一、选择题（本大题共12小题）
1. 已知集合，，则下列结论正确的是
A. B. C. D. 以上均不对 2. 在复平面内，复数：的共轭复数应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 设实数x，y满足，则的最大值为
A. B. C. 2 D. 1 4. 如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢篮球运动的等高条形图，阴影部分的高表
示喜欢该项运动的频率．已知该年级男生女生各500名假设所有学生都参加了调查，现从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为
A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 5. 设函数，在区间上随机取一个数x，则的概率为
A. B. C. D. 6. 已知圆C：关于直线对称，则圆C中以为中点的弦长为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知为等差数列，，，的前n项和为，则使得达到最大值的是
A. 19 B. 20 C. 21 D. 22 8. 在直角梯形ABCD中，，，，，E是BC的中点，则
A. 32 B. 48 C. 80 D. 64 9. 将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，若函数在
区间，上单调递增，则a的取值范围是 A. B. C. D. 10. 过双曲线的左、右焦点分别作两条渐近线的平行线，所作的这4条直线所围成的四边形
的周长为12a，则该双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D. 11. 已知，，，则a，b，c的大小关系为
A. B. C. D. 12. 设函数，点，设，对一切都有不等式成立，则正整数：的最小值为
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（本大题共4小题）
13. 曲线在点处的切线方程为______． 14. 已知椭圆的离心率为，则______． 15. 已知，且，则______． 16. 如图，在四棱锥中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心且，设点M，N分别为线段PD，PO上的动点，已知当取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为______． 三、解答题（本大题共7小题）
17. 某市环保部门对该市市民进行了一次动物保护知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次
参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分满分：100分数据，统计结果如表所示：
组别 男 女 2 0 3 5 5 10 15 15 18 5 12 10 若规定问卷得分不低于70分的市民称为“动物保护关注者”，则山图中表格可得列联表如下： 男 女 合计 非“动物保护关注者” 10 15 25 是“动物保护关注者” 45 30 75 合计 55 45 100 请判断能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“动物保护关注者”与性别有关？
若问卷得分不低于80分的人称为“动物保护达人”现在从本次调查的“动物保护达人”中利用分层抽样的方法随机抽取6名市民参与环保知识问答，再从这6名市民中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“动物保护达人”又有女“动物保护达人”的概率．
附表及公式：，其中．
18. 已知数列地公比为q的正项等比数列，是公差d为负数的等差数列，满足，，．
求数列的公比q与数列的通项公式； 求数列的前10项和．
19. 如图，在三棱柱中，底面ABC为正三角形，底面ABC，，
点E在线段上，平面平面B.
请指出点E的位置，并给出证明； 若，求与平面ABE夹角的正弦值．
20. 过抛物线C：的焦点F且斜率为1的直线交抛物线C于M，N两点，且．
求p的值；
抛物线C上一点，直线l：其中与抛物线C交于A，B两个不同的点B均与点Q不重合设直线QA，QB的斜率分别为．
直线l是否过定点？如果是，请求出所有定点；如果不是，请说明理由；
设点T在直线l上，且满足，其中O为坐标原点．当线段最长时，求直线l的方程．
21. 已知函数为自然对数的底数．
求函数的值域；
若不等式对任意恒成立，求实数k的取值范围； 证明：．
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为常数以坐标原点为极点，x轴正半轴为极
轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为若直线l与曲线C相交于M，N两点． 求曲线C的极坐标方程；
记线段MN的中点为P，求的值．
23. 已知函数．
当时，求不等式的解集；
当时，若对任意实数x，都成立，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合，
集合A为自然数中3的倍数构成的集合， ，
集合B为自然数中6的倍数构成的集合， ． ．
故选：B．
集合A为自然数中3的倍数构成的集合，集合B为自然数中6的倍数构成的集合，由此能求出结果．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基知识，考查运算求解能力，是基础题． 2.【答案】A
【解析】解：， ，
复数应的点的坐标为，位于第一象限． 故选：A．
求出，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题． 3.【答案】D
【解析】解：作出实数x，y满足的可行域，如图内部含边界， 作出直线l：，平移直线l，当l过时，取得最大值1． 故选：D．
画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最值即可． 本题考查线性规划的简单应用，数形结合的应用，是基本知识的考查． 4.【答案】D
【解析】解：由等高条形图的女生喜欢篮球运动的频率为， 男生喜欢篮球运动的频率为，
从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人， 则抽取的男生人数为：． 故选：D．
