初二数学期中必背考点清单

初二数学期中必背考点清单

第十二章《二次根式》 考点一：二次根式的概念

【知识要点】

二次根式的定义：形如a(a0)的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，a才有意义． 【典型例题】

【例1】下列各式1）

11,2)5,3)x22,4)4,5)()2,6)1a,7)a22a1， 53其中是二次根式的是_________（填序号）．

【例2】若式子1有意义，则x的取值范围是 ． x3 【例3】若y=x5+5x+2011，则x+y=

【例4若7-3的整数部分是a，小数部分是b，则3ab 。

考点二：二次根式的性质

【知识要点】

1.非负性：a(a0)是一个非负数．注意：此性质要记住，后面根式运算中经常用到． 2. (a)2aa(0)．注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a(a)2(a0) 3. a2|a|a(a0) 注意：（1）字母不一定是正数；（2）能开得尽方

a(a0)的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替；（3）可移到根号内的

因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．

a(a0))2aa(0)的区别与联系 4. 公式a与(a|a|a(a0)2 （1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数．

（2）(a)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数． （3）a2和(a)2的运算结果都是非负的． 【典型例题】

a2b3c40，abc【例5】若则 ．

（公式(a)2a(a0)的运用）

2【例6】 化简：a1(a3)的结果为（ ）

2A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4

（公式a2aa(a0)的应用）

a(a0)【例7】已知x2,则化简x24x4的结果是（ ） A、x2

练习：

B、x2

C、x2

D、2x

1、把二次根式a A. a

1化简，正确的结果是（ ） a B. a C. a

D. a

2、把根号外的因式移到根号内： (a1)1＝ 。 1a考点三：最简二次根式和同类二次根式

【知识要点】

1、最简二次根式：

（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号． 2、同类二次根式（可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 【典型例题】

【例8】在根式1) a2b2;2)x;3)x2xy;4)27abc，最简二次根式是5（ ）

A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4) 解题思路：掌握最简二次根式的条件。 【例9】下列根式中能与3是合并的是( )

A.8 B. 27 C.25 D.

1 2考点四：二次根式计算——分母有理化

【知识要点】

1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用aaa来确定，如：a与a，ab与ab，ab与ab等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ab与ab，ab与ab，axby与axby分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤：

①先将分子、分母化成最简二次根式；

②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【典型例题】

【例10】 把下列各式分母有理化

12x2（1） （2） （3） 348218xy

考点五：二次根式计算——二次根式的乘除

【知识要点】

1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方

根的积。 ab=a·b（a≥0，b≥0） 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

a·b＝ab．（a≥0，b≥0） 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根

aa=（a≥0，b>0） bb4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

aa=（a≥0，b>0） bb注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右

边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． 【典型例题】 【例11】化简

(1)916 (2) 5215 (3)9x2y2(x0,y0) (4) 623

1×2考点六：二次根式计算——二次根式的加减

【知识要点】

需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。

注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数． 【典型例题】

【例12】计算（1）32

54313 （2）105220457245；

117520.53 527

（3）324

考点七：二次根式计算——二次根式的混合计算与求值

【知识要点】

1、确定运算顺序； 2、灵活运用运算定律； 3、正确使用乘法公式；

4、大多数分母有理化要及时； 5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化； 【典型例题】【例13】

2233bab)31、ab5( 2、 ●(212 +4b2a2 348 )

考点八：根式比较大小

【知识要点】

1、根式变形法 当a0,b0时，①如果ab，则ab；②如果ab，则ab。

2、平方法 当a0,b0时，①如果a2b2，则ab；②如果a2b2，则

1

－8

91117534； 8532ab。

3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 5、倒数法

6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①ab0ab；

②ab0ab

8、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①

a1ab； ②ba1ab b【典型例题】

【例14】 比较35与53的大小。（用两种方法解答）

21【例15】比较与的大小。

3121

【例16】比较1514与1413的大小。

第九章《中心对称图形—平行四边形》

一．图形旋转

1．图形旋转的有关概念：图形的旋转、旋转中心、旋转角；

在平面内,将一个图形绕一个定点转动一定的角度,这样的图形运动称为图形的旋转。这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。

