具有性质Pk，则所有满足条件的k的值为 答案：3或4考点：由数列的前n项和求数列的通项公式，等差数列的通项公式，分类讨论的数学思想。解析：由Tn111nTbb，当n＝1时，，得：，(1)b111n242n当n＝3时，T3又b1b2b3111b3，当n＝4时，T4b4，两式相减得b3，8161611b3，得：b2，84所以，da5所以，an又Tn13，由a5a14d，得：a1，4431n(n1)1，4441(1)nbn(1)n(TnTn1)，n211TTT，则2k2k12k122k22k122k1T2k1T2k2，则T2k20当n＝2k，kN*时，T2k当n＝2k－1，kN*时，T2k11，n奇数所以，Tn2n1，所以，0　 ,n为偶数二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列函数中既是奇函数，又在区间[1,1]上单调递减的是（ A. f(x)arcsinx 答案：C考点：函数的奇偶性，单调性。解析：B、D是偶函数，排除；又函数f(x)arcsinx是增函数，所以，A也排除；对于C，f(x)x既是奇函数，又是减函数，所以，选C。14. 某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（ A. ）C. B. f(x)lg|x| C. f(x)x ）D. f(x)cosx3 10B. 3 52 5D. 23答案：B考点：排列组合，古典概型。2解析：5名队员任派2人，可能为：C5＝10种，11C3恰有1人是女队员的可能有：C2＝6所以，所求概率为：P＝63，选B。10515. 已知f(x)logsinx，(0,)，设af(2sincos)，bf(sincos)，2cf(sin2)，则a、b、c的大小关系是（ ）sincosA. acb B. bca C. cba D. abc答案：D考点：三角函数，对数函数，基本不等式。解析：因为(0,)，所以，sin(0,1)，所以，f(x)logsinx在(0,)上单调递减，2sincossincos，(0,)，所以，cos(0,1)，所以，22所以，f(sincos)≤f(sincos)，即ab；2sin2sincos2sincos2sincossincos2sincossincos，所以，f(sin2sincos)f(sincos)，即cb，所以，abc16. 已知函数f(x)m2xx2nx，记集合A{x|f(x)0,xR}，集合B{x|f[f(x)]0,xR}，若AB，且都不是空集，则mn的取值范围是（ A. [0,4) B. [1,4) C. [3,5] D. [0,7)答案：A考点：集合的运算，分类讨论的数学思想。解析：设x0A，则f(x0)0，又A＝B，所以，x0B，即f[f(x0)]f(0)0，所以，f(0)m200200，得m＝0，从而f(x)x2nx，f[f(x)]f(x2nx)(x2nx)2n(x2nx)＝(x2nx)(x2nxn)＝0，当n＝0时，A＝B＝｛0｝，满足题意；当n≠0时，由方程f(x)x2nx＝0，得x＝0或－n，而x＝0或－n不是方程x2nxn0的根，所以，x2nxn0无解，即△＝n24n0，解得：0＜n＜4，综上，0≤n＜4所以，mn的取值范围是[0,4)三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PAAB1，AD2，点F是PB的中心，点E在边BC上移动.（1）求三棱锥EPAD的体积；（2）证明：无论点E在边BC的何处，都有AF⊥PE.）18. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且cosB5.134，求cosC；5（2）已知b4，证明：ABBC5.（1）若sinA19. 上海某工厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是3(5x1)元，其中1x10.x（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于30元，求x的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润.20. 如图，已知点P是y轴左侧（不含y轴）一点，抛物线C:y24x上存在不同的两点A、B，满足PA、PB的中点均在抛物线C上.（1）求抛物线C的焦点到准线的距离；（2）设AB中点为M，且P(xP,yP)，M(xM,yM)，证明：yPyM；y21（x0）上的动点，求△PAB面积的最小值.（3）若P是曲线x4221. 记无穷数列{an}的前n项中最大值为Mn，最小值为mn，令bnMnmn，nN*.2（1）若an2ncosn，请写出b3的值；2（2）求证：“数列{an}是等差数列”是“数列{bn}是等差数列”的充要条件；（3）若对任意n，有|an|2018，且|bn|1，请问：是否存在KN*，使得对于任意不小于K的正整数n，有bn1bn成立？请说明理由.一. 填空题1. {1,2} 5. [1,122] 9. x1 二. 选择题13. C 三. 解答题　2. 6 6. 12 10.  14. B 15. D 参考答案3. 2 　　　　　7. (0,1)(122,1) 2 12. 3或416. A 4. 38. [1,0]11. 19.答案：（1）[3,10]；（2）x6，最大值为4575. 解析：（1）2（5x+1－233)≥30，即5x+1－≥15xx1(舍去）5整理可得：5x14x30，解得：x≥3或x≤－所以： 3≤x≤10（2） 要使生产900千克该产品获得的利润最大时为y，生产900千克该产品需要时间：t=900，x y＝9009002700113×(5x1)＝4500＋－2＝－2700（2）＋4500xxxxx3x1x162　　＝－2700()＋45751≤x≤10，所以当x=6，y取最大值为4575元20.（1）焦点坐标为（1,0），准线方程为x＝－1，所以，焦点到准线的距离为22y12y2（2）设P(x0,y0)，A(,y1)，B(,y2)，44x0y12y0y1y0y12x0y12则PA中点为(,)，由AP中点在抛物线上，可得()4()，2822282化简得y122y0y18x0y00，显然y2y1，22且对y2也有y22y0y28x0y00，2所以y1,y2是二次方程y22y0y8x0y00的两不等实根，y1y2y0yP。211（3）S(xMxP)(|y1yM||yMy2|)(xMx0)|y1y2|，22所以y1y22y0，yM2由（1）可得y1y22y0，y1y28x0y0，22(2y0)24(8x0y0)8(y04x0)0(y1y2)，y2此时P(x0,y0)在半椭圆x1(x0)上，42∴8(y024x0)8[4(1x02)4x0]32(1x0x02)，∵1x00，∴0，∴|y1y2|2232(1x0x0)42(1x0x0)，|a|22224y02(8x0y0)6(44x0)y12y2(y1y2)22y1y2|xMxP|x0x0x03x0888823(1x0x0)，所以S122(xMx0)|y1y2|62(1x0x0)1x0x062t3，22t1x0x0[1,51510]，所以S62t3[62,]，24即PAB的面积的最小值是62.