由等高条形图的女生喜欢篮球运动的频率为，男生喜欢篮球运动的频率为，从所有喜欢篮球运动的同学中按分层抽样的方式抽取32人，利用分层抽样性质能求出抽取的男生人数． 本题考查等高条形图、分层抽样的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5.【答案】B
【解析】解：由，得，
解得；
根据几何概型的概率公式可得， 从区间内随机选取一个实数x， 的概率为： ．
故选：B．
求出时x的取值范围，再根据几何概型的概率公式计算即可． 本题考查几何概型的概率计算问题，是基础题． 6.【答案】D
【解析】解：依题意可知直线过圆心，即，故． 圆方程配方得，与圆心距离为1，故弦长为． 故选：D．
求出圆心，得到a，然后利用弦心距，半径，半弦长满足勾股定理求解即可． 本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力． 7.【答案】B
【解析】解：因为为等差数列， 所以， 解得， 又， 解得， 所以； 由，解得， 所以最大． 故选：B．
根据等差数列的定义与性质，求出公差d和首项，写出通项公式；由此判断前n项和的最大值是什么．
本题考查了等差数列的定义与性质的应用问题，也考查了前n项和定义与应用问题，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：，
由数量积的几何意义可得：的值为与在方向投影的乘积， 又在方向的投影为，， 同理， ．
故选：C．
化简向量的数量积，利用向量的数量积的几何意义，转化求解即可． 本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力． 9.【答案】B
【解析】解：将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象 由，求得，
可得的单调增区间为． 要使得在区间单调递增， 则，，
所以，，即，且， 故选：B．
由题意利用函数的图象变换规律求得的解析式，再利用正弦函数的单调性，解不等式，求得a的范围．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的单调性，不等式的解法，属于中档题． 10.【答案】C
【解析】解：过右焦点与渐近线平行的一条直线方程为，令，， 这四条直线所围成的四边形周长为12a， ，
所以渐近线方程为， 故选：C．
求出过右焦点与渐近线平行的一条直线方程，然后求解四边形的周长为12a，列出方程，然后求解渐近线方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查． 11.【答案】D
【解析】解：， ， ， ，， ．
故选：D．
利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 12.【答案】B
【解析】解：由题意知：， ， ，，
随n的增大而增大，，，即， 正整数t的最小值为4． 故选：B．
化简数列的通项公式，利用裂项消项法求出数列的和，然后利用和判断最值，转化求解不等式即可．
本题考查数列与函数综合，数列求和的应用，不等式的解法，考查计算能力，是中档题． 13.【答案】
【解析】解：，， ，
切线的方程是， 即，
故答案为：．
对函数求导，得到函数在这一点对应的切线的斜率，利用点斜式写出直线的方程． 本题考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，本题是一个基础题，注意本题和其他的题目有点不同，这里的导函数做出来是一个定值，这样也不影响解题． 14.【答案】或
【解析】解：椭圆，化为标准方程为， 当时，则椭圆的离心率，解得， 当时，则椭圆的离心率，解得， 故答案为：或．
椭圆，化为标准方程为，根据椭圆的离心率，分类讨论即可求出． 本题考查了椭圆的标准方程和离心率，属于基础题． 15.【答案】．
【解析】解：因为，所以， 解得，而， 得，故， 故答案为：．
利用二倍角公式以及诱导公式，求出的值，得到，然后求解即可．
本题考查二倍角的三角函数以及诱导公式的应用，特殊角的三角函数求值，考查计算能力． 16.【答案】．
【解析】解：如图，在PC上取点，使得
顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心， ≌≌POA≌ ，
，
当时最小， 为PD的中点，
为PC的中点， ，
又顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心， 外接球的球心在PO上，
设外接球的半径为r，则解得． 故外接球的表面积为． 故答案为：．
将折线转化为直线外一点与直线上一点的连线段，求出侧棱的长度 本题考查了直线外一点与直线上一点连线中，垂线段最短求最短距离的方法，还考查了外接球半径的求法，属于难题
17.【答案】解：将列联表中的数据代入公式计算得的观测值为 ，
所以在犯错误的概率不超过的前提下，不能认为是否是“动物保护关注者”与性别有关． 由题意知，利用分层抽样的方法可得男“动物保护达人”4人，女“动物保护达人”2人． 设男“动物保护达人”4人分别为A，B，C，D；女“动物保护达人”2人为e，f． 从中抽取两人的所有情况为：
AB，AC，AD，Ae，Af，BC，BD，Be，Bf，CD，Ce，Cf，De，Df，ef共15种情况． 既有男“动物保护达人”又有女“动物保护达人”的情况有： Ae，Be，Ce，De，Af，Bf，Cf，Df共8种情况． 故所求的概率为．
【解析】将列联表中的数据代入公式计算的观测值，对照临界值得出结论； 由分层抽样法抽取样本数据，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．
本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题，是基础题． 18.【答案】解：由已知，，得． 又，
得：或舍，，--，
于是，又是公比为q的等比数列， 故，
所以，，含或； 综上，，，．
设的前n项和为；令，，得， 于是，，
易知，时，，， 所以．
【解析】利用已知条件求出数列的公差与首项，然后求解通项公式，然后求解数列的公比q． 求出数列变号的项，然后求解数列的前10项和．
本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和，考查转化首项以及计算能力． 19.【答案】解：点E为线段的中点．
证明如下：取AB中点为F，的中点为G，连接CF，FG，EG． 所以，，所以四边形FGEC为平行四边形．所以．
因为，，所以．
又因为平面ABC，平面ABC，所以． 又，所以平面B.
