降次解一元二次方程教材详解及典例分析

【重点难点点拨】 重点：

（1）能够根据方程的特点及要求灵活运用开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法解一元二次方程；

（2）领会降次──转化的数学思想． （3）求根公式的推导和公式法的应用． 难点与关键：

（1）通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如（x+m）

2=n（n≥0）的方程．

（2）不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧． （3）一元二次方程求根公式法的推导．

（4）让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便． 【规律方法指津】

1、一元二次方程解法的选择顺序

先特殊，后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法解，不能用这两种特殊方法时，再用公式法，没有特殊要求时，一般不用配方法，因为用配方法解方程比较麻烦。

（1）对于形如mxhh的关于x的方程，应选用直接开平方法； （2）对于右边是0，且左边易于分解因式的方程，应选用因式分解法；

（3）用公式法解一元二次方程时，要先求出b4ac的值，当b4ac0时，方程有实数根，可以继续把根求出；当b4ac0时，方程没有实数根。

2、运用整体思想解方程

整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在

2222问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。整体思想在处理数学问题时有着广泛的应用。

例、用配方法解方程x12x1210. 2分析：本题可以把方程先整理成一般形式，然后用配方法求解；但观察方程的特点，也可以把x1视为一个整体，直接用配方法求解。

解：x12x1.

21212x111,221 x11,2122x2,x2.22x12∴x1222,x22. 22金钥匙：x既表示一个字母，也表示代数式。象本例中把x1视为一个字母，运用整体思想，而不必把式子展开求解。

3、转化思想的应用

转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。如本章学习的一元二次方程就是通过对方程变形，通过降次，把它转化为一元一次方程的。即：

【知识详细解读】

1：用直接开平方法解一元二次方程

对于形如xmn的一元二次方程，当n0时，因为xm是n的平方根，所以xmn，即xma或xma。这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方

2法。

说明：直接开平方法的理论依据是平方根的定义。直接开平方法适用于解形如x2b,mxabm0形式的方程，如果b0，就可以利用直接开平方法来解。

2注意：用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

拓展：由上面的解法可以看出，一元二次方程是通过降次，把一元二次方程转化为一元一次方程求解的，这是解一元二次方程的基本思想。

2、用配方法解一元二次方程 配方法解一元二次方程的步骤： （1）将方程化为一般形式；

（2）方程的两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1；

（3）移项：把常数项移到方程右边，使方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。

（4）配方：在方程的两边各加上一次项系数的一半的平方，使左边成为完全平方； （5）求解：如果方程的右边整理后是非负数，就用因式分解法或直接开平方法解之，如果右边是个负数，则指出原方程无实根。

注意：运用配方法关键是必须在把一元二次方程转化为二次项系数为1的一元二次方程的前提下，然后在方程两边同时添加的常数项等于一次项系数一半的平方。

拓展：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，利用配方法可以解任何一个一元二次方程，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用，后面我们学习的公式法也是由配方法推导出来的。学好配方法对于我们以后学习的二次函数中求顶点、对称轴等都很有帮助。

3、用公式法解一元二次方程

一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0的求根公式：

bb24acx＝

2a( b2－4 ac≥0)

我们可以利用一元二次方程的求根公式，由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.

注意：（1）一元二次方程ax2 ＋bx＋c＝0（a≠0）的根是由一元二次方程的系数a、b、c确定的．

（2）求根公式是指在b2－4ac≥0时方程有解，如果b2-4ac＜0时，则在实数范围内无实数解，渗透了一种分类的思想．

说明：由配方法推导出一元二次方程的求根公式，利用求根公式求一元二次方程的解，即公式法，大大简化了书写步骤和减小了计算量，使我们能快速、准确求出方程的解．公式法是解一元二次方程的通法，尽管配方法和公式法是解一元二次方程两个截然不同的方法，但是这两种方法有密切的联系，可以说没有配方法，就不可能有求根公式，因此就不可能有公式法的产生，配方法是公式法的基础，而公式法又是配方法的简化。

4、利用求根公式判断方程根的情况

2bb4ac一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）用配方法可将其变形为x，22a4a2因为a0，所以4a0，我们可以看出：

22（1）当b2－4ac＞0时，方程右边是一个正数，因此有x1bb4ac,x2bb4ac22a2a这样两个不相等的实数根；

（2）当b2－4ac=0时，方程右边是0，因此方程有x1x2数根；

b这样两个相等的实2a（3）当b2－4ac＜0

b不可能是一个时，方程右边是一个负数，而方程的左边x2a2负数，因此方程没有实数根.

结论：由此可知，一元二次方程ax2+bx+c＝0根的情况可由b4ac来判定，这样我们不解方程就可以判断方程根的情况.

5、用分解因式法解一元二次方程

因式分解法是解一元二次方程时经常选用的一种方法。因式分解法的基本思想和方法是：一个一元二次方程一边是0而另一边易于分解成两个一次因式的积，可以使每一个因式等于零，从而转化成一元一次方程，分别解这两个一元一次方程，得到的两个解就是原方程的解。

因式分解法解一元二次方程的一般步骤是： ①将方程的右边化为0；

②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 【典型例题感悟】

例1、已知一元二次方程x22x5，你可以用几种方法来解这个方程？ 分析：这个方程可直接用直接开平方法求解，也可把方程化成一般形式后再用配方法求解，还可以运用因式分解法求解。

解法一：方程两边直接开平方，得x22x5. 即x22x5或x22x5. ∴原方程的解是x17,x21.

解法二：将原方程变形为x8x70，

2222移项，得x8x7,

配方，得x8x474,即x49.

22222∴x43，

∴原方程的解是x17,x21.

解法三：将原方程变形为x22x50， ∴x22x5x22x50

223x3x70

∴3x30或x70， ∴原方程的解是x17,x21.

点拨：本题解法一使用的是直接开平方法。若方程能写成A2B2的形式，就可以用直接开平方法解。开平方时，别忘了一个正数的平方根有两个，且互为相反数，防止出现A=B的错误。解法二是先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再选用配方法来解，这是解一元二次方程的常规方法。解法三是根据方程的特点，运用整体思想，移项变形后原方程变形为AB0的形式，方程的左边可以运用平方差公式分解因式，从而可以运用因式分解法解方程。因此，解一元二次方程时要同时掌握这些方法，以便灵活选用。

例2、解关于x的方程xm3x2mnn0.

2222分析：此例是解关于x的方程，因此除x是未知数外，其他字母全部看作已知数。解这个方程，首先将原方程整理成一元二次方程的一般形式，然后再b24ac0的前提情况下，用求根公式进行计算。