江苏省徐州市2019-2020学年度第一学期学情调研高二数
学试题
一、选择题（本大题共12小题）
2
1. 设a∈R，则“a＞1”是“a＞1”的（ ）条件．
A. 必要不充分
C. 既不充分也不必要
B. 充分不必要 D. 充要
2. 若数列的前4项分别是 ， ， ， ，则此数列一个通项公式为（ ）
A.
B.
C.
D.
D. D.
3. 在等差数列{an}中，若a3=2，a6=4，则等差数列{an}的公差d=（ ）
A.
B. 1
C.
4. 已知等比数列{an}中a4=27，q=-3，则a1=（ ）
A. 1 B. C. 3 5. 已知 ＞ ， ，则y的最小值是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2
6. 已知命题p：x＞m，q：2+x-x＜0，如果命题p是命题q的充分不必要条件，则实
数m的取值范围是（ ） A. B. C. D.
7. 在等比数列{an}中， ， ，则a1=（ ）
A. 或6 A.
B. 3
C. 或3 C.
D. 6
8. 设a，b，c为实数，且a＞b＞0，则下列不等式正确的是（ ）
B.
D.
9. 我国古代用诗歌的形式提出一个数列问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共有三百八十一，试问塔顶几盏灯？”，请问塔顶一共（ ）盏灯． A. 4 B. 3 C. 6 D. 2 10. 观察下列一组数据
a1=1 a2=3+5 a3=7+9+11
a4=13+15+17+19 …
则a20从左到右第一个数是（ ） A. 379 B. 383 C. 381 D. 377
11. 等差数列{an}中，Sn为它的前n项和，若a1＞0，S20＞0，S21＜0，则当n＝（ ）
时，Sn最大． A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 12. 设函数f（x）= ，利用课本（苏教版必修5）中推导等差数列前n项和的方法，
求得f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（4）+f（5）的值为（ ）
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A. 9 B. 11
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题）
13. 命题“∃x＞0，2x-1＜0．”的否定是______．
2
14. 不等式2x-kx+k＞0对于任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围是______． 15. 已知数列{an}首项为a1=1，且 ， ∈ ，则数列 的前n项和
为______．
16. 已知正数a，b满足a+b=2，则 的最大值为______． 三、解答题（本大题共6小题） 17. 解下列不等式：
（1）（1-x）（x+2）＞-4
（2）
18. 已知等差数列{an}前n项和为Sn，且S2=-18，S11=0．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若
，求证：数列{bn}是等差数列．
*
19. 已知数列{an}的前n项和Sn，且满足：Sn=2an-1，n∈N．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=2n+1，求数列{an•bn}的前n项和Tn．
20. 某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本C（x），
2
当年产量不足80千件时，C（x）= x+10x（万元）；当年产量不小于80千件时，
C（x）=51x+
-1450（万元），每件售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生
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产的商品能全部售完．
（1）写出年利润L（x）（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
2
21. 设函数f（x）=ax+（b-2）x+3，（a≠0）
（1）若不等式f（x）＞0的解集为（-3，1），求a，b的值； （2）若b=-a，求不等式f（x）≤1的解集．
2
22. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=n-2n+1，数列{bn}中，b1= ，对任意
正整数 ， ．
（1）求数列{an}的通项公式；
n
（2）是否存在实数μ，使得数列{3•bn+μ}是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q的值，若不存在，请说明理由； （3）求数列{bn}前n项和为Tn．
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答案和解析
