极坐标和参数方程题型及解题方法

一、复习提问

1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？

答：将极坐标的极点O作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x轴的正半轴。如果点P在直角坐标系下的坐标为(x,y)，在极坐标系下的坐标为(,)，则有下列关系成立：cosx，siny，

3、 参数方程2xrcos表示什么曲线？

yrsin224、 圆(xa)(yb)r 的参数方程是什么？

5、 极坐标系的定义是什么？

答：取一个定点O，称为极点，作一水平射线Ox，称为极轴，在Ox上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OPOP，又xOP. 和的值确定了，则P点的位置就确定了。叫做P点的极半径，叫做P点的极角，(,)叫做P点的极坐标（规定写在前，写在后）。显然，每一对实数(,)决定平面上一个点的位置. 6、参数方程的意义是什么？

二、题型与方法归纳

1、 题型与考点（1）

极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化

（2）

参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化

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(3)

利用参数方程求值域参数方程的几何意义

2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化

化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系xft（或yg(t)，再代入普通方程

Fx,y0，求得另一关系yg(t)（或xft）.一般地，常选择的参数有角、有向

线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）

ttx22例1、方程（t为参数）表示的曲线是（ ）

tty22A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆

解析：注意到2t与2t互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可

t

消去含t的项，xy(22)(22)4，即有xy4，又注意到

22tt2tt2222t0，2t2t22t2t2，即y2，可见与以上参数方程等价的普通方程为y224(y2)，显然它表示焦点在y轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.

练习1、与普通方程xy10等价的参数方程是（ ）（t为能数）

2xsintA2ycostxtantB2y1tant2x1tCytxcostD2ysint

解析：所谓与方程xy10等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且x,y的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.

对于A化为普通方程为xy10，x11，，，y01；

21]； 对于B化为普通方程为xy10，xR，y(，)，y(，1]; 对于C化为普通方程为xy10，x[0，对于D化为普通方程为xy10，x11，，，y01.

2221]，而已知方程为xy10，xR，y(，显然与之等价的为B.

练习2、设P是椭圆2x3y12上的一个动点，则x2y的最大值是 ，最小值为 .

分析：注意到变量(x,y)的几何意义，故研究二元函数x2y的最值时，可转化为几何问题.若设x2yt，则方程x2yt表示一组直线，（对于t取不同的值，方程表示不同的直线），显然(x,y)既满足2x3y12，又满足x2yt，故点(x,y)是方程组

222222x23y212的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一x2yt word完美整理版

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元二次方程的判别式0问题.

解析：令x2yt，对于x,y既满足2x3y12，又满足x2yt，故点(x,y)222x23y212是方程组的公共解，依题意得11y28ty2t2120，由

x2yt64t24112t2120，解得：22t22，所以x2y的最大值为22，

最小值为22.

（2）、极坐标与直角坐标的互化

利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P的直

2x2y2xcos角坐标为(x,y)，它的极坐标为(,)，则或；若把直角坐标yysintanx化为极坐标，求极角时，应注意判断点P所在的象限（即角的终边的位置），以便正确

地求出角.

例2、极坐标方程4sin225表示的曲线是（ ）

A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线

分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.

1cos22cos，化为直角坐标系方程为522252x2y22x5，化简得y25x.显然该方程表示抛物线，故选D.

4解析：由4sin24

练习1、已知直线的极坐标方程为sin(4)2，则极点到该直线的距离是 2

解析：极点的直角坐标为O(0,0)，对于方程sin(4)22(sincos)， 222 2可得cossin1，化为直角坐标方程为xy10，因此点到直线的距离为

练习2、极坐标方程cos0转化成直角坐标方程为（ ）

A．xy0或y1 B．x1 C．xy0或x1 D．y1

分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解. 解析：cos0，

练习3、点M的直角坐标是(1,222222x2y20，或cosx0，因此选C.

3)，则点M的极坐标为（ ） 2A．(2,) B．(2,) C．(2,) D．(2,2k),(kZ)

3333 word完美整理版

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解析：(2,2k2),(kZ)都是极坐标，因此选C. 3（3）、参数方程与直角坐标方程互化

x210cos例3：已知曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的极坐标方程

y10sin为2cos6sin．

（1）将曲线C1的参数方程化为普通方程，将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线C1，C2是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．

x210cos22解：（1）由得(x2)y10，

y10sin

∴曲线C1的普通方程为(x2)y10，

∵2cos6sin，2cos6sin， ∵xy，xcos，ysin， ∴xy2x6y，即(x2)y10， ∴曲线C2的直角坐标方程为(x2)y10； （2）∵圆C1的圆心为(2,0)，圆C2的圆心为(1,3)，

222222222222∴C1C2

(21)2(03)232210

∴两圆相交，设相交弦长为d，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段C1C2 ∴()(

d22322)(10)2，∴d22，∴公共弦长为22 2

练习1、坐标系与参数方程.

