望花区高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
2xy201. 若变量x,y满足约束条件x2y40,则目标函数z3x2y的最小值为( )
x10A.-5 B.-4 C.-2 D.3 2. 已知向量a(m,2),b(1,n)(n0),且ab0,点P(m,n)在圆x2y25上,则
|2ab|( )
A.34 B. C.42 D.32 3. 如图,在平面直角坐标系中,锐角α、β及角α+β的终边分别与单位圆O交于A,B,C三点.分别作AA'、BB'、CC'垂直于x轴,若以|AA'|、|BB'|、|CC'|为三边长构造三角形,则此三角形的外接圆面积为( )
A. B. C. D.π
+
+
=,且|
|=|
|,
在
方向上的投影为( )
4. △ABC的外接圆圆心为O,半径为2,A.﹣3 B.﹣
C.
D.3
5. 下列4个命题:
①命题“若x2﹣x=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2﹣x≠0”; ②若“¬p或q”是假命题,则“p且¬q”是真命题;
③若p:x(x﹣2)≤0,q:log2x≤1,则p是q的充要条件;
④若命题p:存在x∈R,使得2x<x2,则¬p:任意x∈R,均有2x≥x2; 其中正确命题的个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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6. 若椭圆和圆为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则
椭圆的离心率e的取值范围是( ) A.
B.
C.
D.
7. 已知点A(1,1),B(3,3),则线段AB的垂直平分线的方程是( ) A.y=﹣x+4 B.y=x C.y=x+4
D.y=﹣x
8. 设a∈R,且(a﹣i)•2i(i为虚数单位)为正实数,则a等于( ) A.1 B.0 C.﹣1 D.0或﹣1 9. 在平面直角坐标系中,向量=(1,2),
=(2,m),若O,A,B三点能构成三角形,则(A. B. C. D.
10.利用计算机在区间(0,1)上产生随机数a,则不等式ln(3a﹣1)<0成立的概率是( ) A.
B.
C.
D.
11.设集合 A={ x|﹣3≤2x﹣1≤3},集合 B为函数 y=lg( x﹣1)的定义域,则 A∩B=( ) A.(1,2) B.[1,2]
C.[1,2) D.(1,2]
12.若集合M={y|y=2x,x≤1},N={x|≤0},则 N∩M( )
A.(1﹣1,] B.(0,1] C.[﹣1,1] D.(﹣1,2]
二、填空题
13.已知函数f(x)3(x2)25,且|x12||x22|,则f(x1),f(x2)的大小关系 是 .
14.定义某种运算⊗,S=a⊗b的运算原理如图;则式子5⊗3+2⊗4= .
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15.已知x,y满足条件
,则函数z=﹣2x+y的最大值是 .
16.若数列{an}满足:存在正整数T,对于任意的正整数n,都有an+T=an成立,则称数列{an}为周期为T的周期数列.已知数列{an}满足:a1>=m (m>a ),an+1=
,现给出以下三个命题:
①若 m=,则a5=2;
②若 a3=3,则m可以取3个不同的值; ③若 m=
,则数列{an}是周期为5的周期数列.
其中正确命题的序号是 .
17.设向量a=(1,-1),b=(0,t),若(2a+b)·a=2,则t=________. 18.【泰州中学2018届高三10月月考】设函数fxex2x1axa,其中a1,若存在唯一的整数
x0,使得fx00,则a的取值范围是 三、解答题
19.等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a32=9a2a6, (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{
20.(本小题满分12分)
}的前n项和.
ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m(sinB,5sinA5sinC),
n(5sinB6sinC,sinCsinA)垂直. (1)求sinA的值;
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(2)若a22,求ABC的面积S的最大值.
21.(本小题满分12分)
12x(a3)xlnx. 2(1)若函数f(x)在定义域上是单调增函数,求的最小值;
112(2)若方程f(x)(a)x(a4)x0在区间[,e]上有两个不同的实根,求的取值范围.
2e已知函数f(x)
22.已知在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,△PAD是正三角形,平面PAD⊥平面ABCD,E、F、G分别是PA、PB、BC的中点. (I)求证:EF⊥平面PAD;
(II)求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小.
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23.已知数列{an}中,a1=1,且an+an+1=2n, (1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的前n项和Sn,求S2n.