1.【答案】B
22
【解析】解：当a∈R时，a＞1⇒a＞1；而a＞1不能推出a＞1，也可能a＜-1．
2
∴“a＞1”是“a＞1”的充分不必要条件． 故选：B．
22
由a＞1⇒a＞1，而a＞1不能推出a＞1，则答案可求． 本题考查充分必要条件的判定，是基础题． 2.【答案】A
【解析】解：由数列的前四项是 ， ， ， ，得 故选：A．
根据数列的前四项是 ， ， ， ，找规律，奇数项为负数，偶数项为正数，分子都是1，分母是项数加1，即可写出通项公式． 还可以根据选项排除错误选项，选出答案．
本题考查了数列通项公式的写法，主要用观察法，还可以用法特值法排除错误选项法，属于基础题． 3.【答案】C
【解析】解：∵在等差数列{an}中，a3=2，a6=4， ∴等差数列{an}的公差d=
==．
；
故选：C．
利用等差数列的通项公式直接求解． 本题考查等差数列的公差的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.【答案】B
【解析】解：等比数列{an}中，a4=27，q=-3， 则a1= = =-1．
故选：B．
根据等比数列的通项公式计算即可．
本题考查了等比数列的定义与性质应用问题，是基础题． 5.【答案】C
【解析】解： ＞ ， =x-1+ +1≥2
+1=3，当且仅当x=2时取等
号．
则y的最小值是3． 故选：C．
变形利用基本不等式的性质即可得出．
本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 6.【答案】D
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【解析】解：命题p：x＞m，q：2+x-x＜0， ∵命题p是命题q的充分不必要条件， ∴p能推出q，q推不出p．
2
由题知：q：2+x-x＜0，解得：x＞2或x＜-1． 则：m≥2． 故选：D．
求解一元二次不等式化简q，再由命题p是命题q的充分不必要条件转化为两集合间的关系求解．
本题考查了充要条件、简易逻辑的应用，考查了推理能力与计算能力，是基础题． 7.【答案】A
【解析】解：由 ， ，得：
得a1= 或6． 故选：A．
将 ， 建立关于a1，q的方程组求解，解方程组即可求出结果
本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，熟练掌握公式，同时要注意运算的
正确性，属于基础题． 8.【答案】D
【解析】解：因为a，b，c为实数，且a＞b＞0， 所以取a=2，b=1，可排除A，B，C． 故选：D．
根据a＞b＞0，取a=2，b=1可用排除法得到正确选项． 本题考查了不等式的基本性质，属基础题． 9.【答案】B
【解析】解：由题设知七层塔中，各层塔上灯的个数成等比数列，且公比q=2， 设塔顶有x盏灯，则故选：B．
设塔顶有x盏灯，由等比数列的求和公式可得
2
=381，解得x=3．
=381，解方程可得结果．
本题考查等比数列的前n项和，从实际问题中抽象出数列问题是解决本题的关键，属基础题．
10.【答案】C
【解析】解：依题意，前从a1到a19共有
=190个数字，
所以a20从左到右第一个数是第191个奇数， 第n个奇数为2n-1，
191-1=381． 所以第191个奇数为2×
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故选：C．
先计算前19行数字的个数，进而可得a20从左到右第一个数．
本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查分析问题和解决问题的能力．属于中档题． 11.【答案】C
【解析】解：等差数列{an}中，前n项和为Sn，且S20＞0，S21＜0， 即a10+a11＞0，并且a11＜0， 所以a10＞0，
所以数列{an}的前10项和最大． 故选：C．
根据等差数列的前n项和公式与项的性质，得出a10＞0，且a11＜0，由此判断数列{an}的前10项和最大．
本题考查了等差数列的性质和前n项和应用问题，是基础题．
12.【答案】B
【解析】解：函数f（x）= ，可得f（-x）= =则f（x）+f（-x）=
，
=2，
设s=f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（4）+f（5）， 则s=f（5）+f（4）+…+f（0）+…+f（-4）+f（-5），
相加可得2s=[f（-5）+f（5）]+[f（-4）+f（4）]+…+2f（0）+…+[f（4）+f（-4）]+[f（5）+f（-5）]
=2+2+…+2+…+2+2=2×11， 可得s=11． 故选：B．
由题意求得f（x）+f（-x）=2，设s=f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（4）+f（5），则s=f（5）+f（4）+…+f（0）+…+f（-4）+f（-5），两式相加，计算可得所求和．