注意点：旋转角通常与旋转方向有关，因此在写旋转角时通常要说明旋转方向。

2．旋转图形的性质：

（1）旋转前、后的图形全等。

（2）对应点到旋转中心的距离相等。

（3）每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等。 二．中心对称

1．中心对称的有关概念：中心对称、对称中心、对称点

把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。 2．中心对称的基本性质：

（1）成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。

（2）成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 三．中心对称图形

1．中心对称图形的有关概念：中心对称图形、对称中心

把一个平面图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点就是它的对称中心。 2．中心对称与中心对称图形的区别与联系

如果将成中心对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形沿着过对称中心任一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。

3．图形的平移、轴对称（折叠）、中心对称（旋转）的对比 图形的平移 轴对称（图形） 中心对称（图形） 对称轴——直线 对称中心——点

图形沿某方向平移一定距图形沿对称轴对折（翻折图形绕对称中心旋转离 180°）后重合 180°后重合 对应点的连线平行或在同对称点的连线被对称轴垂对称点连线经过对称中一直线上，对应点的连线段直平分 心，且被对称中心平分 相等。 对称： ①点(x，y)关于横轴(x轴)的对称点为(x，-y)； ②点(x，y)关于纵轴(y轴)的对称点为(-x，y)；

③点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(-x，-y)

例：点P(3，-5)关于x轴对称点坐标 ( ) A．(-3，-5) B．(5，3) C．(-3，5) D．(3，5) 点P(-2，1)关于y轴对称的点坐标 ( ) A．(-2，-1) B．(2，1) C．(2，-1) D．(-2，1)

在平面直角坐标系中，点P(2，-3)关于原点对称点P′的坐标是_______

三、平行四边形 1、平行四边形的定义：

叫做平行四边形。 2、平行四边形的性质

（1）边： ；（2）角： （3）对角线： ；（4）平行四边形是 对称图形。

3、平行四边形的判定

（1） 的四边形是平行四边形 （2） 的四边形是平行四边形 （3） 的四边形是平行四边形 （4） 的四边形是平行四边形 4、平行四边形的面积：S平行四边形= = 四、矩形

1、矩形的定义： 叫做矩形。 2、矩形的性质

（1）边： ；（2）角： （3）对角线： ；（4）矩形是 对称图形。

3、矩形的判定

（1） 的平行四边形是矩形 （2） 的平行四边形是矩形 （3） 的四边形是矩形 4、矩形的面积：S矩形= = 五、菱形

1、菱形的定义： 叫做菱形 2、菱形的性质

（1）边： ；（2）角： （3）对角线： ；（4）菱形是 对称图形。

3、菱形的判定

（1） 的平行四边形是菱形 （2） 的平行四边形是菱形 （3） 的四边形是菱形

4、菱形的面积：S菱形= = 六、正方形

1、正方形的定义： 叫做正方形。 2、正方形的性质

（1）边： ；（2）角： （3）对角线： ；（4）正方形是 对称图形。

3、正方形的判定：

① 的平行四边形是正方形； ② 的矩形是正方形； ③ 的菱形是正方形。 4、正方形的面积：

设正方形边长为a，对角线长为b ，S正方形= = 五、三角形梯形的中位线 1.三角形的中位线：

定义： 叫做三角形的中位线。 性质： 2.梯形的中位线：

定义： 的中位线。 性质： 3.中点四边形：

顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是 ；

顺次连接对角线相等的四边形（如： 、 ）四边中点所得的四边形是 ；

顺次连接对角线互相垂直的四边形（如： ）四边中点所得的四边形是 ；

顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的四边形是 ；

六、平行四边形知识结构及知识点 1、知识结构

2、对称性：

① 平行四边形是中心对称图形，其对称中心是两条对角线的交点； ② 等腰梯形是轴对称图形，其对称轴是过上、下两底的中点的直线； ③ 矩形、菱形、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形。 3、与面积有关定理：

① 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

② 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

③ 平行四边形的面积公式：S = 底高；菱形的面积公式：S = 两条对角线积的一半。

④ 梯形的面积公式：S =（上底+下底）高2 = 中位线长高 4、注意：

⑴ 四边形中常见的基本图形

⑵梯形问题中辅助线的常用方法(目的：转化为三角形和平行四边形或构造全等三角形)

