2021年浙江省湖州市中考数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选，多选、错选均不给分。
1．（3分）实数﹣2的绝对值是（ ） A．﹣2 2．（3分）化简A．4
B．2
C．
D．﹣
的正确结果是（ ） B．±4
C．2
D．±2
3．（3分）不等式3x﹣1＞5的解集是（ ） A．x＞2
B．x＜2
C．x＞
D．x＜
4．（3分）下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A．经过红绿灯路口，遇到绿灯
B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．班里的两名同学，他们的生日是同一天 D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球
5．（3分）将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平（ ）
第1页（共39页）
A． B．
C． D．
6．（3分）如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，CO，则∠BOC的度数是（ ）
A．60°
B．70°
C．80°
D．90°
7．（3分）已知a，b是两个连续整数，a＜A．﹣2，﹣1 B．﹣1，0
，则a，b分别是（ ）
D．1，2
C．0，1
8．（3分）如图，已知在△ABC中，∠ABC＜90°，BE是AC边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，相交于点M，N；②过点M，分别交BC，BE于点D，O，DE．则下列结论错误的是（ ）
第2页（共39页）
A．OB＝OC
B．∠BOD＝∠COD D．DB＝DE
，点P是AD边C．DE∥AB
9．（3分）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1
上的一个动点，连结BP1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是（ ）
A．π
B．π+
C．
D．2π
10．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0）1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，有下列结论：①当x1＞x2+2时，S1＞S2；②当x1＜2﹣x2时，S1＜S2；③当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2；④当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2．其中正确结论的个数是（ ） A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）计算：2×2﹣1＝ ．
第3页（共39页）
12．（4分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，则sinB的值是 ．
13．（4分）某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同，若以每1000张奖券为一个开奖单位，15个二等奖，不设其他奖项 ．
14．（4分）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五角星的五个顶点），则图中∠A的度数是 度．
15．（4分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，4），M是抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）对称轴上的一个动点．小明经探究发现：当的值确定时，若抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则 ．
16．（4分）由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB的长应是 ．
第4页（共39页）
三、解答题（本题有8小题，共66分） 17．（6分）计算：x（x+2）+（1+x）（1﹣x）． 18．（6分）解分式方程：
＝1．
19．（6分）如图，已知经过原点的抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0）．
（1）求m的值和抛物线顶点M的坐标； （2）求直线AM的解析式．
20．（8分）为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹；B．歌曲演唱；C．校刊编撰，团支部将各组人数情况制成了统计图表（不完整）． 各组参加人数情况统计表 小组类别 人数（人）
A 10
B a
C 15
D 5
根据统计图表中的信息，解答下列问题：
第5页（共39页）
（1）求a和m的值；
（2）求扇形统计图中D所对应的圆心角度数；
（3）若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示： 小组类别 平均用时（小
时）
求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间．
A 2.5
B 3
C 2
D 3
21．（8分）如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4
22．（10分）今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，五月份为5.76万人．
（1）求四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长百分
第6页（共39页）
之几；
（2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：
购票方式 可游玩景点 门票价格
甲 A 100元/人
乙 B 80元/人
丙 A和B 160元/人
据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万，并且当甲、乙两种门票价格不变时，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．
①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收入； ②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？
23．（10分）已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，AP．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，AP＝的长．
（2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示，BD＝AC，求证：BC＝2AP．
第7页（共39页）
，求BC
（3）如图3，若∠CAD＝45°，是否存在实数m，BC＝2AP？若存在，请直接写出m的值，请说明理由．
24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上的一个动点，AO的延长线交反比例函数y＝（k＞0，x＜0）的图象于点B
