2021年浙江省-1-湖州市中考数学真题(解析版)

数学试题卷

卷 I

一、单项选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1．实数﹣2的绝对值是

11 A．﹣2 B．2 C． D．

22【答案】B

【解析】22，故选B 2．化简8的正确结果是．

A．4 B．±4 C．22 D．22 【答案】C

【解析】8424222，故选C． 3．不等式3x15的解集是

A．x2 B．x2 C．x44 D．x 33【答案】A

【解析】3x15，移项得3x6，解得x2，故选A． 4．下列事件中，属于不可能事件的是 A．经过红绿灯路口，遇到绿灯 B．射击运动员射击一次，命中靶心

C．班里的两名同学，他们的生日是同一天

D．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球 【答案】D

【解析】从一个只装有白球和红球的袋中摸球，可能摸出白球或红球，不可能摸出黄球，故

选D．

5．将如图所示的长方体牛奶包装盒沿某些棱剪开，且使六个面连在一起，然后铺平，则得到的图形可能是

【答案】A

【解析】本题考查长方体的展开图问题，属于基础题，选项A符合题意．

6．如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是

1

A．60° B．70° C．80° D．90° 【答案】C

【解析】本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系，∠BOC＝2∠A＝80°，选C． 7．已知a，b是两个连续整数，a＜3﹣1＜b，则a，b分别是

A．﹣2，﹣1 B．﹣1，0 C．0，1 D．1，2 【答案】C

【解析】310.7，与0.7相邻的连续整数是0和1，选C．

8．如图，已知在△ABC中，∠ABC＜90°，AB≠BC，BE是AC边上的中线，按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连结CO，DE．则下列结论错误的是

A．OB＝OC B．∠BOD＝∠COD C．DE∥AB D．DB＝DE 【答案】D

【解析】∵OD垂直平分BC，所以OB＝OC，故A正确；

根据三线合一可知OD平分∠BOC，故B正确；

易知DE是三角形的中位线，所以有DE∥AB，故C正确．综上，选D． 9．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是

2

A． B．【答案】B

3333 C． D．2 42【解析】如图，C1运动的路径是以B为圆心，3为半径，圆心角为120°的弧上运动，故线

段CC1扫过的区域是一个圆心角为120°的扇形＋一个以3为边长的等边三角形，120(3)2333故S＝，故选B． (3)236044

10．已知抛物线yax2bxc(a≠0)与x轴的交点为A(1，0)和B(3，0)，点P1(x1，y1)，

P2(x2，y2)是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2．有下列结论：①当x1x22时，S1S2；②当x12x2时，S1S2；③当x12x221时，S1S2；④当x12x221时，S1S2．其中正确结论的个数

是

A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A

【解析】由于S1，S2的底相同，当x12x221时，P1到AB的距离＞P2到AB的距

离，故③正确，其他选项无法比较P1，P2与x轴距离的远近，故选A．

卷 II

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11．计算：221＝ ． 【答案】1

【解析】221211201．

12．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2，则sinB的值是 ．

1【答案】

23

AC1． AB213．某商场举办有奖销售活动，每张奖券被抽中的可能性相同．若以每1000张奖券为一个

开奖单位，设5个一等奖，15个二等奖，不设其他奖项，则只抽1张奖券恰好中奖的概率是 ．

1【答案】

505151【解析】设恰好中奖为时间A，则P(A)＝．

10005014．为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，

B，C，D，E是正五边形的五个顶点），则图中∠A的度数是 度．

【解析】sinB＝

【答案】36

【解析】首先根据正五边形的内角和计算公式，求出每个内角的度数为108°，即∠ABC＝

∠BAE＝108°，那么等腰△ABC的底角∠BAC＝36°，同理可求得∠DAE＝36°，故∠CAD＝∠BAE﹣∠BAC﹣∠EAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°．其实正五角星的五个角是36°，可以作为一个常识直接记住． 15．已知在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3，4)，M是抛物线yax2bx2(a≠