例1 如图，图中有ABC及ABC外一点O，画出一个三角形ABC使

ABC与ABC关于O点成中心对称．

例2 观察下面的图形哪些是中心对称图形，哪些不是中心对称图形？

例3 （济南市，2001）如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一颗大核桃树. 田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四

边形形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由（画图要保留痕迹，不写画法）

例4 下列几组几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形，完全正确的一组是（ ）．

A．正方形、菱形、矩形、平行四边形

B．正三角形、正方形、菱形、矩形

C．正方形、矩形、菱形

D．平行四边形、正方形、等腰三角形

例5 如图，已知：四边形ABCD关于O点成中心对称图形.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

例6 如图，已知：矩形ABCD和ABCD关于点A对称. 求证：四边形BDBD是菱形.

例6（2015广东）如题21图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延

长交BC于点G，连接AG.

(1)求证：△ABG≌△AFG；(2)求BG的长.

练习：1.（2015年呼和浩特）分)如图， 交于点O，AE=CF.

(1)求证：△BOE ≌△DOF ;

ABCD的对角线AC、BD相

(2)若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，无需说明理由.

AEDBOFC练习：2.（2015年株洲）P表示n边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么P与n的关系式是：

Pn(n1)24•(n2anb) (其中，a,b是常数，n4)

（1）填空：通过画图可得：

四边形时，P＝ (填数字)，五边形时，P＝ (填数字) （2）请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a,b的值。

（注：本题的多边形均指凸多边形）

第十章《分式》 分式考点

1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子

AB叫做分式。

2.分式有意义、无意义的条件：

分式有意义的条件：分式的分母不等于0；分式无意义的条件：分式的分母等于0。

3.分式值为零的条件：

A

分式 =0的条件是A＝0，且B≠0.

B

（首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0.当分母的值不为0时，就是所要求的字母的值。） 4.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，

AACAAC分式的值不变。 BBCBBC用式子表示为 （其中A、B、C是整式

C0），

5.分式的通分：

和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点：

（1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最大的；

（2）如果各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数；

（3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。 6.分式的约分：

和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。 约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。

（1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分； （2）找公因式的方法：

① 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；

②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。 7.分式的运算：

分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

acacacadad

; 用式子表示是： bdbdbdbcbc

分式的乘除混合运算统一为乘法运算。

①分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；

②分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符号；

③分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或整式的形式。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。 anan()n用式子表示是： （其中n是正整数） bb分式的加减法则：

ac

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。用式子表示为： ± ＝

bb

a±c

b

异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。

acadbcad±bc

用式子表示为： ± ＝ ± ＝

bdbdbdbd

注意：（1）“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括号可以省略；

（2）异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性；

（3）运算时顺序合理、步骤清晰；

（4）运算结果必须化成最简分式或整式。 分式的混合运算:

分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。 8. 整数指数幂：

9. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。

去分母 分式方程的解法：

（1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程 －－－－－→ 整式方程. 转化 （2）解分式方程的一般方法和步骤：

①去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基本性质； ②解这个整式方程；

③检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于0的解是原方程的解，使最简公分母等于0的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。

注意：① 去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项；

② 解分式方程必须要验根，千万不要忘了！ 列分式方程解应用题的步骤是：

(1)审：审清题意；(2)找: 找出相等关系；(3)设：设未知数；(4)列：列出分式方程；(5)解：解这个分式方程；(6)验：既要检验根是否是所列分式方程的解，又要检验根是否符合题意；(7)答：写出答案。

10.科学记数法：把一个数表示成a10n的形式（其中1a10，n是整数）的记数方法叫做科学记数法．

用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a×10n的形式,其中1≤︱a︱＜10,n为原整数部分的位数减1；

用科学记数法表示绝对值小于1的数时,则可表示为a×10－n的形式，其中n为原数第1个不为0的数字前面所有0的个数(包括小数点前面的那个0)，1≤︱a︱＜10.

分式典型例题

（一）、分式定义及有关题型

题型一：考查分式的定义

1x1abx2y2xy【例1】下列代数式中：,xy,，是分式的有： ,,2xyxyab .

题型二：考查分式有意义的条件

【例2】当x有何值时，下列分式有意义

（1）

x4x4

（2）

3xx22 （3）

2x21 （4）

16x （5）

1|x|3xx题型三：考查分式的值为0的条件

【例3】当x取何值时，下列分式的值为0.