x32cos已知曲线C：（为参数，02)，

y12sin（Ⅰ）将曲线化为普通方程；

（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．

22解析：（Ⅰ）xy23x2y0

（Ⅱ）2

3cossin



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（4）利用参数方程求值域 例题4、在曲线C1：x1cos(为参数）上求一点，使它到直线C2：

ysin1x22t2(t为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离. 1y1t2解：直线C2化成普通方程是xy221，设所求的点为P1cos,sin， 则C到直线C2的距离d|1cossin221|2|sin(4)2|，

当

42235,). 时，即时，d取最小值1 ，此时，点P的坐标是(12242练习1、在平面直角坐标系xOy中，动圆xy8xcos6ysin7cos80 （R）的圆心为P(x,y) ，求2xy的取值范.

222解：由题设得x4cos（为参数，R），

y3sin73cos()，所以732xy73.

于是2xy8cos3sin

3xt5（为

练习2、已知曲线C的极坐标方程是2sin，设直线L的参数方程是t4yt5参数）．

（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线L与x轴的交点是M，N曲线C上一动点，求|MN|的最大值.

2解：（1）曲线C的极坐标方程可化为： 2sin

又xy， xcos，ysin. 所以，曲线C的直角坐标方程为：xy2y0.

22222 word完美整理版

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（2）将直线L的参数方程化为直角坐标方程得：y 令y0 得x2即M点的坐标为(2,0)，

4(x2)， 3 又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(0,1)，半径r1， 则|MC|5，|MN||MC|r51.

（5）直线参数方程中的参数的几何意义

例5、已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角①写出直线l的参数方程;

②设l与圆xy4相交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积.

226，

3x1tcosx1t62 解 （1）直线的参数方程为，即．

y1tsiny11t623x1t222 （2）把直线代入xy4， y11t2得(1321t)(1t)24,t2(31)t20，t1t22， 22则点P到A,B两点的距离之积为2．

4x1t5练习1、求直线（t为参数）被曲线2cos()所截的弦长. 4y13t54x1t5解：将方程，2cos()分别化为普通方程：

4y13t5211， 3x4y10，x2y2xy0，圆心C(,)，半径为222圆心到直线的距离d117122. ，弦长l2rd22100510 word完美整理版

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（6）、参数方程与极坐标的简单应用

参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.

例6、已知ABC的三个顶点的极坐标分别为A(5,)，B(5,)，C(43,)， 323判断ABC的形状，并计算其面积.

分析：判断ABC的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长.

解析：如图，对于AOB3又|OA||OB|5，|OC|43，由余弦定理得：

，BOC55，AOC， 66

B A O x C ACOAOC2OAOCcosAOC5133， 6|AC|133，同理|BC|133，|AC||BC|， 所以ABC为等腰三角形，又|AB||OA||OB|5， 52432543cos2222所以AB边上的高hAC21133AB，

2221133653SABC5.

224

练习1、如图，点A在直线x5上移动，等腰OPA的顶角OPA为120（O，P，A按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程.

解析：取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系， y 则直线x5的极坐标方程为cos5， P A 设A(0,0)，P(,)，因点A在直线cos5上， 0cos051 OPA为等腰三角形，

0 O x 且OPAA120，而|OP|，|OA|0，

以及POA30，

03，且0302，把<2>代入<1>， 得点P的轨迹的极坐标方程为：3cos305.

0三、趁热打铁

1．把方程xy1化为以t参数的参数方程是（ ）

1xtantxsintxcost2xtA． B． C． D．1 111yyyyt2tantsintcost解析：D ， xy1，x取非零实数，而A，B，C中的x的范围有各自的限制.

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2．曲线x25t(t为参数)与坐标轴的交点是（ ）

y12t2512151259A．(0,)、(8,0) D．(0,)、(,0) B．(0,)、(,0) C．(0,4)、(8,0) 解析：B，当x0时，t211，而y12t，即y，得与y轴的交点为(0,)； 555111

当y0时，t，而x25t，即x，得与x轴的交点为(,0).

222

3．直线A．

x12t(t为参数)被圆x2y29截得的弦长为（ ）

y2t129129 B．5 D．10 5 C．55552x12t5，把直线代入 1y2t5x15tx12t解析：B y2ty15tx2y29得(12t)2(2t)29,5t28t40，

8161212t1t2(t1t2)24t1t2()2，弦长为5t1t25 5555

x4t2(t为参数)上，则PF等于（ ） 4．若点P(3,m)在以点F为焦点的抛物线y4tA．2 B．3 C．4 D．5

解析：C 抛物线为y4x，准线为x1，PF为P(3,m)到准线x1的距离，即为4.

