第十二章 数项级数习题

第十二章 数项级数

11nn1、证明，级数n123收敛，并求其和。

证明：

2n11n13n的第n个部分和

111111sn22......nn....2323231111112...n2...n233322111111n2233n1111231111n1n223

1limsnlim1nnn2113111n2223113snn32n12

11111.......n23n2、讨论调和级数n1的敛散性。

解：调和级数满足收敛必要条件：即nlimunlim10nn，但令p=m时有

um1um2....umpum1um2...u2m

111...m1m22m1111...2m2m2m2

12因此，取

0,NN,mN,pm有

um1um2..ump0

所以调和级数n1发散。

n13、证明：若级数

u与vnn1n1n都收敛，则对任意常数c,d级数

cun1ndvn都收敛，且n1cundvncundvnn1n1

证：设级数n1u与vnn1n与n1cundvn的第n个部分和为

An,Bn,Cn，且

limAnAn，nlimBnB

Cncukdvkcu1dv1cu2dv2..cundvnk1ncu1u2....undv1v2.....vnCncAndBn

limCnlimcAndBnclimAndlimBncAdBnnnn

如

所以cundvn亦收敛，且cundvn=cundvn

2n3n11nnn62n1n1311nnn13n12

4、 判别下列正项级数的敛散性

111sinnn2nn1n1① ② ③n1n.n!

11nlim1,1n1n1nsinn解：①发散，则n1n发散：

sin1n2n112nlimlimlim1,nnn1nnnn22nn121nn2n收敛 n12②收敛，则

111n.n!limlim0,1n1nnn1n!n!③收敛，则n1n.n!收敛。

5、判别下列交错级数的收敛性

n111n1.n12n1!n10n n1① ② ③n1nn1111n,有且lim0nn1nn解：①，根据莱布尼茨判别法级数收敛。

②

n,有111且lim02n1!2n1!n2n1!，根据莱布尼茨判别法级数收敛。

③

n有nn19n1nn10,10n10n110n110n10n1，根据莱布尼茨判别法级数收敛。