（1）

x1 x3（2）

|x|2x42 （3）

x22x3x5x62

题型四：考查分式的值为正、负的条件

【例4】（1）当x为何值时，分式

（2）当x为何值时，分式（3）当x为何值时，分式

48x为正； 为负；

5x3(x1)2x2x3

为非负数.

（二）分式的基本性质及有关题型

题型一：化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.

12xy3 （1）211xy34（2）

0.2a0.03b

0.04ab题型二：分式的系数变号

【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

（1）

xy xy （2）aab （3）ab

题型三：化简求值题

【例3】已知：1x12x3xy2y的值. 5，求

yx2xyy1x1. y提示：整体代入，①xy5xy，②转化出（三）分式的运算

题型一：通分

【例1】将下列各式分别通分. （1）

abcba,； （2）； ,2,2ab2b2a2ab3ac5bc

（3）

12xx12xx,x2,2xx22； （4）a2,12a

题型二：约分

【例2】约分： （1）

16x2y20xy3x2x2n2m2；（3）；（3）2.

mnxx6题型三：分式的混合运算

【例3】计算：

a2b3c22bc4（1）()()()；

caba3a33yx2()(x2y2)()； xyyxm2nn2m（3）

nmmnnm （2）

；

a2（4）a1；

a11x22x（5）(2)()

x1x4x4x2x24

题型四：化简求值题

【例4】先化简后求值

2x（1）211，其中x21；

x1x1xyzxy2yz3xz（2）已知：，求222的值；

234xyz（3）已知：a23a10，试求(a2题型五：求待定字母的值

【例5】若

13xx211)(a)的值.

aa21MN，试求M,N的值. x1x1（四）整数指数幂与科学记数法

题型一：运用整数指数幂计算

【例1】计算：（1）(a2)3(bc1)3 （3）[(ab)3(ab)5(ab)2(ab)2] 4 （2）(3x3y2z1)2(5xy2z3)2

（4）[(xy)3(xy)2]2(xy)6

题型二：化简求值题

【例2】已知xx15，求（1）x2x2的值；（2）求x4x4的值. 题型三：科学记数法的计算

【例3】计算：（1）(3103)(8.2102)2；（2）(4103)2(2102)3.

（五）化为一元一次的分式方程

题型一：分式方程的概念

【例1】下列方程：①

x－3

31＋x1x2

＝1，②＝2，③＝，④＋＝5.其中5x5＋x22x是分式方程的有( )．

A．①② B．②③ C．③④ D．②③④

分式方程与整式方程的区别 从分式方程的定义可以看出分式方程有两个重要特征：一是方程；二是分母中含未知数．因此整式方程和分式方程的根本区别就在于分母中是否含未知数． 题型二：解分式方程

【例2】 解下列方程： (1)

736x5＋＝； (2)－1＝. x2＋xx2－xx2－12x－55－2x(2)解技巧 分式方程验根的方法 把解得的未知数的值代入最简公分

母较为简捷，但是不能检查解方程的过程中出现的计算错误，我们可以采用另一种验根的方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以检查解方程时有无计算错误． 题型三：分式方程的增根问题

【例3】

1.已知：关于x的方程12.已知关于x的方程

ax4无解，求a的值。 x33xxa1的根是正数，求a的取值范围。 x21x23.若分式与的2倍互为相反数，则所列方程为

x2x3______________；

mxx14.当m为何值时，关于x的方程2的解为负

xx2x1x2数？

（六）分式的应用题

题型一：工程问题：

课前练习：

1：一项工程，甲需x小时完成，乙需y小时完成，则两人一起完成这项工程需要______ 小时。

2：小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等。设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（ ）

120180120180120180120180A B C D x6xx6xxx6xx6

3：某工程需要在规定日期内完成,如果甲工程队独做,恰好如期完成; 如果乙工作队独做,则超过规定日期3天,现在甲、乙两队合作2天,剩下的由乙队独做,恰好在规定日期完成,求规定日期.如果设规定日期为x天,下面所列方程中错误的是( )