b0)对称轴上的一个动点，小明经探究发现：当的值确定时，抛物线的对称轴上能使△

aAOM为直角三角形的点M的个数也随之确定．若抛物线yax2bx2(a≠0)的对称

b轴上存在3个不同的点M，使△AOM为直角三角形，则的值是 ．

a【答案】2或﹣8

【解析】由题意知，以OA的直径的圆与直线xb35bb，相切，则解得＝2或2a222aa﹣8．

16．由沈康身教授所著，数学家吴文俊作序的《数学的魅力》一书中记载了这样一个故事：

如图，三姐妹为了平分一块边长为1的祖传正方形地毯，先将地毯分割成七块，再拼成三个小正方形（阴影部分）．则图中AB的长应是 ．

4

【答案】2﹣1

【解析】如图，CD＝1，DG＝36，则求得CG＝，根据△CDG∽△DEG，可求得DE＝3322，∴AE＝1﹣，∴AB＝2AE＝2﹣1． 22

三、解答题（本题有8小题，共66分）

17．（本小题6分）

计算：x(x2)(1x)(1x)． 【答案】2x1

【解析】解：原式x22x1x2

2x1．

18．（本小题6分）

解分式方程：【答案】x4

【解析】解：2x1x3

2x11． x3x4．

经检验，x4是原方程的解．

19．（本小题6分）

如图，已知经过原点的抛物线y2x2mx与x轴交于另一点A(2，0)． （1）求m的值和抛物线顶点M的坐标；

（2）求直线AM的解析式．

5

【答案】（1）﹣4，(1，﹣2)；（2）y2x4． 【解析】解：（1）∵抛物线y2xmx过点A2,0，

22222m0，解得m4，

y2x24x， y2(x1)22

∴顶点M的坐标是1,2．

（2）设直线AM的解析式为ykxbk0， ∵图象过A2,0,M1,2，

2kb0k2，解得， kb2b4∴直线AM的解析式为y2x4．

20．（本小题8分）

为了更好地了解党的历史，宣传党的知识，传颂英雄事迹，某校团支部组建了：A．党史宣讲；B．歌曲演唱；C．校刊编撰；D．诗歌创作等四个小组，团支部将各组人数情况制成了如下统计图表（不完整）．

根据统计图表中的信息，解答下列问题：

（1）求a和m的值；

（2）求扇形统计图中D所对应的圆心角度数；

6

（3）若在某一周各小组平均每人参与活动的时间如下表所示：

小组类别 平均用时（小时） A 2.5 B 3 C 2 D 3 求这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间． 【答案】（1）20，20；（2）36°；（3）2.6小时．

【解析】解：（1）由题意可知四个小组所有成员总人数是1530%50（人）．

a501015520， m%1050100%20%． m20．

（2）

55036036，

∴扇形统计图中D所对应的圆心角度数是36． （3）

x1(102.520315253)2.6（小时）， 50∴这一周四个小组所有成员平均每人参与活动的时间是2.6小时．

21．（本小题8分）

如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是AD所对的圆周角，∠ACD＝30°． （1）求∠DAB的度数；

（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．

【答案】（1）60°；（2）23． 【解析】解：（1）连结BD，

ACD30，

BACD30， AB是O的直径， ADB90，

DAB90B60．

（2）

ADB90,B30,AB4， 1AB2， 27

AD

DAB60,DEAB，且AB是直径，

EFDEADsin603， DF2DE23．

22．（本小题10分）

今年以来，我市接待的游客人数逐月增加，据统计，游玩某景区的游客人数三月份为4万人，五月份为5.76万人．

（1）求四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长百分之几； （2）若该景区仅有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示：