24.已知P(m,n)是函授f(x)=ex﹣1图象上任一于点
(Ⅰ)若点P关于直线y=x﹣1的对称点为Q(x,y),求Q点坐标满足的函数关系式 (Ⅱ)已知点M(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=y=h(x)图象上时,公式变为
=|s﹣ex﹣1﹣1|+|t﹣ln(t﹣1)|,(s∈R,t>0)的最小值.
,当点M在函数
,请参考该公式求出函数ω(s,t)
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望花区高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学(参考答案)
一、选择题
1. 【答案】B 【解析】
31xz,直线系在可22行域内的两个临界点分别为A(0,2)和C(1,0),当直线过A点时,z3x2y224,当直线过C点
试题分析:根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分,目标函数可转化直线系y时,z3x2y313,即的取值范围为[4,3],所以Z的最小值为4.故本题正确答案为B.
考点:线性规划约束条件中关于最值的计算. 2. 【答案】A 【解析】
考点:1、向量的模及平面向量数量积的运算;2、点和圆的位置关系. 3. 【答案】 A
【解析】(本题满分为12分)
解:由题意可得:|AA'|=sinα、|BB'|=sinβ、|CC'|=sin(α+β), 设边长为sin(α+β)的所对的三角形内角为θ, 则由余弦定理可得,cosθ=
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==
=sinαsinβ﹣cosαcosβ =﹣cos(α+β), ∵α,β∈(0,∴α+β∈(0,π) ∴sinθ=
=sin(α+β) )
﹣cosαcosβ
﹣cosαcosβ
设外接圆的半径为R,则由正弦定理可得2R=∴R=,
2
∴外接圆的面积S=πR=
=1,
.
故选:A.
【点评】本题主要考查了余弦定理,三角函数恒等变换的应用,同角三角函数基本关系式,正弦定理,圆的面积公式在解三角形中的综合应用,考查了转化思想和数形结合思想,属于中档题.
4. 【答案】C
【解析】解:由题意, ++=,得到,又||=||=||,△OAB是等边三角形,所以四边形OCAB是边长为2的菱形, 所以
在
方向上的投影为ACcos30°=2×
=
;
故选C.
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【点评】本题考查了向量的投影;解得本题的关键是由题意,画出图形,明确四边形OBAC的形状,利用向量解答.
5. 【答案】C
22
【解析】解:①命题“若x﹣x=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x﹣x≠0”,①正确; ②若“¬p或q”是假命题,则¬p、q均为假命题,∴p、¬q均为真命题,“p且¬q”是真命题,②正确; ③由p:x(x﹣2)≤0,得0≤x≤2,
由q:log2x≤1,得0<x≤2,则p是q的必要不充分条件,③错误;
④若命题p:存在x∈R,使得2x<x2,则¬p:任意x∈R,均有2x≥x2,④正确. ∴正确的命题有3个. 故选:C.
6. 【答案】 A
∵椭圆【解析】解:且它们有四个交点, ∴圆的半径
,
和圆
为椭圆的半焦距)的中心都在原点,
由22,得2c>b,再平方,4c>b,
2222
在椭圆中,a=b+c<5c,
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∴由
;
,得b+2c<2a,
222
再平方,b+4c+4bc<4a, 22∴3c+4bc<3a, 2
∴4bc<3b,
∴4c<3b,
22
∴16c<9b, 222
∴16c<9a﹣9c, 22∴9a>25c,
∴∴
.
,
综上所述,.
故选A.
7. 【答案】A
【解析】解:∵点A(1,1),B(3,3), ∴AB的中点C(2,2), kAB=
=1,
∴线段AB的垂直平分线的斜率k=﹣1, ∴线段AB的垂直平分线的方程为: y﹣2=﹣(x﹣2),整理,得:y=﹣x+4. 故选:A.
8. 【答案】B
【解析】解:∵(a﹣i)•2i=2ai+2为正实数, ∴2a=0, 解得a=0. 故选:B.
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件,属于基础题.
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9. 【答案】B
【解析】【知识点】平面向量坐标运算
【试题解析】若O,A,B三点能构成三角形,则O,A,B三点不共线。 若O,A,B三点共线,有:-m=4,m=-4. 故要使O,A,B三点不共线,则。 故答案为:B 10.【答案】C
【解析】解:由ln(3a﹣1)<0得<a<,
则用计算机在区间(0,1)上产生随机数a,不等式ln(3a﹣1)<0成立的概率是P=,故选:C.
