高中均值不等式讲解及习题

一．均值不等式

a2b21.（1）若a,bR，则ab2ab (2)若a,bR，则ab（当且仅当ab222时取“=”） 2. (1)若a,bR*，则

ab时取“=”）

ab (当且仅当ab时取“=”(3)若a,bR，则ab） 2*2ab*ab (2)若a,bR，则ab2ab（当且仅当23.若x0，则x112 (当且仅当x1时取“=”）;若x0，则x2 (当xx且仅当x1时取“=”）

若x0，则x12即x12或x1-2 (当且仅当ab时取“=”）

xxx3.若ab0，则ab2 (当且仅当ab时取“=”）

ba若ab0，则

ababab） 2即2或-2 (当且仅当ab时取“=”

bababaab2a2b24.若a,bR，则(（当且仅当ab时取“=”） )22注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和

为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”

(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x 2＋

12x1

（2）y＝x＋ 2

x解：（1）y＝3x 2＋

1

≥22x 2

3x 2〃

1

＝6 ≨值域为[6 ，+≦） 2x 2

1

x〃 ＝2；

x

1

x〃 =－2

x

1

（2）当x＞0时，y＝x＋ ≥2x

11

当x＜0时， y＝x＋ = －（－ x－ ）≤－2xx≨值域为（－≦，－2]∪[2，+≦）

解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知x5，求函数y4x21的最大值。 44x5解：因4x50，所以首先要“调整”符号，又(4x2)4x2要进行拆、凑项，

1不是常数，所以对4x5511x,54x0，y4x254x3231 44x554x1，即x1时，上式等号成立，故当x1时，ymax1。 54x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

当且仅当54x技巧二：凑系数

例1. 当时，求yx(82x)的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x(82x)8为定值，故只需将yx(82x)凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号 当x＝2时，yx(82x)的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。

3变式：设0x，求函数y4x(32x)的最大值。

2332x00x解：≧≨≨

292x32xy4x(32x)22x(32x)2

222当且仅当2x32x,即x技巧三： 分离

330,时等号成立。 42x27x10(x1)的值域。 例3. 求yx1解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

当

,即

时,y2（x1)4“＝”号）。 59（当且仅当x＝1时取

x1技巧四：换元

解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

(t1)27(t1）+10t25t44y=t5

ttt4当,即t=时,y2t59（当t=2即x＝1时取“＝”号）。

t评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式

AB(A0,B0)，g(x)恒正子分开再利用不等式求最值。即化为ymg(x)g(x)或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。

技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数

ax25f(x)x的单调性。例：求函数y的值域。

2xx4解：令x4t(t2)，则y2x25x24x241t(t2)

tx24111因t0,t1，但t解得t1不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。

tt1因为yt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，

t5故y。

25所以，所求函数的值域为,。

2练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.

（1）

x23x1y,(x0)x （2）

y2x1,x3 x3(3)y2sinx1,x(0,) sinx2．已知0x1，求函数yx(1x)的最大值.；3．0x，求函数

23yx(23x)的最大值.

条件求最值

1.若实数满足ab2，则3a3b的最小值是 .

分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3a3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值，

解： 3a和3b都是正数，3a3b≥23a3b23ab6

当3a3b时等号成立，由ab2及3a3b得ab1即当ab1时，

3a3b的最小值是6．

11变式：若log4xlog4y2，求的最小值.并求x,y的值

xy

技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。

192：已知x0,y0，且1，求xy的最小值。

xy错解．．：

x0,y0，且

191，xy19xy292xy12 故 xyxyxyxymin12 。

错因：解法中两次连用均值不等式，在xy2xy等号成立条件是xy，在

1992xyxy等号成立条件是19

即y9x,取等号的条件的不一致，产生错误。xy

因此，在利用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。

19y9x正解：x0,y0,191，xyxy1061016

xyxyxy当且仅当

19y9x时，上式等号成立，又1，可得x4,y12时，

xyxyxymin16 。

变式： （1）若x,yR且2xy1，求11的最小值

xy(2)已知a,b,x,yR且ab1，求xy的最小值

xy技巧七、已知x，y为正实数，且x＋

2

y 22

＝1，求x1＋y 2 的最大值.

