变力做功的计算方法 方法 应用动能定理 以例说法 用力F把小球从A处缓慢拉到B处，F做功为WF，则有： WF－mgl(1－cosθ)＝0，得WF＝mgl(1－cosθ) 质量为m的木块在水平面内做圆周运动，运动一周克服摩擦力做功 Wf＝f·Δx1＋f·Δx2＋f·Δx3＋…＝f(Δx1＋Δx2＋Δx3＋…)＝f·2πR 弹簧由伸长x1被继续拉至伸长x2的过程中，克服弹力做功 平均力法 kx1＋kx2W＝·(x2－x1) 2一水平拉力F0拉着一物体在水平面上运动的位移为x0，图线与横轴所围面积表示拉力所做的功， W＝F0x0 恒定功率运动时，牵引力做功WF=Pt 转换研究对象，将变力做功转化为恒力做功 微元法 图象法 功率法 等效转换法
例1、 (2015·海南单科)如图6，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高，质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为( )
1
A.mgR 4
11B.mgR C.mgR 32
D.
π
mgR 4
例2、如图所示，有一台小型石磨，某人用大小恒为F，方向始终与磨杆垂直的力推磨。假设施力点到固定转轴的距离为L，在使磨转动一周的过程中，推力做功
例3、一辆汽车质量为800kg，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车
2
前进的距离变化关系为：F=100x+f0，f0是车所受的阻力。当车前进20m时，牵引力做的功是 （g=10m/s） 例4、一物体所受的力F随位移x变化的图象如图7所示，求在这一过程中，力F对物体做的功为( )
A．3J B．6J C．7J D．8J 例5、质量为4000kg的汽车，由静止开始以恒定的功率前进，它经100/3s的时间前进425m，这时候它达到最大速度15m/s。假设汽车在前进中所受阻力不变，求阻力为多大？
例6、如图所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑平面上的物体，开始时与物体相连的绳和水平面间的夹角是α，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为β。已知图中的高度h，求绳的拉力FT对物体所做的功，绳的质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦不计． x0 F O • 课堂练习 x F 图甲 1、静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x
F轴方向运动（如图甲所示），拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系（如
图乙所示），图线为半圆。则小物块运动到x0的过程中拉力做功为 （ ） A．0 B．Fx0/2 C．πFx0/4 D．πFx0/2
x0 O x
图乙
2、某物体同时受到两个在同一直线上的力F1、F2的作用，由静止开始做直线运动，力F1、F2与位移x的关系图象如图所示，在物体开始运动后的前4.0 m内，物体具有最大动能是多少？物体开始运动4.0 m的动能是多少？
3、子弹以速度v0射入墙壁，入射深度为h。若子弹在墙中受到的阻力与深度成正比，欲使子弹的入射深度为2h，求子弹的入射速度应增大到多少？
a 4、如图所示，面积很大的水池，水深为H水面浮着一正方体木块，木块边长为a，密度为水的一半，质量为m，开始时，木块静止，现用力F将木块缓慢往下压，求从开始到木块刚好完全没入水中的过程中，力F所做的功。
H
5、用大小不变、方向始终与物体运动方向一致的力F，将质量为m的小物体沿半径为R的固定圆弧轨道从A点推到B点，圆弧AB对应的圆心角为60°，如图所示，则在此过程中力F对物体做的功为________，若将推力改为水平恒力F，则此过程中力F对物体做的功为__________。 6、如图所示，一质量为m=2.0kg的物体从半径R=5.0m的圆弧的A端，在拉力作用下沿圆弧缓慢运动到B端（圆弧AB在竖直平面内），拉力F大小不变始终为15N，方向始终与物体在该点的切线成37度角，圆弧所对应的圆心角为60度，BO边为竖直方向，求这一过程中：（1）拉力F做的功（2）重力G做的功（3）圆弧面对物体的支持力FN做的功（4）圆弧面对物体的摩擦力Ff做的功
7、质量为m的小球，用长为L的轻绳悬挂于O点，小球在水平拉力F作用下，从最低位置P点很缓慢地移动到Q点如图所示，轻绳与竖直方向的夹角为θ。则力F所做的功为（ ）
A．mgLcosθ B．mgL（1- cosθ） C．FLsinθ D．FLcosθ
8、如图所示，用竖直向下的恒力F通过跨过光滑定滑轮的细线拉动光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A、B、C三点，设AB=BC，物体经过A、B、C三点时的动能分别为EkA，EkB，EkC，则它们间的关系一定是（ ）
A．EkB-EkA＝EkC-EkB B．EkB-EkA＜EkC-EkB C．EkB-EkA＞EkC-EkB D．EkC＜2EkB
9、一辆汽车在平直公路上从速度v0开始加速行驶，经时间t后，前进了距离S，此时恰好达到其最大速度vm。设此过程中发动机始终以额定功率P工作，汽车所受阻力恒为Ff则在这段时间里，发动机所做的功为（ ）
A．FS B．Pt C．mvm2/2+FfS-mv02/2 D．Ff(vm+v0)/2
10、质量500t的机车，以恒定输出功率从静止出发，经5min行驶2250m后，速度达最大值15m/s，求机车所受阻力的阻力。
