电机数学模型
以二相导通星形三相六状态为例，分析BLDC的数学模型及电磁转矩等特性。为了便于分析，假定：
a)三相绕组完全对称，气隙磁场为方波，定子电流、转子磁场分布皆对称； b)忽略齿槽、换相过程和电枢反应等的影响； c)电枢绕组在定子内表面均匀连续分布； d)磁路不饱和，不计涡流和磁滞损耗。 则三相绕组的电压平衡方程可表示为：
(1)
式中：为定子相绕组电压(V)；为定子相绕组电流(A)；
为定子相绕组电动势(V)；L为每相绕组的自感(H)；M为每相绕组间的
互感(H)；p为微分算子p=d/dt。
三相绕组为星形连接，且没有中线，则有
(2) (3)
得到最终电压方程：
(4)
L-MeariaibicrrL-ML-Mebec
图.无刷直流电机的等效电路
无刷直流电机的电磁转矩方程与普通直流电动机相似，其电磁转矩大小与磁通和电流幅值成正比
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(5)
所以控制逆变器输出方波电流的幅值即可以控制BLDC电机的转矩。为产生恒定的电磁转矩，要求定子电流为方波，反电动势为梯形波，且在每半个周期内，方波电流的持续时间为120°电角度，梯形波反电动势的平顶部分也为120°电角度，两者应严格同步。由于在任何时刻，定子只有两相导通，则：
电磁功率可表示为：
(6)
电磁转矩又可表示为：
(7)
无刷直流电机的运动方程为：
(8)
其中为电磁转矩；为负载转矩；B为阻尼系数；为电机机械转速；J为电机的转动惯量。
传递函数：
无刷直流电机的运行特性和传统直流电机基本相同，其动态结构图可以采用直流电机通用的动态结构图，如图所示：
U(s)+-I(s)1/RCtTC(s)+365/(GD^2s)-TL(s)N(s)Ce
图2.无刷直流电机动态结构图
由无刷直流电机动态结构图可求得其传递函数为:
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式中：
K1为电动势传递系数，
，Ce 为电动势系数；
K2为转矩传递函数，
，R 为电动机内阻，Ct 为转矩系数；
Tm 为电机时间常数，，G 为转子重量，D 为转子直径。
基于MATLAB的BLDC系统模型的建立
在Matlab中进行BLDC建模仿真方法的研究已受到广泛关注，已有提出采用节点电流法对电机控制系统进行分析，通过列写m文件，建立BLDC仿真模型，这种方法实质上是一种整体分析法，因而这一模型基础上修改控制算法或添加、删除闭环就显得很不方便；为了克服这一不足，提出在Matlab/Simulink中构造独立的功能模块，通过模块组合进行BLDC建模，这一方法可观性好，在原有建模的基础上添加、删除闭环或改变控制策略都十分便捷，但该方法采用快速傅立叶变换(FFT)方法求取反电动势，使得仿真速度受限制。本文提出了一种新型的BLDC建模方法，将控制单元模块化，在Matlab/Simulink建立独立的功能模块：BLDC本体模块、电流滞环控制模块、速度控制模块、参考电流模块、转矩计算模块和电压逆变模块，对这些功能模块进行有机整合，即可搭建出无刷直流电机系统的仿真模型。在建模过程中，梯形波反电动势的求取方法一直是较难解决的问题[27,28]，本文采用分段线性法成功地化解了这一难点，克服了建模方法存在的不足。
Matlab6.5针对电气传动控制领域所设计的工具箱SimPowerSystemToolbox2.3已提供了PMSM的电机模型，但没有给出BLDC的电机模型。因此，本文在分析无刷直流电机数学模型的基础上，借助于Matlab强大的仿真建模能力，在Matlab/Simulink中建立了BLDC控制系统的仿真模型。BLDC建模仿真系统采用双闭环控制方案：
下即为BLDC建模的整体控制框图，其中主要包括：BLDC本体模块、电流滞环控制模块、速度控制模块、参考电流模块、转矩计算模块和电压逆变模块。 BLDC本体结构
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(1) BLDCM本体模块
在整个控制系统的仿真模型中，BLDCM本体模块是最重要的部分，该模块根据 BLDC电压方程式(4)求取BLDC三相相电流，结构框图如图所示
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图.BLDCM本体模块结构框图及其封装形式
在整个控制系统的仿真模型中，BLDC本体模块是最重要的部分，该模块根据BLDC电压方程式(2-4)求取BLDC三相相电流，而要获得三相相电流信号ia，ib，ic，必需首先求得三相反电动势信号ea，eb，ec控制框图如图2-11所示。而BLDC建模过程中，梯形波反电动势的求取方法一直是较难解决的问题，反电动势波形不理想会造成转矩脉动增大、相电流波形不理想等问题，严重时会导致换相失败，电机失控。因此，获得理想的反电动势波形是BLDC仿真建模的关键问题之一。本文采用了分段线性法，如图2-12所示，将一个运行周期0°～360°分为6个阶段，每60°为一个换相阶段，每一相的每一个运行阶段都可用一段直线进行表示，根据某一时刻的转子位置和转速信号，确定该时刻各相所处的运行状态，通过直线方程即可求得反电动势波形。分段线性法简单易行，且精度较高，能够较好的满足建模仿真的设计要求。因而，本文采用分段线性法建立梯形波反电动势波形。
理想情况下，二相导通星形三相六状态的BLDC定子三相反电动势的波形如图2-12所示。图中，根据转子位置将运行周期分为6个阶段：0～π/3，π/3～2π/3，2π/3～π，π～4π/3，4π/3～5π/3，5π/3～2π。以第一阶段0～π/3为例，A相反电动势处于正向最大值Em，B相反电动势处于负向最大值-Em，C相反电动势处于换相阶段，由正的最大值Em沿斜线规律变化到负的最大值-Em。根据转子位置和转速信号，就可以求出各相反电动势变化轨迹的直线方程，其它5个阶段，也是如此。据此规律，可以推得转子位置和反电动势之间的线性关系，如表2-1所示，从而采用分段线性法，解决了在BLDC本体模块中梯形波反电动势的求取问题。
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Emea-EmEmeb-EmEmec-Em0π/32π/3π4π/35π/32πpospospos图.三相反电动势波形