本题考查函数的值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得f（x）+f（-x）=2是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题． 13.【答案】∀x＞0，2x-1≥0
【解析】解：命题为特称命题，则命题的否定为∀x＞0，2x-1≥0， 故答案为：∀x＞0，2x-1≥0．
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础． 14.【答案】0＜k＜8
2
【解析】解：2x-kx+k＞0对于任意的实数x恒成立，
2
∴二次函数y=2x-kx+k的图象恒在x轴上方，
2
2×k＜0， ∴△=k-4×
即 k2-8k＜0， ∴0＜k＜8，
故答案为：0＜k＜8．
本题是一道二次不等式恒成立问题，可以转化为对应的二次函数的图象恒在x轴上方，则判别式△＜0求解．
本题是二次不等式恒成立问题，x的范围是R，我们还可以变式将x的范围进行适当的
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限制，然后用分类讨论的方法或分离参数的方法求解．
15.【答案】
【解析】解：a1=1，且 ， ∈ ， 可得an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1） =1+2+3+…+n=n（n+1），
则 = =2（ - ），
可得数列 的前n项和为2（1- + - +…+ - ）
=2（1-）=．
故答案为： ．
由数列的恒等式：an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1），结合已知递推式，结合等差数列的求和公式，可得an，求得 = =2（ - ），再由数列的裂项相消求和，
可得所求和．
本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的恒等式，考查数列的裂项相消求和，同时考查等差数列的求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：正数a，b满足a+b=2，∴（a+1）+（b+2）=5． 则 =
+
=2-（ + ）．
[a+1）+] + ）=（2++ ）≥（2+2）= ，∵ + = （（b+2）（当且仅当a+1=b+2= ， 解得a= ，b= 时取等号． ∴ =2-（ + ）≤2- = ． ∴ 的最大值为 ． 故答案为： ．
b满足a+b=2，+=5．正数a，变形为（a+1）（b+2）变形 =
+
=2-（ + ），
再利用基本不等式的性质即可得出．
本题考查了基本不等式的性质、变形方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2
（1）原不等式可化为x+x-6＜0，所以原不等式的解集为{x|-3＜x＜2}； 17.【答案】解：
（2）原不等式可化为 ， 等价于 ，
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所以原不等式的解集为{x|x≤-4或x＞3}．
2
【解析】（1）原不等式可化为x+x-6＜0，然后按一元二次不等式的解法解即可；
（2）原不等式可化为 ，该不等式又等价于 ，然后解不等式
组即可．
考查一元二次不等式和分式不等式的解法．
18.【答案】解：（1）设等差数列{an}的公差为d， ∴ 可得 ，
∴an=2n-12． （2）
，
，从而bn+1-bn=1（常数）．
所以数列{bn}是等差数列．
【解析】（1）设出数列的公差，利用已知条件列出方程组求解首项与公差，即可得到通项公式．
（2）求出等差数列的和，化简
，然后求解数列的和即可．
本题考查数列求和数列的递推关系式的应用，考查转化首项以及计算能力． 19.【答案】解：（1）依题意：当n=1时，有：S1=2a1-1，又S1=a1，故a1=1， 由Sn=2an-1①当n≥2时，有Sn-1=2an-1-1②， ①②得：Sn-Sn-1=an=2an-2an-1化简得：an=2an-1， ∴{an}是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴ ．
（2） ，
，
， =
，
．
【解析】（1）求出数列的首项，推出{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，然后求解通项公式．
（2）利用错位相减法，求解数列的和即可．
本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力． 20.【答案】解：（1）∵每件商品售价为0.05万元，
1000x万元， ∴x千件商品销售额为0.05×
①当0＜x＜80时，根据年利润=销售收入-成本， 1000x）- x2-10x-250=- x2+40x-250； ∴L（x）=（0.05×
②当x≥80时，根据年利润=销售收入-成本， 1000x）-51x-∴L（x）=（0.05×
+1450-250=1200-（x+
）．