（1）如图1，过点B作BF⊥x轴，于点F ①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形； ②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．
（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y＝（k＞0，x＜0），连结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中
第8页（共39页）
答案与卡片
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.请选出各题中一个最符合题意的选项，并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑，不选，多选、错选均不给分。
1．参考答案解：实数﹣2的绝对值是：2． 故选：B． 2．参考答案解：故选：C．
3．参考答案解：不等式3x﹣1＞3， 移项合并得：3x＞6， 解得：x＞7． 故选：A．
4．参考答案解：A、经过红绿灯路口，故本选项不符合题意； B、射击运动员射击一次，故本选项不符合题意； C、班里的两名同学，故本选项不符合题意；
D、从一个只装有白球和红球的袋中摸球，故本选项符合题意； 故选：D．
5．参考答案解：该长方体表面展开图可能是选项A． 故选：A．
6．参考答案解：∵点O为△ABC的外心，∠A＝40°，
第9页（共39页）
＝＝×＝8，
∴∠A＝∠BOC， ∴∠BOC＝5∠A＝80°， 故选：C．
7．参考答案解：∵1＜3＜3， ∴1＜∴0＜
＜6， ﹣7＜1，
故选：C．
8．参考答案解：由作法得MN垂直平分BC， ∴OB＝OC，BD＝CD，所以A选项不符合题意； ∴OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝∠COD，所以B选项不符合题意； ∵AE＝CE，DB＝DC， ∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AB，所以C选项不符合题意； DE＝AB， 而BD＝BC， ∵AB≠BC，
∴BD≠DE，所以D选项符合题意． 故选：D．
9．参考答案解：如图，当P与A重合时，
当P与D重合时，点C关于BP的对称点为C″，
∴点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域为：扇形BC'C''
第10页（共39页）
和△BCC''，
在△BCD中，∵∠BCD＝90°∴tan∠DBC＝∴∠DBC＝30°， ∴∠CBC″＝60°， ∵BC＝BC''
∴△BCC''为等边三角形， ∴S扇形BC′C″＝
＝π，
，
，CD＝3，
作C''F⊥BC于F， ∵△BCC''为等边三角形， ∴BF＝
，
＝，
，
．
∴C''F＝tan60°×∴S△BCC''＝
∴线段CC1扫过的区域的面积为：π+故选：B．
10．参考答案解：不妨假设a＞0．
第11页（共39页）
①如图1中，P5，P2满足x1＞x8+2，
∵P1P7∥AB， ∴S1＝S2，故①错误．
②当x6＝﹣2,x2＝﹣4,满足x1＜2﹣x3， 则S1>S2，故②错误， ③∵|x7﹣2|＞|x2﹣4|＞1，
∴P1，P8在x轴的上方，且P1离x轴的距离比P2离x轴的距离大， ∴S3＞S2，故③正确，
④如图1中，P3，P2满足|x1﹣4|＞|x2+2|＞8，但是S1＝S2，故④错误． 故选：A．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11．参考答案解：2×2﹣7＝2×＝1． 故答案为：1．
12．参考答案解：∵∠ACB＝90°，AC＝1， ∴sinB＝
＝．
故答案为：．
第12页（共39页）
13．参考答案解：只抽1张奖券恰好中奖的概率是故答案为：
．
＝．
14．参考答案解：如图，
∵正五角星中，五边形FGHMN是正五边形， ∴∠GFN＝∠FNM＝
＝108°，
∴∠AFN＝∠ANF＝180°﹣∠GFN＝180°﹣108°＝72°， ∴∠A＝180°﹣∠AFN﹣∠ANF＝180°﹣72°﹣72°＝36°． 故答案是：36．
15．参考答案解：∵△AOM是直角三角形，
∴当对称轴x≠0或x≠3时，一定存在两个以A，且点M在对称轴上的直角三角形，
当对称轴x＝5或x＝3时，不存在满足条件的点M, ∴当以OA为直径的圆与抛物线的对称轴x＝﹣称轴上存在2个不同的点M．
相切时，此时对
第13页（共39页）
观察图象可知，﹣∴＝2或﹣8， 故答案为：8或﹣8．
16．参考答案解：如图，设DE＝x．
＝﹣1或6，
由题意3DE2＝6， ∴DE＝
，
在Rt△CDE中，∠CED＝90°， ∴EC＝∴tan∠ECD＝∴DT＝
， ，
第14页（共39页）
＝＝
，
＝，
∴AT＝1﹣
∵∠ABT＝∠TCD， ∴tan∠ABT＝tan∠TCD， ∴∴
＝
， ＝
， ﹣7．
﹣1．
∴AB＝
故答案为：
三、解答题（本题有8小题，共66分） 17．参考答案解：原式＝x2+2x+8﹣x2 ＝2x+3．
18．参考答案解：去分母得：2x﹣1＝x+6， 解得：x＝4， 当x＝4时，x+3≠0， ∴分式方程的解为x＝4．
19．参考答案解：（1）∵抛物线y＝2x2+mx与x轴交于另一点A（2，0），
∴2×82+2m＝2， ∴m＝﹣4， ∴y＝2x5﹣4x ＝2（x﹣2）2﹣2，
∴顶点M的坐标为（3，﹣2），
（2）设直线AM的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵图象过A（2，0），﹣2），
第15页（共39页）
∴解得
， ，
∴直线AM的解析式为y＝2x﹣3．
20．参考答案解：（1）由题意可知：四个小组所有成员总人数是15÷30%＝50（人）， ∴a＝50﹣10﹣15﹣5＝20， ∵m%＝10÷50×100%＝20%， ∴m＝20；
（2）∵5÷50×360°＝36°，
∴扇形统计图中D所对应的圆心角度数为36°； （3）∵＝
×（10×2.5+20×4+15×2+5×8）＝2.6（小时），
∴这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间是3.6小时． 21．参考答案解：（1）如图，连接BD，
∵∠ACD＝30°， ∴∠B＝∠ACD＝30°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠B＝60°； （2）∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，
第16页（共39页）
∴AD＝AB＝6，
∵∠DAB＝60°，DE⊥AB， ∴EF＝DE＝ADsin60°＝∴DF＝2DE＝8
．
，
22．参考答案解：（1）设四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为x，
由题意，得4（1+x）6＝5.76，
解这个方程，得x1＝3.2，x2＝﹣5.2（舍去），
答：四月和五月这两个月中该景区游客人数平均每月增长率为20%；
（2）①由题意，得
100×（2﹣10×7.06）+80×（3﹣10×0.04）+（160﹣10）×（3+10×0.06+10×0.04）＝798（万元）． 答：景区六月份的门票总收入为798万元．
②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收入为W万元， 由题意，得