11.【答案】D
【解析】解:由A中不等式变形得:﹣2≤2x≤4,即﹣1≤x≤2, ∴A=[﹣1,2],
由B中y=lg(x﹣1),得到x﹣1>0,即x>1, ∴B=(1,+∞), 则A∩B=(1,2], 故选:D.
12.【答案】B
【解析】解:由M中y=2x
,x≤1,得到0<y≤2,即M=(0,2],
由N中不等式变形得:(x﹣1)(x+1)≤0,且x+1≠0, 解得:﹣1<x≤1,即N=(﹣1,1], 则M∩N=(0,1], 故选:B.
【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
二、填空题
13.【答案】f(x1)f(x2)111.Com] 【
解
析
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】
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考
点:不等式,比较大小.
【思路点晴】本题主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用. 分析二次函数的图象,主要有两个要点:一个是看二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口方向;二是看对称轴和最值,它确定二次函数的具体位置.对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断,如函数图象与正半轴的交点,函数图象的最高点与最低点等. 14.【答案】 14 .
【解析】解:有框图知S=a⊗b=
∴5⊗3+2⊗4=5×(3﹣1)+4×(2﹣1)=14 故答案为14
【点评】新定义题是近几年常考的题型,要重视.解决新定义题关键是理解题中给的新定义.
15.【答案】 4 .
【解析】解:由约束条件
作出可行域如图,
化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z,由图可知,当直线y=2x+z过点A(﹣2,0)时, 直线y=2x+z在y轴上的截距最大,即z最大,此时z=﹣2×(﹣2)+0=4.
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故答案为:4.
【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
16.【答案】 ①② .
【解析】解:对于①由an+1=所以,
>1,
,
,且a1=m=<1,
,∴a5=2 故①正确;
对于②由a3=3,若a3=a2﹣1=3,则a2=4,若a1﹣1=4,则a1=5=m. 若
,则
.
若a1>1a1=,若0<a1≤1则a1=3,不合题意. 所以,a3=2时,m即a1的不同取值由3个. 故②正确; 若a1=m=故在a1=
>1,则a2=
,所a3=
>1,a4=
时,数列{an}是周期为3的周期数列,③错;
故答案为:①②
【点评】本题主要考查新定义题目,属于创新性题目,但又让学生能有较大的数列的知识应用空间,是较好的题目
17.【答案】
【解析】(2a+b)·a=(2,-2+t)·(1,-1) =2×1+(-2+t)·(-1) =4-t=2,∴t=2. 答案:2 18.【答案】
,由题设可知存在唯一的整数x0,使得
,故当
时,
单调递增;故
,函数
在直线单调递减; ,而当
【解析】试题分析:设
的下方.因为
当
时,
,函数
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时,,故当且,解之得,应填答案
3,1. 2e考点:函数的图象和性质及导数知识的综合运用.
【易错点晴】本题以函数存在唯一的整数零点x0,使得fx00为背景,设置了一道求函数解析式中的参数的取值范围问题,目的是考查函数的图象和性质及导数在研究函数的单调性最值等有关知识的综合运用.同时也综合考查学生运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先运用等价转化得到数学思想将问题等价转化为存在唯一的整数x0,使得据题设建立不等式组求出解之得
在直线
.
的下方.然后再借助导数的知识求出函数的最小值,依
三、解答题
19.【答案】
2222
【解析】解:(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,由a3=9a2a6得a3=9a4,所以q=
.
由条件可知各项均为正数,故q=.
.
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=故数列{an}的通项式为an=
(Ⅱ)bn=故则
=﹣+
+…+
+
.
+…+=﹣2(=﹣2=﹣
﹣, .
=﹣(1+2+…+n)=﹣)
,
所以数列{}的前n项和为﹣
【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值,掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式,会进行数列的求和运算,是一道中档题.
20.【答案】(1)【解析】
试题分析:(1)由向量垂直知两向量的数量积为0,利用数量积的坐标运算公式可得关于sinA,sinB,sinC的
4;(2)4. 5第 13 页,共 18 页
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等式,从而可借助正弦定理化为边的关系,最后再余弦定理求得cosA,由同角关系得sinA;(2)由于已知边及角A,因此在(1)中等式bca2226bc1中由基本不等式可求得bc10,从而由公式 SbcsinA52可得面积的最大值.