据预测，六月份选择甲、乙、丙三种购票方式的人数分别有2万、3万和2万．并且当甲、乙两种门票价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有600人原计划购买甲种门票的游客和400人原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票．①若丙种门票价格下降10元，求景区六月份的门票总收人；②问：将丙种门票价格下降多少元时，景区六月份的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 【答案】（1）20%；（2）①798；②24，817.6 【解析】解：（1）设四月和五月这两个月中，该景区游客人数的月平均增长率为x，

由题意，得4(1x)5.76

解这个方程，得x10.2,x22.2（舍去）

答：四月和五月这两个月中，该景区游客人数平均每月增长20%．

（2）①由题意，得

21002100.06803100.04160102100.06100.04

798（万元）

答：景区六月份的门票总收入为798万元．

②设丙种门票价格降低m元，景区六月份的门票总收人为W万元， 由题意，得

W10020.06m8030.04m160m20.06m0.04m

化简，得W0.1(m24)817.6，

8

20.10，

∴当m24时，W取最大值，为817.6万元．

答：当丙种门票价格降低24元时，景区六月份的门票总收人有最大值，为817.6万元．

23．（本小题10分）

已知在△ACD中，P是CD的中点，B是AD延长线上的一点，连结BC，AP．

（1）如图1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP＝3，求BC的长； （2）过点D作DE∥AC，交AP延长线于点E，如图2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，求证：BC＝2AP；

（3）如图3，若∠CAD＝45°，是否存在实数m，当BD＝mAC时，BC＝2AP？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）23；（2）略；（3）2．

【解析】（1）解：

ACB90,CAD60，ABAC2AC，

cos60BDAC， ADAC，

ADC是等边三角形， ACD60

Р是CD的中点，

APCD，

在RtAPC中，AP3，ACAP2，

sin60BCACtan6023．

（2）证明：连结BE，

DE∥AC，

CAPDEP，

CPDP,CPADPE，

CPA≌DPEAAS，

9

APEP1AE,DEAC， 2BDAC，

BDDE，

又

DE∥AC，

BDECAD60，BDE是等边三角形，BDBE,EBD60

BDAC，

ACBE，

又

CABEBA60,ABBA，

CAB≌EBASAS， AEBC，BC2AP．

（3）存在这样的m,m24．（本小题12分）

已知在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y结AO，AO的延长线交反比例函数y2．

1(x＞0)图象上的一个动点，连xk(k＞0，x＜0)的图象于点B，过点A作AE⊥y轴x于点E．

（1）如图1，过点B作BF⊥x轴于点F，连结EF．①若k＝1，求证：四边形AEFO是平行四边形；②连结BE，若k＝4，求△BOE的面积．

k(k＞0，x＜0)的图象于点P，连x结OP．试探究：对于确定的实数k，动点A在运动过程中，△POE的面积是否会发生变化？请说明理由．

（2）如图2，过点E作EP∥AB，交反比例函数y10

（1）①略；②1；（2）不变．

（1）①证明 设点A的坐标为(a,1

a

)，

则当k1时，点B的坐标为(a,1a)，

AEOFa，

AEy轴，

AE∥OF，

∴四边形AEFO是平行四边形． ②解 过点B作BDy轴于点D，

AEy轴，

AE∥BD，

AEO∽BDO，

SAEOAOS(BO)2， BDO1∴当k4时，22(AO2AOBO)，即

BO12． SBOE2SAOE1．

11

【答案】【解析】解：

（2）解：不改变． 理由如下：

过点P作PHx轴于点H,PE与x轴交于点G，

设点A的坐标为(a,)，点P的坐标为(b,)，

1akb则AEa,,OE1k,PH， ab由题意，可知AEO∽GHP，四边形AEGO是平行四边形，

GHba,AEEO， GHPH1a即a， bakbba1k abbb()2k0，

aa解得

b114k， a2a,b异号，k0，

12

b114k， a2S111b114k(b)． 2a2a4POE∴对于确定的实数k，动点A在运动过程中，POE的面积不会发生变化．

13