二次函数的图像与性质

二次函数的图象和性质辅导教案 学生姓名 授课教师 科组长签名 教学课题 性别 上课时间 教学主任签名 女 年级 九年级 学科 数学 课时：3课时 第（ ）次课 共（ ）次课 二次函数的图象和性质 1.熟悉二次函数，二次方程之间的联系与区别 2.掌握二次函数的一些基本性质 教学目标 教学重点与难点 二次函数的单调性，最值 一、知识点讲解 考点1 二次函数的概念 一般地，形如① (a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项. 考点2 二次函数的图象和性质 函数 a 图象 二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) a＞0 a＜0 开口方向 抛物线开口向② ，并向上抛物线开口向③ ，并向下无限延无限延伸[来源:Z+xx+k.Com] 对称轴 直线x=-b 2a伸 直线x=-b[来源:学#科#网] 2a1

顶点坐标 4acb2b(-，) 4a2a4acb2b(-，) 4a2a最值 抛物线有最低点，当x=-b时，y2a抛物线有最高点，当x=-4acb2值，y最大值= 4ab时，y有最大2a4acb2有最小值，y最小值= 4a增减性 在对称轴的左侧，即当x＜-bb时，在对称轴的左侧，即当x＜-时，y随x2a2ay随x的增大而④ ；在对的增大而⑥ ；在对称轴的右称轴的右侧，即当x＞-bb a时，侧，即当x＞-时，y随x的增大而2a2ay随x的增大而⑤ ，简记⑦ ，简记左增右减 左减右增 【易错提示】二次函数的增减性一定要分在对称轴的左侧或右侧两种情况讨论. 考点3 二次函数的图象与字母系数的关系 字母或代数式 a a＞0 a＜0 b b=0 ab＞0(b与a同号) ab＜0(b与a异号) c c=0 c＞0 c＜0 b2-4ac b2-4ac=0 b2-4ac＞0 b2-4ac＜0 特殊关系 当x=1时，y=○20 开口向⑧ |a|越大开口越⑩ 开口向⑨ 对称轴为⑪ 轴 对称轴在y轴⑫ 侧 对称轴在y轴⑬ 侧 经过⑭ 与y轴⑮ 半轴相交 与y轴⑯ 半轴相交 与x轴有○17 交点(顶点) 与x轴有○18 不同交点 与x轴○19 交点 字母的符号 图象的特征 2

当x=-1时，y=○21 若a+b+c＞0，即当x=1时，y○22 0 若a+b+c＜0，即当x=1时，y○23 0 考点4 确定二次函数的解析式 方法 一般式 顶点式 交点式 适用条件及求法 若已知条件是图象上的三个点或三对自变量与函数的对应值，则可设所求二次函数解析式为○24 . 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值)，可设所求二次函数为○25 . 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，可设所求的二次函数为○26 . 【易错提示】(1)用顶点式代入顶点坐标时横坐标容易弄错符号；(2)所求的二次函数解析式最后要化成一般式. 考点5 二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系 二次函数与一元二次方程 二次函数与不等式 抛物线y=ax2＋bx＋c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c○29 0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c○30 0的解集. 二、方法与技巧 1.二次函数y=(x-h)2+k的图象平移时，主要看顶点坐标的变化，一般按照“横坐标加减左右移”、“纵坐标加减上下移”的方法进行. 2.二次函数的图象由对称轴分开，在对称轴的同侧具有相同的性质，在顶点处有最大值或最小值，如果自变量的取值中不包含顶点，那么在取最大值或最小值时，要依据其增减性而定. 3

二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与○27 轴的交点的○28 坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.

3.求二次函数图象与x轴的交点的方法是令y=0解关于x的方程；求函数图象与y轴的交点的方法是令x=0得y的值，最后把所得的数值写成坐标的形式. 三、重点题型 命题点1 二次函数的图象和性质 例1 若抛物线y=x2-2x+c与y轴的交点坐标为(0，-3)，则下列说法不正确的是( ) A.抛物线的开口向上 B.抛物线的对称轴是直线x=1 C.当x=1时，y的最大值为-4 D.抛物线与x轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0) 方法归纳：解答此类题首先将点坐标代入函数解析式，确定二次函数的各项系数.然后根据二次函数解析式、图象、性质的相互关系解题. 1.抛物线y=2x2，y=-2x2,y=12x的共同性质是( ) 2 A.开口向上 B.对称轴是y轴 C.都有最高点 D.y随x的增大而增大 2.对于抛物线y=-1(x+1)2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶2点坐标为(-1,3)；④x>1时，y随x的增大而减小.其中正确结论的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.二次函数y=x2+bx+c，若b+c=0，则它的图象一定过点( ) A.(-1，-1) B.(1，-1) C.(-1，1) D.(1，1) 4.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表： x y -1 5 0 1 1[ -1 2 -1 3 1 则该二次函数图象的对称轴为( ) 53 A.y轴 B.直线x= C.直线x=2 D.直线x= 22命题点2 二次函数的图象与字母系数的关系 例2 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③当m≠1时，a+b＞am2+bm；④a-b+c＞0；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2.其中正确的有( ) A.①②③ B.②④ C.②⑤ D.②③⑤ 4

