一线三等角问题

相似三角形模型之“一线三等角型”

一线三等角型：

三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景

D D A P A B C

B

E

C

引例：如图，等边△ABC中，D是BC上一点，F为AC边上一点，且∠ADF=60°，BD=3，CF=2.求△ABC边长。

A F

C B D

例1、如图，在△ABC中，ABAC8，BC10，D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且ADEC．

(1) 求证：△ABD∽△DCE；

A (2) 如果BDx，AEy，求y与x的函数解析式

E

B D

C

例2、如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且AP＝1，AB＝DC＝2．P为AD上的一点，

A P D 满足∠BPC＝∠A．求AD的长．

B C

1

例3、正方形ABCD的边长为4（如下图），点P、Q分别在线段CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持APQ90.当CQ1时，求出线段BP的长。

相关练习：

A

1、如图，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60° （1）求证：△BDE∽△CFD （2）当BD=1，FC=3时，求BE

2、如图，已知在△ABC中， AB=AC=6，BC=5，D是AB 上一点，BD=2，E

是BC 上一动点，联结DE，并作DEFB，射线EF交线段AC于F．（1）求证：△DBE∽△ECF； （2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长

3、在ABC中，ABAC5，BC8，点P、Q分别在线段CB、

B

D

C

E F

A

D

B

C

AFDBEA

Q

B

P CAC上（点P不与点C、点B重合），且保持APQABC.若点P在

线段CB上（如图），且BP6，求线段CQ的长

2

C

4、已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，且BC =6，AB=DC=4，点E是AB的中点． （1）如图，P为BC上的一点，且BP=2．求证：△BEP∽△CPD； （2）如果点P在BC边上移动（点P与点B、C不重合），且满足∠EPF=∠C，PF交CD于点F，那

么当点F在线段CD的延长线上时，设BP=x，DF=y，求y关于x的函数解析式。

D A

E

B C

5、CD=2，AD=3，已知矩形ABCD中，点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PECP，交边AB于点E,设PDx,AEy，求y关于x的函数关系式。

E

BC

6、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，B90，E为BC上一点，且AE垂直于ED，若BC＝12，DC＝7，BE：EC＝1：2，求AB的长。

D

A

C B E

（挑战题）7、如图，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC上，CF1，点E是线段BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，边EG,FG交边AC于点M,N， （1）写出图中与BEF相似的三角形； （2）证明其中一对三角形相似；

APD（3）设BEx,MNy，求y与x之间的函数关系式。

3