W＝100（3﹣0.06m）+80（3﹣2.04m）+（160﹣m）（2+0.06m+2.04m）， 化简，得W＝﹣0.1（m﹣24）3+817.6， ∵﹣0.2＜0，
∴当m＝24时，W取最大值．
答：当丙种门票价格下降24元时，景区六月份的门票总收入有最大值．
第17页（共39页）
23．参考答案解：（1）∵∠ACB＝90°，∠CAD＝60°， ∴AB＝∵BD＝AC， ∴AD＝AC，
∴△ADC是等边三角形， ∴∠ACD＝60°， ∵P是CD的中点， ∴AP⊥CD， 在Rt△APC中，AP＝∴∴
，
，
， ，
（2）证明：连接BE，
∵DE∥AC， ∴∠CAP＝∠DEP， 在△CPA和△DPE中
，
∴△CPA≌△DPE（AAS）， ∴AP＝EP＝∵BD＝AC，
第18页（共39页）
，DE＝AC，
∴BD＝DE， 又∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠CAD＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴BD＝BE，∠EBD＝60°， ∵BD＝AC， ∴AC＝BE， 在△CAB和△EBA中
，
∴△CAB≌△EBA（SAS）， ∴AE＝BC， ∴BC＝2AP，
（3）存在这样的m，m＝
．
理由如下：作DE∥AC交AP延长线于E，连接BE， 由（2）同理可得DE＝AC，∠EDB＝∠CAD＝45°， 当BD＝∴BD＝
时， ，
∵∠EDB＝45°， 作BF⊥DE于F， ∴BD＝
，
∴DE＝DF， ∴点E，F重合，
第19页（共39页）
∴∠BED＝90°，
∴∠EBD＝∠EDB＝45°， ∴BE＝DE＝AC，
同（2）可证：△CAB≌△EBA（SAS）， ∴BC＝AE＝2AP， ∴存在m＝
，使得BC＝2AP
24．参考答案（1）①证明：设点A的坐标为（a，），则当点时，﹣）， ∴AE＝OF＝a， ∵AE⊥y轴， ∴AE∥OF，
∴四边形AEFO是平行四边形；
②解：过点B作BD⊥y轴于点D，如图1，
∵AE⊥y轴， ∴AE∥BD，
第20页（共39页）
k＝1
∴△AEO∽△BDO， ∴
，
∴当k＝7时，即
，
，
∴S△BOE＝2S△AOE＝1； （2）不改变． 理由如下：
过点P作PH⊥x轴于点H，PE与x轴交于点G，
设点A的坐标为（a，），点P的坐标为（b，）， 则AE＝a，OE＝
，
∵四边形AEGO是平行四边形， ∴∠EAO＝∠EGO，AE＝OG， ∵∠EGO＝∠PGH， ∴∠EAO＝∠PGH， 又∵∠PHG＝∠AEO， ∴△AEO∽△GHP，
第21页（共39页）
∴，
∵GH＝OH﹣OG＝﹣b﹣a， ∴∴解得
∵a，b异号， ∴
，
，
， ﹣k＝0，
，
∴S△POE＝×OE×（﹣b）＝
∴对于确定的实数k，动点A在运动过程中．
第22页（共39页）
考点卡片
1．绝对值
（1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等；
②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数．
③有理数的绝对值都是非负数．
（2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0） 2．数学常识 数学常识
此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等． 平时要注意多观察，留意身边的小知识． 3．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为
第23页（共39页）
．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 4．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a． 实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数． 5．估算无理数的大小 估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 6．单项式乘多项式
（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：
第24页（共39页）
①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号． 7．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 8．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数） 注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 9．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方
第25页（共39页）
程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案．
第26页（共39页）
10．解分式方程
（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：
①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．
②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解． 所以解分式方程时，一定要检验． 11．解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 12．待定系数法求一次函数解析式
待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
第27页（共39页）
（2）将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式． 注意：求正比例函数，只要一对x，y的值就可以，因为它只有一个待定系数；而求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值． 13．反比例函数综合题 （1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识． （2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法． 14．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣称轴直线x＝﹣性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣
第28页（共39页）
，），对
，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下
时，
y随x的增大而减小；x＞﹣y取得最小值
时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，
，即顶点是抛物线的最低点．
时，时，
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣y随x的增大而增大；x＞﹣y取得最大值
时，y随x的增大而减小；x＝﹣
，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣
|个单位，再向上或向下平移|
|个单位得到的．
15．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣
）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣
成轴对称，所以抛物线上的点关于对
，
称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝16．抛物线与x轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．
第29页（共39页）
．
△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 17．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
18．几何体的展开图
（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图
第30页（共39页）
形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形． （2）常见几何体的侧面展开图：
①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形． （3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．
从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键． 19．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 20．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
第31页（共39页）
21．勾股定理的逆定理
（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明：
①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．
②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．
（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 22．三角形综合题 三角形综合题． 23．多边形内角与外角
（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．
第32页（共39页）
（2）多边形的外角和等于360°．
①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 24．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 25．正方形的性质
（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质
①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；
②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一
第33页（共39页）
组对角；
③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 26．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
27．三角形的外接圆与外心
第34页（共39页）
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆． （2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点． ②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个． 28．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝
πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法．
（5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
第35页（共39页）
29．作图—基本作图 基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角． （3）作已知线段的垂直平分线． （4）作已知角的角平分线． （5）过一点作已知直线的垂线．
30．轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
31．图形的剪拼 图形的剪拼．
32．锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．
第36页（共39页）
即sinA＝∠A的对边除以斜边＝．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA． 即cosA＝∠A的邻边除以斜边＝．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA． 即tanA＝∠A的对边除以∠A的邻边＝．
（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．
33．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系． （3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°． ②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来． 34．加权平均数
第37页（共39页）
（1）加权平均数：若n个数x1，x2，x3，…，xn的权分别是w1，w2，w3，…，wn，则x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn叫做这n个数的加权平均数．
（2）权的表现形式，一种是比的形式，如4：3：2，另一种是百分比的形式，如创新占50%，综合知识占30%，语言占20%，权的大小直接影响结果．
（3）数据的权能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会产生直接的影响． （4）对于一组不同权重的数据，加权平均数更能反映数据的真实信息．
35．随机事件 （1）确定事件
事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件
在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，
①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 36．概率公式
第38页（共39页）
（1）随机事件A的概率P（A）＝（2）P（必然事件）＝1． （3）P（不可能事件）＝0．
．
第39页（共39页）
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容