分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤

a 2＋b 2

2

。

1＋y 22〃

2

122

同时还应化简1＋y 中y前面的系数为 ， x1＋y 2 ＝x

2＝2 x〃1y 2

＋ 22

1y 2

＋ 分别看成两个因式： 22

x＋(

2

下面将x，

x〃

1y 2

＋ ≤22

1y 22y 21 2

＋ )x＋ ＋ 22223

＝ ＝ 即x1＋y 2 ＝

2242

1

2 〃x

1y 23

＋ ≤ 224

技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝

ab 的最小值.

分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。

30－2b30－2b－2 b 2＋30b法一：a＝ ， ab＝ 〃b＝

b＋1b＋1b＋1 由a＞0得，0＜b＜15 令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝

16

－2t 2＋34t－31

＝－2（t＋ ）＋34≧t＋

16

16

ttt≥2

t〃 ＝8 t1

当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成18

≨ ab≤18 ≨ y≥ 立。

法二：由已知得：30－ab＝a＋2b≧ a＋2b≥22 ab ≨ 30－ab≥22 ab

令u＝ab 则u2＋22 u－30≤0， －52 ≤u≤32

1

≨ab ≤32 ，ab≤18，≨y≥

18

abab（a,bR）点评：①本题考查不等式的应用、不等式的解法及运算能2力；②如何由已知不等式aba2b30出发求得ab的范围，关键是（a,bR）寻找到ab与ab之间的关系，由此想到不等式

abab（a,bR），这样将2已知条件转换为含ab的不等式，进而解得ab的范围.

变式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 技巧九、取平方

5、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x ＋2y 的最值. 解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，简单

25

解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。 W＞0，W2＝3x＋2y＋2

3x 〃

2y ＝10＋2

3x 〃

2y ≤10＋

3x ＋

2y ≤

2

（3x ）2＋（2y ）2 ＝

2

3x＋2y ＝

a＋b2

≤

a 2＋b 2

2

，本题很

(3x )2〃(2y )2 ＝10＋(3x＋2y)＝20

≨ W≤20 ＝25

变式: 求函数y2x152x(1x5)的最大值。

22解析：注意到2x1与52x的和为定值。

y2(2x152x)242(2x1)(52x)4(2x1)(52x)8 又y0，所以0y22 3时取等号。 故ymax22。 2评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。

总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用均值不等式。

当且仅当2x1=52x，即x应用二：利用均值不等式证明不等式

1．已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：abcabbcca

2221）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

111例6：已知a、b、cR，且abc1。求证：1118

abc分析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个

“2”连乘，又111abc2bc，可由此变形入手。

aaaa12ac11abc2bc解：a、b、cR，abc1。。同理1，1bbaaaa12ab。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得 1cc11112bc2ac2ababc。当且仅当时取等号。 81113abcabc应用三：均值不等式与恒成立问题

19例：已知x0,y0且1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范

xy围。

解：令xyk,x0,y0,119xy9x9y10y9x1，1.1 xykxkykkxky1032 。k16 ，m,16 kk应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若ab1,Plgalgb,Q关系是 .