11、如图所示，一质量均匀的不可伸长的绳索重为G，A、B两端固定在天花板上，今在最低点C施加一竖直向下的力将绳拉至D点，在此过程中，绳索AB的重心位置将（ ）
A．逐渐升高 B．逐渐降低 C．先降低后升高 D．始终不变
12、如图所示，人用跨过光滑滑轮的细绳牵拉静止于光滑水平平台上的质量为m的滑块，从绳竖直的位置到绳与水平方向夹角为30°的过程中，人始终以速度v0匀速走动，则在这个过程中人拉重物做的功为（ ）
A．mv02/8 B．3mv02/8 C．mv02/2 D．3mv02/4
13、如图所示，在竖直平面内，轨道ABC关于B点对称，且A、B、C三点在同一水平线上。若小滑块第一次由A滑到C，所用时间为t1，到达C点速度为v1，第二次由C滑到A，所用时间为t2，到达A点速度为v2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着轨道滑行，小滑块与轨道间的动摩擦因素恒定，则（ ）
A．t1＜t2 B．t1＞t2 C．v1＞v2 D．v1＜v2
14、如图所示，一物块以6m/s的初速度从曲面A点下滑，运动到B点速度仍为6m/s，若物体以5m/s的初速度仍由A点下滑，则它运动到B点时的速度（ ）
A．大小5m/s B．等于5m/s C．小于5m/s D．条件不足，无法计算 15、用汽车从井下提重物，重物质量为m，定滑轮高为H，如图所示，已知汽车由A点静止开始运动至B点时速度为vB，此时轻绳与竖直方向夹角为θ。这一过程中轻绳的拉力做功多大？
巩固练习
1、一根粗细均匀的木棒竖直插入水中，若将木棒等分成n段，且第一段进入的过程中，浮力做功为W，求第n段和全部浸入的过程中，浮力分别做了多少功？
2、一质量为2kg的物体，在水平恒定拉力的作用下以一定的初速度在粗糙的水平面上做匀速运动，当运动一段时间后，拉力逐渐减小，且当拉力减小到零时，物体刚好停止运动，如图所示，给出了拉力随位移变化的关系图象。已知重力加速度g=10m/s2，由此可知（ ）
A．物体与水平面间的动摩擦因数约为0.35 B．减速过程中拉力对物体所做的功约为13J C．匀速运动时的速度约为6m/s D．减速运动的时间约为1.7s
3、一辆汽车在平直公路上从速度v0开始加速行驶，经时间t后，前进了距离S，此时恰好达到其最大速度vm。设此过程中发动机始终以额定功率P工作，汽车所受阻力恒为Ff则在这段时间里，发动机所做的功为（ ）
A．FS B．Pt C．mvm2/2+FfS-mv02/2 D．Ff(vm+v0)/2
4、如图所示，质量为m的物块与转台之间能出现的最大静摩擦力为物块重力的k倍，物块与转轴OO′相距R，物块随转台由静止开始转动，当转速增加到一定值时，物块将在转台上滑动，在物块由静止到滑动前的这一过程中，转台对物块做的功为（ ）
A．0 B．2πkmgR C．2kmgR D．kmgR/2
5、如图所示，光滑水平桌面上开一个小孔，穿一根细绳，绳一端系一个小球，另一端用力F向下拉，维持小球在水平面上做半径为R的匀速圆周运动。现缓缓地增大拉力，使圆周半径逐渐减小。当拉力变为8F时，小球做半径为R/2匀速圆周运动，则在此过程中拉力对小球所做的功是：（ ）
A．0 B．7FR/2 C．4FR D．3FR/2
6、如图所示，固定的光滑竖直杆上套着一个滑块，用轻绳系着滑块绕过光滑的定滑轮，以大小恒定的拉力F拉绳，使滑块从A点起由静止开始上升。若从A点上升至B点和从B点上升至C点的过程中拉力F做的功分别为W1、W2，滑块经B、C两点时的动能分别为EKB、EKC，图中AB=BC，则一定有（ ）
A．Wl＞W2 B．W1＜W2 C．EKB＞EKC D．EKB＜EKC
7、如图所示，一质量为m、长度为L的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂。用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距L/3。重力加速度大小为g。在此过程中，外力做的功为（ ）
A．mgL/2 B．mgL/3 C．mgL/6 D．mgL/9
8、如图所示，固定在地面上的半圆轨道直径ab水平，质点P从a点正上方高H处自由下落，经过轨道后从b点冲出竖直上抛，上升的最大高度为2H/3，空气阻力不计。当质点下落再经过轨道a点冲出时，能上升的最大高度h为（ ）
A．h＝2H/3 B．h＝H/3 C．h＜H/3 D．H/3＜h＜2H/3
9、质量为10kg的物体，在变力F作用下沿x轴做直线运动，力随坐标x的变化情况如图所示。物体在x=0处，速度为1m/s，一切摩擦不计，则物体运动到x=16m处时，速度大小为（ ）
A．2
m/s B．3m/s C．4m/s D．
m/s
10、一劲度系数k=800N/m的轻质弹簧两端分别连接着质量均为12kg的物体A、B将他们竖直静止放置在水平面上，如图所示。现将一竖直向上的变力F作用A上，使A开始向上做匀加速运动，经0.4s物体B刚要离开地面。（设整
2
个过程弹簧都在弹性限度内，取g =10m/s）求：
（1）此过程中所加外力F的最大值和最小值（2）此过程中力F所做的功
11、如图所示，一物体质量m=2kg，在倾角θ=37°的斜面上的A点以初速度v0=3m/s下滑，A点距弹簧上端B的距离AB=4m，当物体到达B后将弹簧压缩到C点，最大压缩量BC=0.2m，然后物体又被弹簧弹上去，弹到的最高位置为D点，D点距A点AD=3m，挡板及弹簧质量不计，g取10m/s2。求： （1）物体与斜面间的动摩擦因数μ （2）弹簧的最大弹性势能Epm
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