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， ＜ ＜ Lx=综合①②可得，（） ； ，
22
（2）①当0＜x＜80时，L（x）=- x+40x-250=- （x-60）+950，
∴当x=60时，L（x）取得最大值L（60）=950万元； ②当x≥80时，L（x）=1200-（x+当且仅当x=
）≤1200-2
=1200-200=1000，
，即x=100时，L（x）取得最大值L（100）=1000万元．
综合①②，由于950＜1000，
∴年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．
2
【解析】（1）分两种情况进行研究，当0＜x＜80时，投入成本为C（x）= x+10x（万
元），根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，当x≥80时，投入成本为C（x）=51x+
-1450，根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的
形式，从而得到答案；
（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当0＜x＜80时，利用二次函数求最值，当x≥80时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案． 本题考查学生根据实际问题选择合适的函数类型的能力，以及运用基本不等式求最值的能力．
21.【答案】解：（1）由不等式f（x）＞0的解集为（-3，1）可得：方程ax2+（b-2）x+3=0的两根为-3，1且a＜0
由根与系数的关系可得：
解得： ．
2
（2）当b=-a，不等式f（x）≤1即ax-（a+2）x+2≤0，（a≠0）． 即（ax-2）（x-1）≤0，（a≠0）．
①a＜0时，不等式可化为 ， ＜ ，所以 或 ． ②a＞0时，原不等式可化为 ． ∴当0＜a＜2时， ＜ ，所以 ．
2
当a=2时，原不等式可化为（x-1）≤0，所以x=1．
当a＞2时， ＞ ，所以 ．
综上：当a＜0时，原不等式的解集为 或 ． 当0＜a＜2时，原不等式的解集为 ． 当a=2时，原不等式的解集为{x|x=1}． 当a＞2时，原不等式的解集为 ．
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2
【解析】（1）一元二次不等式解集为（-3，1），则-3，1即为方程ax+（b-2）x+3=0的两实根，由根与系数的关系可得a，b的值．
2
（2）当b=-a，不等式f（x）≤1即ax-（a+2）x+2≤0，（a≠0）．即（ax-2）（x-1）≤0，（a≠0）．先看二次项系数，分a＜0，a＞0两种情况；
当a＞0时，再比较两个根为1和 的大小关系，分别求出解集即可．
本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，含参数的一元二次不等式的解法，注意数形结合和分类讨论的思想方法的运用，属于中档题． 22.【答案】解：（1）Sn=n2-2n+1， 当n=1时，a1=S1=0；
22
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n-2n+1-（n-1）-2（n-1）-1=2n-3， ； 则an=
∈
n
（2）假设存在实数μ，使得数列{3•bn+μ}是等比数列，
数列{bn}中，b1= ，对任意正整数 ， ．
n-1n
可得b1= ，且3•3•bn-1+3•bn=1， nn-1
由假设可得3•bn+μ=-3（3•bn-1+μ），
则-4μ=1，可得μ=- ，
n
可得存在实数μ=- ，使得数列{3•bn+μ}是公比q=-3的等比数列； nn-1n-1
（3）由（2）可得3•bn- =（3b1- ）•（-3）= •（-3）， nn-1
则bn= •（ ）+ •（-1），
nn-1
则前n项和Tn=[ + +…+ •（ ）]+（ - +…+ •（-1）]，
当n为偶数时，T=当n为奇数时，T=
n n
+0=（1- ）；
+ = （1- ）+ =- ，
．
则
Tn=
， 为奇数
， 为偶数
【解析】（1）由数列的递推式：当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1，计算可得所求通项公式；
n
（2）假设存在实数μ，使得数列{3•bn+μ}是等比数列，求得b1，再由任意正整数 ， ，构造等比数列{3n•bn+μ}，解方程可得μ，即可判断存在性；
nn-1
（3）由等比数列的通项公式可得bn= •（ ）+ •（-1），再由数列的分组求和，结
合等比数列的求和公式，讨论n为奇数或偶数，即可得到所求和．
本题考查数列的递推式的运用：求通项公式，考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查分类讨论思想和构造数列法，考查化简运算能力，属于中档题．
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