1x22x23121; A.; C.1; B.x3xx3xx3xx31xD.1 xx34：一件工程甲单独做a小时完成，乙单独做b小时完成，甲、乙二人合作完

11

成此项工作需要的小时数是（ ）．（A）ab （B） （C）

ab

1ab （D） abab5：赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21页才能在借期内读完.他读了前一半时,平均每天读多少页?如果设读前一半时,平均每天读x页,则下列方程中,正确的是（ ）

1401402802801010A、14 B、14 B、1 D、

xx21xx21xx2114014014 xx216：某煤厂原计划x天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为（ ） 120120120120120120A 3 B 3 C 3 D x2xxx2x2x1201203 xx27：某工地调来72人参加挖土和运土工作，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，问怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工？要解决此

72x1x；②72x；③x3x72；问题，可设派x人挖土．列方程①x33x3． ④

72x8：八（1）、（2）两班同学参加绿化祖国植树活动，已知八（1）班每小时比八（2）班多种2棵树，八（1）班种66棵树所用时间与八（2）班种60棵树所用时间相同，求：八（1）、八（2）两班每小时各种几棵树？

【例1】某一一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能完成，如果乙独做就要超过日期3天，现在甲、乙两人合做2天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在规定的日期完成，问规定日期是几天？

题型二：与价格有关的问题： 课前练习：

1：“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设参加游览的同学共x人，则所列方程为 （ ）

180180180180180180A．3 B．3 C．3

xx2x2xxx2180180D．3

x2x2：用价值100元的甲种涂料与价值240元的乙种涂料配制成一种新涂料，其每千克售价比甲种涂料每千克售价少3元，比乙种涂料每千克的售价多1元，求这种新涂料每千克的售价是多少元？若设这种新涂料每千克的售价为x元，•则根据题意可列方程为________．

3：某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人150人，甲、乙两种工种的工人的月工资分别为600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的2倍，问甲、乙同种工种各招聘多少人时，可使得每月所付的工资最少？

4：北京奥运“祥云”火炬2008年5月7日在羊城传递，熊熊燃烧的奥运圣火将在羊城传递和平、友谊、进步的“和平之旅”，广州市民万众喜迎奥运。某商厦用8万元购进奥运纪念运动休闲衫，面市后供不应求，商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种运动休闲衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，请问在这两笔生意中，商厦共赢利多少元？

【例2】为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次捐款人数多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。那么这两次各有多少人进行捐款？

题型三：顺水逆水问题：

课前练习：

1：A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）

48484848489 B、9 C、49 D、 A、

x4x44x4xx96969 x4x42：一只船顺流航行90km与逆流航行60km所用的时间相等，若水流速度是2km/h，求船在静水中的速度，设船在静水中速度为xkm/h，则可列方程（ ）

9060906090606090A、x2=x2 B、x2=x2 C、x+3=x D、x+3=x

【例3】轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相同，已知水流速度是每小时3千米，求轮船在静水中的速度。

题型四：行程问题：

课前练习：

1：在一段坡路，小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米，下坡时的速度为每小时V2千米，则他在这段路上、下坡的平均速度是每小时（ ） A、

vv2vvv1v2千米 B、12千米 C、12千米 D、无法

v1v2v1v22确定

2：甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时甲追上乙．那么甲的速度是乙的速度的（ ）

abbbabaＡ．倍 Ｂ．倍 Ｃ．倍 Ｄ．倍

babbaba3：八年级A、B两班学生去距学校4.5千米的石湖公园游玩，A班学生步行出发半小时后，B班学生骑自行车开始出发，结果两班学生同时到达石湖公园，如果骑自行车的速度是步行速度的3倍，求步行和骑自行车的速度各是多少千米/小时？

4：A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度。

【例4】甲、乙两火车站相距1280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度。

题型五：数字问题： 课前练习：

1：一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加1,则这个分数等于

1,求4这个分数.

2：一个两位数，个位数字是2，如果把十位数字与个位数字对调，所得到的新的两位数与原来的两位数之比是4：7，求原来的两位数。

3：一个分数的分母加上5，分子加上4，其结果仍是原来的分数，求这个分数。

【例5】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字小2，个位上的数字加上8以后去除这个两位数时，所得到的商是2，求这个两位数。

《二次根式》参考答案

例1.1），3），6）；例2.x3；例3.2016；例4.632；例5.3；例6.C；例7.D；练习１.B；２.1a；例８.C；例９.B；例10.(1)y3,(2),(3)22；例11.（1）12；（2）103；（3）3xy；（4）122xy433,(2)5,(3)32；例13.（1）a2bab,(2)286；32《平行四边形》参考答案

6.例12.(1)32例14.；例15.；例16.。

例1 分析 根据中心对称的意义，点A在AO的延长线上，并且

点B在BO的延长线上，并且BOBO，点C在CO的延长线上，AOAO，

并且COCO.