2x2pt2(t为参数,p为正常数)上的两点M,N对应的参数分别为t1和t2,，5．已知曲线y2pt且t1t20，那么MN=_______________。

解析：4pt1， 显然线段MN垂直于抛物线的对称轴。即x轴，MN2pt1t22p2t1

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6．圆的参数方程为x3sin4cos(为参数)，则此圆的半径为_______________。

y4sin3cos解析： 由x3sin4cos22得xy25 故半径为5.

y4sin3cos1tx(eet)cos27．分别在下列两种情况下，把参数方程化为普通方程：

y1(etet)sin2（1）为参数，t为常数；（2）t为参数，为常数； 解：（1）当t0时，y0,xcos，即x1,且y0； 当t0时，cosx1tt(ee)2,siny1tt(ee)2y2，

而sincos1，即

22x21t(eet)241tt2(ee)41；

（2）当k,kZ时，y0，x1tt(ee)，即x1,且y0； 21tt当k,kZ时，x0，y(ee)，即x0；

222x2x2ytttee2ekcoscossin当，即 ,kZ时，得2y2x2y2etet2etsincossinx2y22x2y2x2y21. 得2e2e()()，即2cossincossincossintt

8．过点P(10,0)作倾斜角为的直线与曲线x212y21交于点M,N， 2求PMPN的值及相应的的值.

10tcosx(t为参数)，代入曲线并整理得 解：设直线为2ytsin word完美整理版

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332， (1sin2)t2(10cos)t0，则PMPNt1t2221sin32所以当sin1时，即，PMPN的最小值为，此时.

242

xcos(sincos)9．参数方程(为参数)表示什么曲线？

ysin(sincos)y211y2,cos解：显然tan，则21，

y2xcos2x1x2 xcos2sincossin2cos221212tancos2 221tanyy111y2yxx即x,x(1)1，

y2y2y22x2x121212xxxy2y1，即x2y2xy0. 得xxx四、温故强化

1．下列在曲线xsin2(为参数)上的点是（ ）

ycossin3142A．(,2) B．(,) C．(2,3) D．(1,3) 解析：B 转化为普通方程：y1x，当x21231时，y. 422x2sin(为参数)化为普通方程为（ ） 2．将参数方程2ysinA．yx2 B．yx2 C．yx2(2x3) D．yx2(0y1) 解析：C 转化为普通方程：yx2，但是x[2,3],y[0,1].

3. 若A(3,)，B(3,)，则|AB|=___________，SAOB___________（其中O是极点） 360解析：在极坐标系中画出点A、B，易得AOB150，

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在AOB中，由余弦定理得：ABOAOB2OAOBcosAOB，

222|ABB|3232233cos1500323 所以SOAB3(62)， 2119OAOBsinAOB33sin150. 2241x2t2(t为参数)224．直线被圆xy4截得的弦长为______________

y11t2解析：14 直线为xy10，圆心到直线的距离d12，弦长的一半为2222(

2214，得弦长为14. )22xx0t5. 直线（t为参数）上任一点P到P0x0，y0的距离为__________

yy3t0解析：所求距离为2|t|（把直线的参数方程化为标准形式）

x2y26. 若F1、F2是椭圆1的焦点，P为椭圆上不在x轴上的点，则PF1F2的重心G

2516的轨迹方程为____________。

解析：设G(x,y)，P(5cos,4sin)，而F1(3,0)，F2(3,0)，

5cos335cosx33 由重心坐标公式，得：（为参数），

4sin004siny339x29y2 消参，得点G的轨迹方程为1.

2516

7. 若方程mcos3sin6cos0的曲线是椭圆，求实数m的取值范围. 解析：将方程两边同乘以，化为：m(cos)3(sin)6cos0，

2222(x即mx3y6x0，整理得

2232)2my1，若方程表示椭圆， 93mm2 word完美整理版

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9m20333，. 则m须满足：0，m0且m3，m0，m39m2mx2y21上一点P与定点(1,0)之间距离的最小值. 8. 求椭圆94解析：（先设出点P的坐标，建立有关距离的函数关系），设P(3cos,2sin)，则P到定点(1,0)的距离为：d()(3cos1)2(2sin0)25cos26cos5

3164535(cos)2，当cos时，d()取最小值.

5555

x2y21上找一点，使这一点到直线x2y120的距离的最小值. 9．在椭圆

16124cos43sin12x4cos解析：设椭圆的参数方程为，d，

5y23sin 4545cos3sin32cos()3 553 当cos(

3)1时，dmin45，此时所求点为(2,3). 5x1t(t为参数)和直线l2:xy230的交点P的坐标，10．求直线l1:及点P

y53t与Q(1,5)的距离.

x1t解析：将代入xy230得t23，

y53t得P(123,1)，而Q(1,5)，得PQ

(23)26243. word完美整理版