分析：≧ab1 ≨lga0,lgb0

Q1（lgalgb)lgalgbp 2ab1Rlg()lgablgabQ ≨R>Q>P。

221ab(lgalgb),Rlg()，则P,Q,R的大小22

2010年高考均值不等式求最值聚焦

最值问题始终是高考数学的热点题型之一，而利用均值不等式求函数的最值是最为常见、应用十分广泛的方法之一．下面笔者以2010年高考试题为题材，对高考中考查利用均值不等式求最值问题的基本特征和基本类型作一些分类解

析，供参考。 一、

基础题型。

1.直接利用均值不等式求解最值。

例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知x,yR，且满足的最大值为 ________。 解：因为x>0，y>0，所以x3yxy2434x3y1，则xy4xyxy(当且仅当，即x=6，y=8334时取等号)，于是xy1，xy3.，故xy的最大值位3. 32通过简单的配凑后，利用均值不等式求解最值。

2例2：（2010年高考四川文科卷第11题）设a＞b＞0，则a11的最abaab小值是（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

2解：a11112w＝aabab abaababa(ab)＝ab11a(ab)≥2＋2＝4 aba(ab)当且仅当ab＝1，a(a－b)＝1时等号成立，如取a＝2,b＝2满足条件。

2故选择答案D 二、转化题型

1.和积共存的等式，求解和或积的最值。

例3：（2010年高考重庆理科卷第7题）已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，则

x+2y的最小值是（ ）

A. 3 B. 4 C.

911 D. 222x2y解： 因为x>0，y>0，所以x2y8x(2y)8，

2整理得x2y24x2y320

即x2y4x2y80，又x2y0，x2y4 等号当且仅当x2y2时成立，故选择答案B。

变式：因为x>0，y>0，所以因为x>0，y>0，所以x2y82xy22xy， 整理得xy2xy40，即22xy2，所以xy2 等号当且仅当x2y2时成立，故xy的最大值为2. 2.分式型函数（

二次一次二次）求解最值。 、、一次二次二次例4：（2010年高考江苏卷第14题）将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于

2(梯形的周长）底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=,则S的最小值是

梯形的面积_________。

解：设剪成的小正三角形的边长为x，则

(3x)24(3x)2S21331x (x1)(1x)22(3x)2x26x96x10令f(x)(0x1)，则f(x)1

1x21x21x26x102t18t18令t3x5,(2t5)，则1x2 5t2t210t16161()(t)103t因为2t5，所以t所以t

16

最小值为8 t

116162t8，等号当且仅当t=4，即x时成立。

3ttx26x9323。 故f(x)的最小值为8，S的最小值是1x23例5：（2010年高考全国Ⅰ卷第11题）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PAPB的最小值为（ ）

(A) 42 (B)32 (C) 422 (D)322 A 解：如图所示：设PA=PB=x(x0),

O ∠APO=，则∠APB=2，PO=1x，

2P sin11x2B

例5图

，

x2(x21)x4x2=2， PAPB|PA||PB|cos2=x(12sin)=

x21x122x4x2令PAPBy，则y2，令tx21,t0，

x1(t1)2(t1)t23t22则yt3223

ttt等号当且仅当t2，即t2时成立。 t故(PAPB)min322.此时x练习：

21.，选择答案D。

2.（2010年高考山东理科卷第14题）若对任意x0，

xa恒成立，则2x3x1a的取值范围是 。

1答案：a

5解：因为x0，所以x12（当且仅当x=1时取等号），所以有 xx111x112a，即的最大值为，故。 1x3x1x32352x3x155xt24t13.（2010年高考重庆文科卷第12题）已知to,则函数y的最小值为

t答案：—2

t24t11解：yt42(t0)，当且仅当t1时，ymin2.

tt4.（2010年高考浙江文科卷第15题）若正实数x，y 满足xy2xy6 ，则

xy 的最小值是 。（变式：求2x+y的最小值为______） 答案：18

解：因为x>0，y>0 ，所以xy2xy622xy6， xy22xy60，解得xy32或xy（舍）2等号当且仅当2x=y=6时成立，故xy的最小值为18。 变式答案：12

解：因为x>0，y>0 ，所以xy2xy612xy2() 22整理得(2xy)28(2xy)480，解得2xy12或2xy4(舍） 等号当且仅当2x=y=6时成立，故2x+y的最小值为12。