华南理工大学网络教育学院：《工程数学》作业之01(答案)

作业一：线性代数

一．问答题

1．叙述三阶行列式的定义。

a11a12a13a23表示数值： a33答：定义1：用32个数组成的记号a21a22a31a32a11a22a32a12a32a23a33a12a21a23a31a33a13a21a22a31a32

称为三阶行列式，即：

a11a31a21a22aa23＝a1122a32a33a13a23a33a12a21a23a31a33a13a21a22a31a32

a11定义2：用n2个数组成的记号D＝an1a1n表示数值： ann(1)11a11a22a32an2a21a31a23a33an3a22a32a2na3nanna2,n1a3,n1an,n1＋

(1)12a12a21a31a23a33a2na3nann＋＋

an1an3(1)1na1n

an1an2称为n阶行列式。

2．叙述n阶行列式的余子式和代数余子式的定义，并写出二者之间的关系。

.

答：定义：在n阶行列式D中划去aij所在的第i行和第j列的元素后，剩下的元素按原来相对位置所组成的（n－1）阶行列式，称为aij的余子式，记为Mij，即

a11ai1,1ai1,1an1a1,j1ai1,j1ai1,j1an,j1a1,j1ai1,j1ai1,j1an,j1a1nai1,nai1,nannMij＝

(1)ijMij称为aij的代数余子式，记为Aij，即

Aij＝(1)ijMij

3．叙述矩阵的秩的定义。

答：定义：设A为mn矩阵。如果A中不为零的子式最高阶为r，即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作（秩）＝r或R（A）＝r

4．叙述对称阵、可逆矩阵的定义。 答：定义1：满足条件aijaji(i,j1,2,,n)的方阵(aij)nn称为对称阵。其特点

是：它的元素以主对角线为对称轴对应相等。

定义2：对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B，使得AB＝BA=E，其中E为n阶单位阵，则称A为可逆阵，称B为A的逆矩阵。

5．叙述矩阵的加法运算、数乘运算定义。 答：定义1：设两个mn矩阵

a11A＝am1a1nb11，B＝bamnm1b1n bmna1nb1n为矩阵A与B的和，记作A＋B

amnbmna11b11则称mn矩阵abm1m1定义2：以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵，称为数k与矩阵A的积，记作kA，如果A＝(aij)mn，那么kA=k(aij)mn(kaij)mn,即

.

ka1nka11ka12kakaka21222n kA=kakakam2mmm1

6．叙述向量组的线性相关和线性无关的定义。 答：定义：设有向量组1,2,k11k22,s,如果存在一组不全为零的数k1,k2,,ks,使得

kssO 成立，则称向量组1,2,ks0时，才有k11k22,s,线性相关。否则，即仅

当k1k2kssO成立，则称向量组

1,2,,s,线性无关。

7．齐次线性方程组的基础解系是什么？

a11x1a12x2axax答：定义：设T是211222an1x1an2x2组非零解1,2,（1）1,2,,s,满足

a1nxn0a2nxn0annxn0的所有解的集合，若T中存在一

,s,线性无关；

,s,线性表出

（2）任意T，都可用1,2,则称1,2,,s,是此方程组的一个基础解系

8．试述克莱姆法则的内容。 答：克莱姆法则：如果线性方程组

a11x1a12x2axax211222an1x1an2x2a1nxnb1a2nxnb2annxnbn

的系数aij(i,j1,2,,n)构成的行列式D0,则此线性方程组有唯一解：

x1D1D,x22,DD,xnDn, D其中，Dj(j1,2,,n)是将系数行列式D中第j列元素对应地换为常数项

.

b1,b2,,bn得到的行列式

a11Dja21an1a1,j1b1a2,j1b2an,j1bna1,j1a2,j1an,j1a1,na2,nann

二．填空题（共8题，每题4分，共计32分）

1111．行列式D111 4 ．

111T2．若A是对称矩阵，则AA O 。

a113．设A＝a21a31a12a22a32a13a11a23，则3a21a336a31a123a226a32a133a23 18|A| ．

6a334．设A,B均为3阶矩阵，且|A||B|3，则2ABT72。

131325．设行列式D102，则D中元素a23的代数余子式A23=11． 1126．n阶行列式Dn中元素aij的代数余子式Aij与余子式Mij之间的关系是

Aij(1)ijMij。

7．设矩阵A中的r阶子式Dr0，且所有 r+1 阶子式（如果有的话）都为0，则r(A)r。

110018．设A020，则A 00010012000 。 1a11x1a12x2axax9．如果齐次线性方程组211222an1x1an2x2那么它有 只有零 解．