方法归纳：解答二次函数信息问题时，通常先抓住抛物线对称轴和顶点坐标，再依据图象与字母系数之间的关系特征来求解. 1.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列关系式错误的是( ) A.a＞0 B.c＞0 C.b2-4ac＞0 D.a+b+c＞0 2.二次函数y=2x2+mx+8的图象如图所示，则m的值是( ) A.-8 B.8 C.±8 D.6 3.如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1.①b2＞4ac；②4a-2b+c＜0；③不等式ax2+bx+c＞0的解集是x≥3.5；④若(-2，y1),(5,y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2.上述4个判断中，正确的是( ) A.①② B.①④ C.①③④ D.②③④ 4.已知二次函数y=x2+2mx+2，当x>2时，y的值随x的增大而增大，则实数m的取值范围是 . 5

命题点3 确定二次函数的解析式 例3 如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0)，B(0，-1)和C(4,5)三点. (1)求二次函数的解析式； (2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标； (3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值？ 方法归纳：(1)待定系数法是求函数解析式的常用方法；(2)两函数图象的交点往往是不等关系的界点. 1.若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为y= . 2.已知抛物线y=-x2+bx+c经过点A(3，0)，B(-1，0). (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标. 6

3.如图，抛物线y=a(x-1)2+4与x轴交于点A，B，与y轴交于点C.过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD.已知点A的坐标为(-1,0). (1)求抛物线的解析式； (2)求梯形COBD的面积. 四、课堂小测 1对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说法正确的是( ) A.开口向下 B.对称轴是x=-1 C.顶点坐标是(1，2) D.与x轴有两个交点 2.下列函数，图象经过原点的是( ) A.y=3x B.y=1-2x C.y=4 D.y=x2-1 x3.将抛物线y＝x2-6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( ) A.y＝(x-4)2-6 B.y＝(x-4)2-2 C.y＝(x-2)2-2 D.y＝(x-1)2-3 4.如图是二次函数y=-x2+2x+4的图象，使y≤1成立的x的取值范围是( ) A.-1≤x≤3 B.x≤-1 C.x≥1 D.x≤-1或x≥3 7

5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( ) A.c>-1 B.b>0 C.2a+b≠0 D.9a+c>3b 6.已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是( ) 17.若函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( ) 2 A.0 B.0或2 C.2或-2 D.0，2或-2 8.写出图象经过点(-1，1)的一个函数的解析式是 . 9.抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标为 . 10.如图，已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(-1，0)，(1，-2)，当y随x的增大而增大时，x的取值范围是 . 11.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a-2b+c的值为 . 8

12.已知二次函数y=x2-4x+3. (1)用配方法求其函数图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况； (2)求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积. 13.已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1，-2). (1)求a的值； (2)若点A(m，y1)，B(n，y2)(m＜n＜3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小. 14.若二次函数y=ax2+bx+a2-2(a，b为常数)的图象如下，则a的值为( ) A.-2 B.-2 C.1 D.2 9

15.已知点A(a-2b，2-4ab)在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为( )[ A.(-3,7) B.(-1,7) C.(-4,10) D.(0,10) 16.已知二次函数y=a(x-h)2+k(a>0)，其图象过点A(0，2)，B(8，3)，则h的值可以是( ) A.6 B.5 C.4 D.3 17.已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列说法：①c＝0；②该抛物线的对称轴是直线x＝-1；③当x＝1时，y＝2a；④am2+bm+a＞0(m≠-1).其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 x218.如图，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x(x≥0)与y2＝(x≥0)的图象于B，C两32点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，直线DE∥AC，交y2的图象于E，则＝ . DEAB 10

19.如图，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=1对称，与坐标轴交于A，B，C三点，且AB=4，点D(2，3)在抛物线上，直线l是一次函数y=kx-2(k≠0)的图象，点O是坐标原点. 2 (1)求抛物线的解析式； (2)若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值. 11

20.如图,抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为(2，0)，点C的坐1标为(0，3)，它的对称轴是直线x=-. 2 (1)求抛物线的解析式； (2)M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标.

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