所以平面，而平面，所以平面平面B. 由，得．
由可知，点E到平面的距离为． 而的面积，
等腰底边AB上的高为，
记点到平面ABE的距离为h， 由，得，
即点到平面ABE的距离为与平而ABE夹角的正弦值．
【解析】取AB中点为F，的中点为G，连接CF，FG，推导出四边形FGEC为平行四边形．从而推导出从而平面B.平面，由此推导出点E为线段的中点时，平面平面B.
由，得点E到平面的距离为记点到平面ABE的距离为h，由，求出点到平面ABE的距离为，由此能求出与平而ABE夹角的正弦值．
本题考查满足面面垂直的点的位置的判断与求法，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基知识，考查运算求解能力，是中档题． 20.【答案】解：抛物线的焦点为，准线方程为，设直线MN方程为， 联立抛物线方程可得， 故，
由抛物线的定义可得， 解得；
由知抛物线C方程为，从而点， 设，， 由可得， ，，且，． 由，
可得，即，从而，
该式满足式可得，即直线l恒过定点； 设动点，，，即，
动点T在圆上，故T与H重合时线段最长， 此时直线l：，即：．
【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，设出直线MN的方程，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，解得p；
求得抛物线方程和Q的坐标，设，，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，结合直线恒过定点的求法，可得所求定点；
设动点，由向量数量积的坐标表示可得T的轨迹方程，结合圆内的点和弦长最短的情况，由两直线垂直的条件化简得到所求直线方程．
本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，同时考查圆方程的求法，以及两直线垂直的条件，考查化简运算能力，属于中档题． 21.【答案】解：
，， ，所以，
故函数在上单调递减，函数的最大值为；的最小值为， 所以函数的值域为． 原不等式可化为，
因为恒成立，故式可化为． 令，则 当时， 0'/>，所以函数在上单调递增，故，所以； 当时，令，得，且当时，；当时， 0'/>．
所以当，即时，函数，成立；
当，即时，函数在上单调递减，，解得 综上，． 令，则．
由，故存在，使得即且当时，；当时， 0.'/>故当时，函数有极小值，且是唯一的极小值，故函数，因为，所以， 故，．
【解析】利用导数求函数的值域即可；恒成立问题转化为最值即可；构造函数可解决此问题． 本题考查函数的值域的求法，恒成立问题和存在性问题与函数最值的转化． 22.【答案】解：因为曲线C的参数方程为为常数， 所以曲线C的普通方程为， 所以曲线C的极坐标方程为；
将直线l的方程代入曲线C的方程中， 得，
因为直线l与曲线C相交于M，N两点， 设，，则，
又线段MN的中点为P， 所以．
【解析】将曲线C的参数方程转化为普通方程，然后将普通方程转化为极坐标方程即可； 将直线l代入曲线C中，得到关于的方程，设，，由根与系数的关系可得的值，再根据条件可得．
本题考查了直角坐标方程，参数方程和极坐标之间的转化，考查学生的运算能力和转换能力，属中档题．
23.【答案】解：当时，． 因为，所以，所以， 所以不等式的解集为； 当时，，，
则在上单调递减，在上单调递增， 所以．
因为对任意实数x，都成立， 所以，所以， 当时，同理可得，
综上，a的取值范围为．
【解析】将代入中，根据，去绝对值解不等式可得解集；
分和求出的最小值，根据对任意实数x，都成立，可得，然后解出a的范围． 本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．
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