练习题
1、 请描述平稳时间序列的条件。
2、 单整变量的单位根检验为什么从DF检验发展到ADF检验？
3、设
其中
是相互独立的正态分布N(0,
)随机变量， 是实数。试证：{
}为平稳过程。
4、 用图形及
法检验1978-2002年居民消费总额时间序列的平稳性，数据如下： 年份 居民消费总额 1978 1759.1 1979 2005.4 1980 2317.1 1981 2604.1 1982 2867.9 1983 3182.5 1984 3674.5 1985 4589 年份 居民消费总额 1987 5961.2 1988 7633.1 1989 8523.5 1990 9113.2 1991 10315.9 1992 12459.8 1993 15682.4 1994 20809.8 年份 居民消费总额 1995 26944.5 1996 32152.3 1997 34854.6 1998 36921.1 1999 39334.4 2000 42895.6 2001 45898.1 2002 48534.5
1986 5175
5、 利用4中数据，用ADF法对居民消费总额时间序列进行平稳性检验。 6、 利用4中数据，对居民消费总额时间序列进行单整性分析。
7、 根据6中的结论，对居民消费总额的差分平稳时间序列进行模型识别。
8、 用Yule Walker法和最小二乘法对7中的居民消费总额的差分平稳时间序列进行时间序列模型估计，并比较估计结果。
9、 有如下AR(2)随机过程：
该过程是否是平稳过程？
10、求MA(3)模型 的自协方差和自相关函数。
11、设动态数据
求样本均值
，样本方差
，样本自协方差
、
和样本自相关函数
、
。
12、判断如下ARMA过程是否是平稳过程：
13、以 表示粮食产量，
表示播种面积，
表示化肥施用量，经检验，他们取对数后都是I（1）变量且相互之间存在CI（1，1）关系。同时经过检验并剔除了不显著的变量（包括滞后变量），得到如下粮食生产模型：
推导误差修正模型的表达式，并指出误差修正模型中每个待估参数的经济意义。
14、固定资产存量模型 中，经检验，
，试写出由该ADL模型导出的误差修正模型的表达式。
15、以下是天津食品消费相关数据，试完成误差修正模型的建立 年份 人均食物年支出 1950 92.28 人均年生活费收入 151.2 职工生活费用定基价格指数 1
1951 97.92 1952 105 1953 118.08 1954 121.92 1955 132.96 1956 123.84 1957 137.88 1958 138 1959 145.08 1960 143.04 1961 155.4 1962 144.24 1963 132.72 1964 136.2 1965 141.12 1966 132.84 1967 139.2 1968 140.76 1969 133.56 1970 144.6 1971 151.2 1972 163.2 1973 165 1974 170.52 1975 170.16 1976 177.36 165.6 182.4 198.48 203.64 211.68 206.28 225.48 226.2 236.88 245.4 240 234.84 232.68 238.56 239.88 239.04 237.48 239.4 248.04 261.48 274.08 286.68 288 293.52 301.92 313.8 1.145 1.16332 1.254059 1.275378 1.275378 1.272827 1.295738 1.281485 1.280203 1.296846 1.445984 1.448875 1.411205 1.344878 1.297807 1.287425 1.2797 1.27842 1.286091 1.274516 1.271967 1.271967 1.277055 1.273224 1.274497 1.274497 1977 181.56 1978 200.4 1979 219.6 1980 260.76 1981 271.08 1982 290.28 1983 318.48 1984 365.4 1985 418.92 1986 517.56 1987 577.92 1988 665.76 1989 756.24 1990 833.76 参考答案
1、如果时间序列{
330.12 361.44 398.76 491.76 501 529.2 552.72 671.16 811.8 988.44 1094.64 1231.8 1374.6 1522.2 1.278321 1.278321 1.291104 1.35695 1.374591 1.381464 1.388371 1.413362 1.598512 1.707211 1.823301 2.131439 2.44476 2.518103
}满足下列条件：
1）均值
与时间t 无关的常数；
2）方差
与时间t 无关的常数；
3）协方差
只与时期间隔k有关，与时间t 无关的常数。
则称该随机时间序列是平稳的。
2、在使用DF检验时，实际上假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程（AR(1)）生成的。但在实际检验中，时间序列可能是由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用OLS法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关，导致DF检验无效。另外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的自相关随机误差项问题。为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和Fuller对DF检验进行了扩充，形成了ADF检验。