作图 （1）连结AO并延长AO到A，使AOAO．

（2）分别连结BO、CO，延长BO到B，延长CO到C，使BOBO,COCO. （3）依次连结AB,BC,CA，则ABC与ABC关于O点成中心对称． 说明：此时下图是一幅以O为对称中心的中心对称图形．

例2 分析 图形（1）、（4）是中心对称图形，这两个图形绕着中心旋转180°后与原来的图形重合，图形（2）、（3）不是中心对称图形，图形（2）的形状虽然能重合，但其中的黑框位置变了，图形（3）旋转后图形与原来的图形不重合．

例3 分析：这是一道考查学生动手作图的能力设计题. 题中要求扩建后的池塘：面积扩大一倍，形状成平行四边形，且核桃树不动.

这样的图形设计方案，只能连结AC与BD交于O点，将原池塘分割成四块，分别以AB、BC、CD、DA为对角线，向外作AOBE、BOCF、CODG、DOAH.

连结EF、FG、GH、HE，就可得到EFGH.

如图，依据中心对称图形的性质，其设计合乎题设要求.

例4 分析 A中平行四边形不是轴对称图形，B中正三角形不是中心对称图形，D中平行四

边形不是轴对称图形．正选C．

解答 本题主要考查轴对称和中心对称图形的判定，易错点是弄错图形的对称性，解题关键是要熟悉所学过的图形的对称性．

例5 分析：因为四边形ABCD是中心对称图形，所以A点与C点，B点与D点是对称点. 所以线段AC过O点，线段BD也过O点，且两条线段都被O点平分，故四边形ABCD是平行四边形.

证明：连结AC、BD.

∵ 四边形ABCD关于O点成中心对称图形，

∴ O点在AC上，也在BD上，并且OAOC,OBOD

∴ 四边形ABCD是平行四边形.

说明：要应用轴对称或中心对称解决问题，应该判断清楚图形的对称的特点，找到对称点.

例6 分析：根据题意知点B与B关于点A对称，点D和点D关于点A对称，又四边形ABCD和ABCD是矩形，由中心对称的性质及矩形的性质即可证明.

证明：∵矩形ABCD和ABCD关于点A成中心对称图形.

∴ ADAD，ABAB（关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分）. ∴ 四边形BDBD是平行四边形.

又∵四边形ABCD是矩形，∴DAB90，∴四边形BDBD是菱形. 例7 【解析】(1) ∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AD=AB，

由折叠的性质可知：AD=AF，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFG=90°，AB=AF，

∴∠AFG=∠B，又AG=AG，∴△ABG≌△AFG； (2) ∵△ABG≌△AFG，∴BG=FG，设BG=FG=x，则GC=6x,

∵E为CD的中点，∴CF=EF=DE=3，∴EG=x3，∴

32(6x)2(x3)2，

解得x2，∴BG=2.

练习1. (1)证明：∵ABCD ∴BO=DO,AO=OC ∵AE=CF

∴AO－AE=OC－CF 即：OE=OF

在△BOE和△DOF中，

OBOD BOEDOFOEOFBOEADFC∴△BOE≌△DOF（SAS） ……………………4分

（2）矩形 …

练习2. 本题考点：待定系数法求出a,b，二元一次方程组 （1）由画图可得，当n4时，P1 当n5时，P5 （2）将上述值代入公式可得：

4(41)(164ab)1①4ab14a524化简得：解之得： 5ab19b65(51)(255ab)5②24《分式》参考答案

（一）、分式定义及有关题型：

1abx2y2xy,,例1. ；例2.（1）x4，（2）一切实数；（3）x1；abxyxy（4）x3；（4）x0,1,1；例3.（1）x1；（2）不可能为0；（3）