转子位置和反电动势之间的线性关系表
转子位置 0~π/3 ea K*w eb - K*w K*w*((pos-π/6 -per)/(π/6)-1) K*w ec K*w*((per-pos)/ (π/6)+1) - K*w π/3~2π/3 K*w K*w*((per+2*π/3 -pos)/(π/6)+1) - K*w 2π/3~π - K*w K*w*((pos-π-per) /(π/6)-1) K*w π~4π/3 K*w K*w*((per+4*π/3 -pos)/(π/6)+1) - K*w 4π/3~5π/3 - K*w K*w*((pos-5*π/3 -per)/(π/6)-1) 5π/3~2π K*w 表中：K为反电动势系数(V/(r/min)，pos为角度信号，w为转速信号，转数per=fix(pos/(2*pi))*2*pi，fix函数是实现取整功能。
根据上式，用M文件编写反电势系数的S函数如下： 反电动势 S 函数(emf.m)
%========================================================= %BLDCM模型中反电动势函数
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%========================================================= function [sys,x0,str,ts] =emf(t,x,u,flag) switch flag case 0, %初始化设置
[sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes; sys = mdlOutputs(t,x,u); sys = [];
otherwise %错误处理
error(['unhandled flag = ',num2str(flag)]); end
%========================================================= %mdlInitializeSizes 进行初始化，设置系统变量的大小 %========================================================= function [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes() sizes = simsizes; %取系统默认设置 sizes.NumContStates = 0; sizes.NumDiscStates = 0; sizes.NumOutputs = 3; sizes.NumInputs = 2; sizes.DirFeedthrough = 1; sizes.NumSampleTimes = 1; sys = simsizes(sizes); x0 = []; str = []; ts = [-1 0];
%========================================================= %mdlOutputs 计算系统输出
%========================================================= function sys=mdlOutputs(t,x,u) global k; global Pos; global w;
k=0.060; % V/(r/min)反电动势系数 w=u(1); % 转速(rad/s) Pos=u(2); % 角度(rad) if Pos>=0 & Pos<=pi/3
sys=[k*w,-k*w,k*w*((-Pos)/(pi/6)+1)]; elseif Pos>=pi/3 & Pos<=2*pi/3
sys=[k*w,k*w*((Pos-pi/3)/(pi/6)-1),-k*w]; elseif Pos>=2*pi/3 & Pos<=pi
sys=[k*w*((2*pi/3-Pos)/(pi/6)+1),k*w,-k*w]; elseif Pos>=pi & Pos<=4*pi/3
case 3, %输出量计算
case {1,2,4,9} %未定义标志
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sys=[-k*w,k*w,k*w*((Pos-pi)/(pi/6)-1)]; elseif Pos>=4*pi/3 & Pos<=5*pi/3
sys=[-k*w,k*w*((4*pi/3-Pos)/(pi/6)+1),k*w]; else Pos>=5*pi/3 & Pos<=2*pi
sys=[k*w*((Pos-5*pi/3)/(pi/6)-1),-k*w,k*w]; end
转矩计算模块
根据BLDC数学模型中的电磁转矩方程式，可以建立图5.7所示的转矩计算模块，模块输入为三相相电流与三相反电动势，通过加、乘模块即可求得电磁转矩信号Te 。
转矩计算模块结构框图及其封装形式
转速计算模块
根据运动方程式(2.4)，由电磁转矩、负载转矩以及摩擦转矩，通过加乘、积分环节即可得到转速信号，求得的转速信号经过积分就可得到电机转角信号，如图
转速计算模块结构框图及其封装形式
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电流滞环控制模块
在这个仿真模块中采用滞环控制原理来实现电流的调节，使得实际电流随跟定电流的变化。模块结构框图如图5.10所示[40]，输入为三相参考电流和三相实际电流，输出为PWM逆变器控制信号。
电流滞环控制模块结构框图及其封装
参考电流模块
参考电流模块的作用是根据电流幅值信号Is和位置信号给出三相参考电流，输出的三相参考电流直接输入电流滞环控制模块，用于与实际电流比较进行电流滞环控制。转子位置和三相参考电流之间的对应关系如表所示，参考电流模块的这一功能可通过S函数编程实现，程序如下 参考电流 S 函数(mod.m)