.

a1nxn0a2nxn0annxn0的系数行列式|D|0，

10．齐次线性方程组AX0总有 0 解；当它所含方程的个数小于未知量的个数时，它一定有 非零 解。

11．用消元法解线性方程组AXb，其增广矩阵A经初等行变换后,化为阶梯阵

153023 A00s00014， t0则

(1)当s=0,t0时, AXb无解; (2)当s=0,t=0时, AXb有无穷多解; (3)当s0,t是任意实数时 , AXb 有唯一解.

三．计算题

x13x5633． x41．计算行列式36解：原行列式可化为：(x1)x563x43336x4(3)3x566

2(x2)(x4)＝x312x16 ＝

131

2．计算行列式

132

2330121

1

13

16

．

01

91

221312111131610529解：原行列式可化为：＝

610016021431290550.

5291424211115214＝214＝（5）＝ 296662505055550550529

21221111122102001320110203951205413．计算行列式

20110299982102．

解：原行列式可化为：

001320110299981205

102395201395201102＝201102395＝2 (2)251512125＝－2600＋1400－600＝-1800

231123,B112，求AB。 1114．设矩阵A0110112311235611112＝246 111解：AB0110111015611|AB|246＝41012126116(1)5624＝0

25769112227345145．已知行列式

，写出元素a43的代数余子式A43，并求A43的

值．

.

252解：A43(1)43M43374

462(2 ＝54

7462(5)344223476)

120111211421，B，求(IA)B。 6．设A02010114311210

解：(IA)

00

0001201020121142214100－＝

01002010211001143114300201115422142125＝ (IA)B0211015314301290

257．求矩阵A1425解：A1410007900453218543的秩。 742011237420174209525321→1123027156854302715601→335321128543→742041123520521 000000所以，矩阵的秩为2

.

x12x2x34x402x3x4x5x02348．解齐次线性方程组1。

x4x13x14x02341x1x27x35x40解：对系数矩阵施以初等变换：

4112123450→A＝14131401175024121012123→61218000369000143→001052105201230123→ 0000000000000000与原方程组同解的方程组为：

x15x32x40 x2x33x40所以：方程组的一般解为

x15x32x4（其中，x3,x4为自由未知量） x2x3x342

3x1x2x309．试问取何值时，齐次线性方程组 2x2x30有非零解？

xx2x0312解：系数行列式为：

301211420211120021

81060112所以，当8时，该齐次线性方程组有非零解．

.

x1x23x3110．解线性方程组3x1x23x31。

x5x9x0231解：对增广矩阵施以初等行变换：

11311131113104620462 3131A159004610003所以，原方程组无解。

2x5x23x32x4111．解线性方程组 1。

5x18x25x34x43解：对增广矩阵施以初等行变换：

531125321125321222A→→09511→9515854312220222153110119222→01521015999979 219949与原方程组同解的方程组为：

147xxx193949 521xxx234999所以：方程组的一般解为 147xxx341999 (x3,x4是自由未知量); 521xxx234999

.

012,B213，解矩阵方程AXBT。 11412．设矩阵A35621021123 15解：A1421；BT3136122211236T由于AXB.则有XA1BT421159371361222516 132

四．应用题

7．某工厂采用三种方法生产甲乙丙丁四种产品，各种方案生产每种产品的数量如下列矩阵所示：

甲 乙 丙 丁5 9 7 4方法一 A7 8 9 6方法二4 6 5 7方法三若甲乙丙丁四种产品的单位成本分别为10、12、8、15（万元），销售单位价格分别为15、16、14、17（万元），试用矩阵运算计算用何种方法进行生产获利最大？

10151216解：设单位成本矩阵C，销售单价矩阵为P，则单位利润矩阵为

8141517555 9 7 411144133，于是可知，BPC，从而获利矩阵为LAB7 8 9 6664 6 5 78822采用第二种方法进行生产，工厂获利最大。

.