x1。例4.（1）x8；（2）x5；（3）x2或x3；

（二）分式的基本性质及有关题型

6x8yxyaa20a3b,(2),(3)；例3.1. 例1.（1）；（2）；例2.(1)4x3yxyabb4a100b（三）分式的运算

15abc210b36a32ab,,,例1.（1）；（2）；（3）22222230abc30abc30abc2(ab)2(ab)(x1)(x2),

x(x1)2(x2)x2(x2)a2412x(x1),，；（4）.例2.（1）

x(x1)2(x2)a2a2x(x1)2(x2)a827a914xx1,(3)1,(4),(5)x；,(2)(mn);（3）；例3.（1）33,(2)bcxya15yx3例4.（1）

x226111,；（2）；（3）a3,(a)(a)23515；x1229aaa例5.M2,N1；

（四）整数指数幂与科学记数法

a6b325z8(ab)14xy,(4)例1.（1）3,(2)48,(3)；例2.（1）23；（2）527；

c9xy(ab)14(xy)4例3.（1）20.172105,(2)2。

（五）化为一元一次的分式方程

例1.D；例2.（1）x1（增根）；（2）x10（增根）；例3.（1）.a1； （2）. 解：去分母，得x+a=2﹣x，解得：x=1﹣，∵x＞0，∴1﹣＞0，∴a＜2，且x≠2，

∴a≠﹣2，∴a＜2且a≠﹣2．（3）（六）分式的应用题 题型一：工程问题：

课前练习：

xy1—6.；CCDDD；7.③；8.八（1）22棵/小时，八（2）20棵/小时；例

xy1.6天。

题型二：与价格有关的问题： 课前练习：

12(x2)0；（4）m1,且m3。 x2x3

100240100240； x3x1x3. 解：设招聘甲工种工人x人，则乙工种工人（150﹣x）人，每月所付的工资为y元，则y=600x+1000（150﹣x）=﹣400x+150000，∵（150﹣x）≥2x，x≤50，∵﹣400＜0，

∴y随x的增大而减小，∴当x=50时，y最小=﹣400×50+150000=130000元． 答：招聘甲50人，乙100人时，可使得每月所付的工资最少；最少工资130000元．

4. 解：设第一批购进x件衬衫，则第二批购进了2x件，依题意可得：

1.D；2.

，

解得x=2000．经检验x=2000是方程的解，故第一批购进衬衫2000件，第二批购进了4000件． 又设这笔生意盈利y元，可列方程为：y+80000+176000=58（2000+4000﹣150）+80%×58×150，

解得y=90260．答：在这两笔生意中，商厦共盈利90260元．

例2. 解：设第一次有x人捐款，那么第二次有（x+20）人捐款，由题意得：

=

，

解得：x=480．经经验，x=480是原方程的解．当x=480时，x+20=480+20=500． 答：第一次有480人捐款，那么第二次有500人捐款． 题型三：顺水逆水问题： 课前练习：

1.A；2.A；3. 解：设水流的速度为x千米/时．经检验x=

是原方程的解．答：水流速度为

=

，解得x=

，

千米/时．

题型四：行程问题：

课前练习：

1.C；2.C；3. 解：设甲组速度为xkm/小时，则乙组速度为3xKm/小时．列方程：

．

解得：x=6．经检验：x=6是方程的解．∴3x=18．

答：步行速度为6km/小时，骑自行车的速度为18km/小时．

4. 解：设公共汽车的速度为x公里/小时，则小汽车的速度是3x公里/小时．依题意，得

，解得：x=20．经检验x=20是原方程的根，且符合题意．∴3x=60．

答：公共汽车和小汽车的速度分别是20公里/时，60公里/时．

例4. 解：设列车提速前的速度为x千米/时，则提速后的速度为3.2x千米/时．根据题意得：

．解这个方程得：x=80．经检验；x=80

是所列方程的根．∴80×3.2=256（千米/时）．答：列车提速后的速度为256千米/时． 题型五：数字问题：

课前练习：

1. 解：设这个分数的分子为x，则这个分数的分母为x+6，依题意得：

解得 x=1，经检验，x=1是原方程的解，分母为1+6=7，答：这个分数为：． 2.42；3.4/5；例5. 设个位数是x,则十位上的数是x-2,这个十位数是10*（x-2)+x=11x-20.

由题意：2（x+8）=11x-20,即：9x=36，x=4,这个是十位数是：11x-20=11*4-20=24。