试题解析:(1)∵m(sinB,5sinA5sinC),n(5sinB6sinC,sinCsinA)垂直, ∴mn5sinB6sinBsinC5sinC5sinA0,
222考点:向量的数量积,正弦定理,余弦定理,基本不等式.111] 21.【答案】(1);(2)0a1.1111] 【解析】
则
1f'(x)0对x0恒成立,即a(x)3对x0恒成立,
x1而当x0时,(x)3231,
x∴a1.
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若函数f(x)在(0,)上递减,
则f'(x)0对x0恒成立,即a(x)3对x0恒成立, 这是不可能的. 综上,a1. 的最小值为1. 1
(2)由f(x)(a)x(a2)x2lnx0, 得(a)x(2a)x2lnx,
1x1221221(1)x22x(lnxx)lnxxlnxx1x2lnxxr(x)即a,令,, r'(x)33x2x2xx得1x2lnx0的根为1,
考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、函数零点问题及不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数零点问题及不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:①分离参数af(x)恒成立(af(x)min即可)或af(x)恒成(af(x)max即可);②数形结合;③讨论最值f(x)min0或f(x)max0恒成立;④讨论参数.本题(2)就是先将问题转化为不等式恒成立问题后再利用①求得的最小值的.
请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 22.【答案】
【解析】解:(I)证明:∵平面PAD⊥平面ABCD,AB⊥AD, ∴AB⊥平面PAD,
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∵E、F为PA、PB的中点, ∴EF∥AB,
∴EF⊥平面PAD; (II)解:过P作AD的垂线,垂足为O, ∵平面PAD⊥平面ABCD,则PO⊥平面ABCD. 取AO中点M,连OG,EO,EM, ∵EF∥AB∥OG,
∴OG即为面EFG与面ABCD的交线
又EM∥OP,则EM⊥平面ABCD.且OG⊥AO, 故OG⊥EO
∴∠EOM 即为所求 在RT△EOM中,EM=∴tan∠EOM=
OM=1
,故∠EOM=60°
∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60°.
【点评】本题主要考察直线与平面垂直的判定以及二面角的求法.解决第二问的难点在于找到两半平面的交线,进而求出二面角的平面角.
23.【答案】
n
【解析】解:(1)∵a1=1,且an+an+1=2, ∴当n≥2时,
n1
∴an+1﹣an﹣1=2﹣,
2
当n=1,2,3时,a1+a2=2,a2+a3=2,
.
.
解得a2=1,a3=3,a4=5. 当n为偶数2k(k∈N)时,
*
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a2k=(a2k﹣a2k﹣2)+(a2k﹣2﹣a2k﹣4)+…+(a6﹣a4)+(a4﹣a2)+a2 =22k﹣2+22k﹣4+…+24+22+1 ==
.
, ,
当n为奇数时,∴
∴
*
(k∈N).
(2)S2n=(a2+a4+…+a2n)+(a1+a3+…+a2n﹣1)
=(a2+a4+…+a2n)+[(2﹣a2)+(23﹣a4)+…+(a2n﹣1﹣a2n)] =2+23+…+22n﹣1 ==
.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”,考查了分类讨论思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
24.【答案】
【解析】解:(1)因为点P,Q关于直线y=x﹣1对称,所以
.
解得.又n=em﹣1
,所以x=1﹣e(y+1)﹣1,即y=ln(x﹣1).
x1
(2)ω(s,t)=|s﹣e﹣﹣1|+|t﹣ln(t﹣1)﹣1|
=
,
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令u(s)=.
则u(s),v(t)分别表示函数y=e由(1)知,umin(s)=vmin(t). 而f′(x)=e故
x﹣1
,令
x﹣1
,y=ln(t﹣1)图象上点到直线
x﹣y﹣1=0的距离.
f′(s)=1得s=1,所以umin(s)=
.
.
【点评】本题一方面考查了点之间的轴对称问题,同时利用函数式的几何意义将问题转化为点到直线的距离,然后再利用函数的思想求解.体现了解析几何与函数思想的结合.
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