3、E（ ）=
所以{
}为平稳过程
4、居民消费总额时间序列图：
序列图表现出了一个持续上升的过程，即在不同的时间段上，其均值是不同的，因此可初步判断是非平稳的。
居民消费总额时间序列相关图及相关系数、 统计量：
从图中可以看出，样本自相关系数是缓慢下降的，表明了该序列的非平稳性。滞后12期的
统计量计算值为75.18，超过了显著性水平5%时的临界值21.03，因此进一步否定了该时间序列的自相关系数在滞后一期之后的值全部为0的假设。这样，结论是1978~2002年间居民消费总额时间序列是非平稳序列。
5、经过偿试，模型3取了3阶滞后：
（-1.37） (2.17) (-1.68) (5.17 ) (-2.33) （0.94）
DW值为2.03，可见残差序列不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。
从
的参数值看，其t统计量的绝对值小于临界值绝对值，不能拒绝存在单位根的零假设。同时，由于时间T的t统计量也小于ADF分布表中的临界值，因此不能拒绝不存在趋势项的零假设。需进一步检验模型2 。
经试验，模型2中滞后项取3阶：
（1.38） (0.33) (5.84) (-2.62) （1.14）
DW值为2.01,模型残差不存在自相关性，因此该模型的设定是正确的。从
的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。同时，常数项的t统计量也小于ADF分布表中的临界值，因此不能拒绝不存常数项的零假设。需进一步检验模型1。
经试验，模型1中滞后项取3阶：
（0.63） (6.35) (-2.77) (1.29)
DW值为1.99，残差不存在自相关性，因此模型的设定是正确的。从
的参数值看，其t统计量为正值，大于临界值，不能拒绝存在单位根的零假设。
至此，可断定居民消费总额时间序列是非平稳的。
6、利用ADF检验，经过试算，发现居民消费总额是2阶单整的，适当的检验模型为：
（-3.87） （2.30）
Correlogram-Q-Statistics检验证明随机误差项已不存在自相关。从
的参数值看，其t统计量绝对值3.87大于临界值的绝对值，所以拒绝零假设，认为居民消费总额的二阶差分是平稳的时间序列，即居民消费总额是2阶单整的。
7、居民消费总额经二阶差分后的新序列X2的样本自相关函数图与偏自相关函数图及数据如图所示：
（二阶差分后样本数n为23），偏自相关函数值的绝对值在k>2后均小于此值，而自相关函数是拖尾的，可认定该序列是一个2阶自回归过程。
8、有如下Yule Walker 方程：
解为：
用OLS法回归的结果为：
(3.04) （-2.30）
.
=0.313 DW.=2.08
加入常数项,回归如下式
（0.62） （2.94） （-2.32）
=0.361 .
=0.291 DW.=2.11
对三个模型的残差进行检验，得到Q统计量如下： 模型1 K 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Q-Stat 0.0841 0.0895 0.9892 1.0183 2.6985 2.7094 2.8169 3.0768 3.8631 Prob 0.772 0.956 0.804 0.907 0.746 0.844 0.901 0.929 0.920 0.947 0.965 0.970 模型2 Q-Stat 0.1148 0.1152 1.0126 1.0617 2.6512 2.6576 2.7548 3.0178 3.8441 3.9791 4.1146 4.5731 Prob 0.735 0.944 0.798 0.900 0.754 0.850 0.907 0.933 0.921 0.948 0.966 0.971 模型3 Q-Stat 0.0907 0.1026 0.9749 1.0028 2.7479 2.7619 2.8818 3.1443 3.9191 4.0716 4.2239 4.6569 Prob 0.763 0.950 0.807 0.909 0.739 0.838 0.896 0.925 0.917 0.944 0.963 0.968
10 4.0039 11 4.1488 12 4.5853
9、
可见，三个模型的残差序列都接近于白噪声。
特征方程为：
特征方程的根都在单位圆外，所以该过程是平稳的。
10、
11、
12、
ARMA 模型的平稳性取决于AR部分的平稳性。对于AR部分，特征方程为：
特征方程的根都在单位圆外，所以该AR过程是平稳的，可知ARMA过程也是平稳的。
13、
短期播种面积变化1%，将引起粮食产量变化
%；短期化肥施用量变化1%，将引起粮食产量变化
%；-（1-
）的大小反映了对偏离长期均衡的调整力度。
14、
，令
，则 即
15、
（1）、初步分析
首先，将人均食品支出和人均年生活费收入消除物价变动的影响，得到实际人均年食品支出C和实际人均年生活费收入Y；然后对C和Y分别取对数，记c=lnC,y=lnY
（2）、单整的单位跟检验
容易验证lnC与lnGDP是一阶单整的，它们适合的检验模型如下：
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