function [sys,x0,str,ts] =mod(t,x,u,flag) switch flag case 0,
[sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes;
case 3, sys = mdlOutputs(t,x,u);
case 2, sys = [];
case 9, sys = []; otherwise
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error(['unhandled flag = ',num2str(flag)]); end
function [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes() sizes = simsizes;
sizes.NumContStates = 0; sizes.NumDiscStates = 0; sizes.NumOutputs = 1; sizes.NumInputs = 1; sizes.DirFeedthrough = 1; sizes.NumSampleTimes = 1; sys = simsizes(sizes); x0 = []; str = []; ts = [-1 0];
function sys=mdlOutputs(t,x,u) global Pos; global w; global Theta; Theta=u;
b=fix(Theta/(2*pi));%取整 if Theta==0 sys=0;
else if (Theta/(2*pi))==b sys=2*pi; else
sys=Theta-b*2*pi; end end Pos=sys; %位置
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表5.2 转子位置和三相参考电流之间的对应关系表
转子位置 I_ar I_br I_cr 0~π/3 π/3~2π/3 2π/3~π π~4π/3 Is Is 0 - Is - Is 0 Is Is 0 - Is 0 - Is - Is 0 Is Is 4π/3~5π/3 - Is 5π/3~2π 5.2.5 位置计算模块
0 电机转角信号到电机位置信号的转换可通过S函数编程实现，程序如下 位置计算 S 函数(is.m)
function [sys,x0,str,ts] =is(t,x,u,flag) switch flag case 0,
[sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes;
case 3, sys = mdlOutputs(t,x,u);
case 2, sys = [];
case 9, sys = []; otherwise
error(['unhandled flag = ',num2str(flag)]); end
function [sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes() sizes = simsizes;
sizes.NumContStates = 0; sizes.NumDiscStates = 0; sizes.NumOutputs = 3;
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sizes.NumInputs = 2; sizes.DirFeedthrough = 1; sizes.NumSampleTimes = 1; sys = simsizes(sizes); x0 = []; str = []; ts = [-1 0];
function sys=mdlOutputs(t,x,u) global Is; global Pos; Is=u(1); %电流 Pos=u(2);%位置 if Pos>=0& Pos<=pi/3 sys=[Is,-Is,0];
elseif Pos>=pi/3& Pos<=2*pi/3 sys=[Is,0,-Is];
elseif Pos>=2*pi/3& Pos<=pi sys=[0,Is,-Is];
elseif Pos>=pi& Pos<=4*pi/3 sys=[-Is,Is,0];
elseif Pos>=4*pi/3& Pos<=5*pi/3 sys=[-Is,0,Is];
else Pos>=5*pi/3& Pos<=2*pi sys=[0,-Is,Is]; end
5.2.6 电压逆变器模块
逆变器对BLDC来说，首先是功率变换装置，也就是电子换向器，每一个桥臂上的一个功率器件相当于直流电动机的一个机械换向器，还同时兼有PWM
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电流调节器功能。对逆变器的建模，本文采用Simulink的SimPowerSystem工具箱提供的三相全桥IGBT模块。由于在Matlab新版本(如Matlab7.0)中
SimPowerSystem工具箱和Simulink工具箱不可以随便相连的，中间必须加上受控电压源(或者受控电压源、电压表、电流表)。本文给IGBT的A、B、C三相加三个电压表，输出的Simulink信号可以与BLDC直接连接，如图5.11所示。逆变器根据电流控制模块所控制PWM信号，顺序导通和关断，产生方波电流输出。
电压逆变器模块结构框图及其封装
基于Matlab/Simulink建立了BLDC控制系统的仿真模型，并对该模型进行了BLDC双闭环控制系统的仿真。仿真中，BLDC电机参数设置为：定子相绕组电阻R＝1Ω，定子相绕组自感L＝0.02H，互感M＝-0.061H，转动惯量J＝0.005kg·m2，阻尼系数B= 0.0002N·m·s/rad，额定转速n＝1000r/min，极对数p＝1，220V直流电源供电。
总体模型：
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存在问题：仿真速度慢，且示波器值均为0
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